Đề giữa học kì I Toán 12 KNTT nâng cao – Có đáp án

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12. Mỗi câu hỏi chỉ chọn một phương án.

Câu 1 (0,25 điểm). Tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y=\dfrac{mx+2}{x+1}$ nghịch biến trên mỗi khoảng xác định là

Câu 2 (0,25 điểm). Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

[Bảng biến thiên]

Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có tọa độ là

Câu 3 (0,25 điểm). Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và $f'(x)=(x+2)^2(x-1)^3(x-3)$. Số điểm cực trị của hàm số là

Câu 4 (0,25 điểm). Gọi $M$, $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)=\dfrac{x^2+3}{x+1}$ trên đoạn $[0;3]$. Giá trị của $M+m$ bằng

Câu 5 (0,25 điểm). Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)=x+\dfrac{9}{x}$ trên khoảng $(0;4)$ bằng

Câu 6 (0,25 điểm). Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

[Bảng biến thiên]

Các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là

Câu 7 (0,25 điểm). Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\dfrac{2x^2-3x+4}{x+1}$ có phương trình là

Câu 8 (0,25 điểm). Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của hàm số nào?

[Đồ thị]

Câu 9 (0,25 điểm). Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị như hình dưới đây:

[Đồ thị]

Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là

Câu 10 (0,25 điểm). Bảng biến thiên dưới đây là của hàm số nào?

[Bảng biến thiên]

Câu 11 (0,25 điểm). Một chất điểm chuyển động trên trục số có tọa độ $s(t)=t^3-6t^2+12t$, trong đó $t$ tính bằng giây, $s$ tính bằng mét và $0\le t\le 5$. Tại thời điểm gia tốc của chất điểm bằng $6$ m/s², vận tốc của chất điểm bằng

Câu 12 (0,25 điểm). Một doanh nghiệp có hàm chi phí $C(x)=0{,}001x^3-0{,}3x^2+40x+500$ và hàm doanh thu $R(x)=60x$, trong đó $x$ là số sản phẩm, các giá trị chi phí và doanh thu tính bằng triệu đồng. Đặt $P(x)=R(x)-C(x)$. Hàm lợi nhuận biên $P'(x)$ là

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI (4,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1 (1,0 điểm). Cho hàm số $f(x)=x^3-3x^2-9x+11$ có đồ thị $(C)$.
a) Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1;3)$.
b) Giá trị cực đại của hàm số bằng $16$.
c) Đồ thị $(C)$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $-11$.
d) Đồ thị $(C)$ cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có tổng các hoành độ bằng $1$.

Câu 2 (1,0 điểm). Cho hàm số $f(x)=\dfrac{3x-1}{x+1}$ có đồ thị $(H)$.
a) Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty;-1)$.
b) Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[0;3]$ bằng $2$.
c) Với $m>0$, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[m;m+1]$ bằng $1$ khi và chỉ khi $m=2$.
d) Đường thẳng $y=-1$ là tiệm cận ngang của đồ thị $(H)$.

Câu 3 (1,0 điểm). Cho hàm số $f(x)=\dfrac{2x^2-3x+4}{x-1}$ có đồ thị $(C)$.
a) Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}\setminus\{1\}$.
b) Đồ thị $(C)$ có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=-1$.
c) Đồ thị $(C)$ có tiệm cận xiên là đường thẳng $y=2x-1$.
d) Tâm đối xứng của đồ thị $(C)$ là điểm $I(1;-1)$.

Câu 4 (1,0 điểm). Một chất điểm chuyển động trên một đường thẳng có tọa độ $s(t)=t^3-6t^2+9t$, trong đó $t$ tính bằng giây, $s$ tính bằng mét và $0\le t\le 4$.
a) Vận tốc của chất điểm là $v(t)=3(t-1)(t-3)$.
b) Gia tốc của chất điểm tại thời điểm $t=2$ s bằng $0$ m/s².
c) Quãng đường chất điểm đi được trong ba giây đầu tiên bằng $0$ m.
d) Quãng đường chất điểm đi được trong bốn giây đầu tiên bằng $12$ m.

PHẦN III. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 6. Mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm.

Câu 1 (0,5 điểm). Tìm giá trị cực đại của hàm số

$$f(x)=\dfrac{2x^2-4x+20}{x-1}.$$

Câu 2 (0,5 điểm). Một rạp chiếu phim dự kiến bán được $200$ vé cho một suất chiếu khi giá vé là $100\,000$ đồng. Mỗi khi giảm giá vé thêm $5\,000$ đồng, số vé bán được dự kiến tăng thêm $20$ vé. Rạp chỉ xét các mức giá từ $50\,000$ đồng đến $100\,000$ đồng và là bội số của $5\,000$ đồng. Chi phí phục vụ mỗi khán giả là $20\,000$ đồng; chi phí cố định cho suất chiếu là $4\,000\,000$ đồng. Biết rạp có đủ chỗ ngồi cho mọi phương án đang xét. Lợi nhuận lớn nhất dự kiến của suất chiếu bằng bao nhiêu triệu đồng?

Câu 3 (0,5 điểm). Nồng độ của một chất trong bể xử lí sau $t$ giờ được mô hình hoá bởi

$$C(t)=\dfrac{at+b}{t+c},\qquad t\ge 0,$$

trong đó $a$, $b$, $c$ là các hằng số và $c>0$; $C(t)$ tính bằng mg/L. Các kết quả đo cho biết $C(0)=2$, $C(2)=4$ và $C(6)=5$. Theo mô hình này, khi thời gian tăng vô hạn, nồng độ của chất tiệm cận đến bao nhiêu mg/L?

Câu 4 (0,5 điểm). Cho hàm số $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$, với $a\ne 0$, có đồ thị như hình dưới đây. Đồ thị có hai điểm cực trị với hoành độ lần lượt là $-3$ và $-1$.

[Đồ thị]

Trong sáu số $a$, $b$, $c$, $d$, $a+b$, $a-b$, có bao nhiêu số dương?

Câu 5 (0,5 điểm). Hai ô tô chuyển động trên hai đường thẳng vuông góc, giao nhau tại $O$. Lúc bắt đầu tính thời gian, xe thứ nhất ở cách $O$ một khoảng $60$ km về phía Tây và chạy về hướng Đông với tốc độ không đổi $40$ km/h; xe thứ hai ở cách $O$ một khoảng $80$ km về phía Nam và chạy về hướng Bắc với tốc độ không đổi $30$ km/h. Sau khi đi qua $O$, các xe vẫn tiếp tục đi thẳng với tốc độ cũ. Trong ba giờ đầu tiên, khoảng cách nhỏ nhất giữa hai xe bằng bao nhiêu kilômét?

Câu 6 (0,5 điểm). Từ một tấm bìa hình chữ nhật kích thước $40$ cm và $25$ cm, người ta cắt bỏ ở bốn góc bốn hình vuông bằng nhau, rồi gấp các phần còn lại để tạo thành một chiếc hộp hình hộp chữ nhật không nắp. Bỏ qua độ dày của tấm bìa. Thể tích lớn nhất của chiếc hộp bằng bao nhiêu centimét khối?

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................ Số báo danh: ........................

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI

A. ĐÁP ÁN VÀ CÁCH TÍNH ĐIỂM

Phần I. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Mỗi câu trả lời đúng được 0,25 điểm. Tổng điểm phần I là 3,0 điểm.

Phần II. Trắc nghiệm đúng/sai

Trong mỗi câu: đúng 1 ý được 0,1 điểm; đúng 2 ý được 0,25 điểm; đúng 3 ý được 0,5 điểm; đúng cả 4 ý được 1,0 điểm. Không có ý nào đúng được 0 điểm. Tổng điểm phần II là 4,0 điểm.

Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm. Tổng điểm phần III là 3,0 điểm.

Tổng điểm toàn bài: 10,0 điểm.

B. GIẢI THÍCH VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI

Phần I. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Câu 1. Chọn B.

Với $x\ne -1$, ta có

$$y'=\dfrac{m(x+1)-(mx+2)}{(x+1)^2}=\dfrac{m-2}{(x+1)^2}.$$

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định khi và chỉ khi $m-2<0$, tức là $m<2$. Khi $m=2$, hàm số bằng hằng số trên tập xác định nên không nghịch biến.

Câu 2. Chọn D.

Tại $x=3$, đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=3$. Do $f(3)=6$, điểm cực tiểu của đồ thị là $(3;6)$.

Câu 3. Chọn C.

Đạo hàm bằng $0$ tại $x=-2$, $x=1$, $x=3$.

Tại $x=-2$, nhân tử $(x+2)^2$ có số mũ chẵn nên đạo hàm không đổi dấu.

Tại $x=1$ và $x=3$, các nhân tử tương ứng có số mũ lẻ nên đạo hàm đổi dấu. Vì vậy, hàm số có $2$ điểm cực trị.

Câu 4. Chọn A.

Ta có

$$f'(x)=\dfrac{x^2+2x-3}{(x+1)^2}=\dfrac{(x-1)(x+3)}{(x+1)^2}.$$

Trên đoạn $[0;3]$, đạo hàm bằng $0$ tại $x=1$.

Các giá trị cần so sánh:

$$f(0)=3,\qquad f(1)=2,\qquad f(3)=3.$$

Suy ra $M=3$, $m=2$ và $M+m=5$.

Câu 5. Chọn D.

Với $0<x<4$, ta có

$$f'(x)=1-\dfrac{9}{x^2}=\dfrac{(x-3)(x+3)}{x^2}.$$

Hàm số nghịch biến trên $(0;3)$ và đồng biến trên $(3;4)$. Vì $3\in(0;4)$ nên giá trị nhỏ nhất là $f(3)=6$.

Câu 6. Chọn C.

Từ bảng biến thiên:

$$\lim_{x\to-\infty}f(x)=-1,\qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=3.$$

Vì vậy, đồ thị có hai tiệm cận ngang là $y=-1$ và $y=3$. Đường thẳng $x=2$ là tiệm cận đứng, không phải tiệm cận ngang.

Câu 7. Chọn B.

Chia đa thức, ta được

$$\dfrac{2x^2-3x+4}{x+1}=2x-5+\dfrac{9}{x+1}.$$

Vì $\dfrac{9}{x+1}\to 0$ khi $x\to\pm\infty$, tiệm cận xiên là $y=2x-5$.

Câu 8. Chọn D.

Đồ thị có nhánh bên phải đi xuống và hai điểm cực trị với hoành độ $0$, $2$.

Hàm số $f(x)=-x^3+3x^2+1$ có

$$f'(x)=-3x(x-2),\qquad f(0)=1,\qquad f(2)=5.$$

Đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương tại $0$ và từ dương sang âm tại $2$, phù hợp với hình vẽ.

Câu 9. Chọn B.

Đồ thị chuyển từ đi xuống sang đi lên tại điểm $(3;-25)$. Do đó, đây là điểm cực tiểu của đồ thị.

Câu 10. Chọn A.

Bảng biến thiên cho thấy đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$, tiệm cận ngang $y=2$, đồng thời hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định.

Với phương án A:

$$f(x)=\dfrac{2x-1}{x+1}=2-\dfrac{3}{x+1},\qquad f'(x)=\dfrac{3}{(x+1)^2}>0.$$

Ngoài ra,

$$\lim_{x\to-1^-}f(x)=+\infty,\qquad \lim_{x\to-1^+}f(x)=-\infty.$$

Tất cả các dữ kiện đều phù hợp với bảng biến thiên.

Câu 11. Chọn C.

Vận tốc và gia tốc của chất điểm là

$$v(t)=s'(t)=3t^2-12t+12,\qquad a(t)=v'(t)=6t-12.$$

Điều kiện $a(t)=6$ cho $6t-12=6$, suy ra $t=3$.

Vận tốc tại thời điểm đó là $v(3)=27-36+12=3$ m/s.

Câu 12. Chọn A.

Hàm lợi nhuận là

$$P(x)=R(x)-C(x)=-0{,}001x^3+0{,}3x^2+20x-500.$$

Lấy đạo hàm, ta được

$$P'(x)=-0{,}003x^2+0{,}6x+20.$$

Phần II. Trắc nghiệm đúng/sai

Câu 1.

Ta có

$$f'(x)=3x^2-6x-9=3(x+1)(x-3).$$

a) Đúng. Trên $(-1;3)$, $f'(x)<0$ nên hàm số nghịch biến.

b) Đúng. Tại $x=-1$, đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm. Giá trị cực đại là

$$f(-1)=-1-3+9+11=16.$$

c) Sai. Đồ thị cắt trục tung tại $(0;11)$ vì $f(0)=11$.

d) Sai. Ta có

$$f(x)=(x-1)(x^2-2x-11).$$

Ba nghiệm phân biệt của $f(x)=0$ là $1$, $1-2\sqrt{3}$, $1+2\sqrt{3}$. Tổng ba hoành độ bằng $3$, không phải $1$.

Câu 2.

Ta có

$$f(x)=3-\dfrac{4}{x+1},\qquad f'(x)=\dfrac{4}{(x+1)^2}>0\quad (x\ne-1).$$

a) Đúng. Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $(-\infty;-1)$ và $(-1;+\infty)$.

b) Đúng. Hàm số đồng biến trên $[0;3]$, do đó giá trị lớn nhất là

$$f(3)=\dfrac{9-1}{3+1}=2.$$

c) Sai. Với $m>0$, hàm số đồng biến trên $[m;m+1]$, nên giá trị nhỏ nhất là $f(m)$. Điều kiện đề cập tương đương

$$\dfrac{3m-1}{m+1}=1\iff 3m-1=m+1\iff m=1.$$

Vậy giá trị nhỏ nhất bằng $1$ khi và chỉ khi $m=1$, không phải $m=2$.

d) Sai. Do $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=3$, tiệm cận ngang là $y=3$.

Câu 3.

Chia đa thức:

$$f(x)=2x-1+\dfrac{3}{x-1}.$$

a) Đúng. Mẫu số khác $0$ khi và chỉ khi $x\ne1$, nên tập xác định là $\mathbb{R}\setminus\{1\}$.

b) Sai. Khi $x\to1^-$, $f(x)\to-\infty$; khi $x\to1^+$, $f(x)\to+\infty$. Tiệm cận đứng là $x=1$, không phải $x=-1$.

c) Đúng. Vì

$$\lim_{x\to\pm\infty}\bigl[f(x)-(2x-1)\bigr]=\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{3}{x-1}=0,$$

tiệm cận xiên là $y=2x-1$.

d) Sai. Giao điểm hai tiệm cận là $(1;1)$. Đặt $X=x-1$, $Y=y-1$, phương trình đồ thị trở thành $Y=2X+\dfrac{3}{X}$, là hàm lẻ theo $X$. Vì vậy, tâm đối xứng là $I(1;1)$, không phải $(1;-1)$.

Câu 4.

Vận tốc và gia tốc là

$$v(t)=s'(t)=3t^2-12t+9=3(t-1)(t-3),\qquad a(t)=6t-12.$$

a) Đúng. Biểu thức vận tốc đúng bằng đạo hàm của hàm tọa độ.

b) Đúng. Ta có $a(2)=12-12=0$ m/s².

c) Sai. Vật đổi chiều tại $t=1$ và $t=3$. Các tọa độ:

$$s(0)=0,\qquad s(1)=4,\qquad s(3)=0.$$

Vật đi theo chiều dương trên $(0;1)$ và theo chiều âm trên $(1;3)$. Quãng đường trong ba giây đầu là

$$S_3=|4-0|+|0-4|=8.$$

Vậy quãng đường bằng $8$ m; còn độ dịch chuyển mới bằng $s(3)-s(0)=0$ m.

d) Đúng. Trên $(3;4)$, vận tốc dương và $s(4)=4$. Quãng đường trong bốn giây đầu là

$$S_4=|4-0|+|0-4|+|4-0|=12.$$

Vậy vật đi được $12$ m.

Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 1. Đáp án: $-12$.

Với $x\ne1$, ta viết

$$f(x)=2(x-1)+\dfrac{18}{x-1}.$$

Suy ra

$$f'(x)=2-\dfrac{18}{(x-1)^2} =\dfrac{2(x+2)(x-4)}{(x-1)^2}.$$

Đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm tại $x=-2$, nên hàm số đạt cực đại tại đó.

Giá trị cực đại là

$$f(-2)=2(-3)+\dfrac{18}{-3}=-12.$$

Câu 2. Đáp án: $12{,}9$.

Gọi $x$ là số lần giảm giá $5\,000$ đồng, với $x$ nguyên và $0\le x\le10$.

Giá vé là $100-5x$ nghìn đồng; số vé bán được là $200+20x$.

Lợi nhuận, tính bằng nghìn đồng, là

$$P(x)=(100-5x)(200+20x)-20(200+20x)-4000.$$

$$P(x)=-100x^2+600x+12000.$$

Xét hàm số trên đoạn $[0;10]$:

$$P'(x)=-200x+600.$$

Đạo hàm dương khi $x<3$, bằng $0$ khi $x=3$, âm khi $x>3$. Vì $x=3$ là số nguyên thuộc miền đang xét, lợi nhuận lớn nhất đạt được khi giảm giá $3$ lần.

Khi đó, giá vé là $85\,000$ đồng, bán được $260$ vé và

$$P(3)=12900.$$

Lợi nhuận lớn nhất là $12{,}9$ triệu đồng.

Câu 3. Đáp án: $6$.

Từ $C(0)=2$, suy ra

$$\dfrac{b}{c}=2\iff b=2c.$$

Từ $C(2)=4$, ta có

$$2a+b=4(2+c)\iff 2a+2c=8+4c\iff a=4+c.$$

Từ $C(6)=5$, ta có

$$6a+b=5(6+c).$$

Thay $a=4+c$, $b=2c$ vào phương trình cuối:

$$6(4+c)+2c=30+5c\iff 3c=6\iff c=2.$$

Do đó, $a=6$, $b=4$ và

$$C(t)=\dfrac{6t+4}{t+2}=6-\dfrac{8}{t+2}.$$

Vì vậy, $\lim_{t\to+\infty}C(t)=6$. Nồng độ tiệm cận đến $6$ mg/L.

Câu 4. Đáp án: $2$.

Từ chiều của hai nhánh đồ thị, suy ra $a<0$. Đồ thị cắt trục tung phía trên gốc tọa độ nên $d>0$.

Hai nghiệm của $f'(x)=0$ là $-3$, $-1$, do đó

$$f'(x)=3ax^2+2bx+c=3a(x+3)(x+1).$$

So sánh hệ số:

$$2b=12a,\qquad c=9a.$$

Suy ra $b=6a<0$, $c=9a<0$. Đồng thời,

$$a+b=7a<0,\qquad a-b=-5a>0.$$

Trong sáu số đã cho, chỉ có $d$ và $a-b$ dương. Vậy có $2$ số dương.

Câu 5. Đáp án: $28$.

Chọn hệ trục tọa độ có gốc tại $O$, chiều dương trục hoành hướng Đông, chiều dương trục tung hướng Bắc; đơn vị độ dài là kilômét.

Sau $t$ giờ, với $0\le t\le3$, hai xe có tọa độ

$$A(40t-60;0),\qquad B(0;30t-80).$$

Gọi khoảng cách giữa hai xe là $d(t)$. Khi đó

$$d^2(t)=(40t-60)^2+(30t-80)^2 =2500t^2-9600t+10000.$$

Do hàm căn bậc hai đồng biến, khoảng cách nhỏ nhất khi bình phương khoảng cách nhỏ nhất.

Đặt $g(t)=d^2(t)$. Ta có

$$g'(t)=5000t-9600=0\iff t=\dfrac{48}{25}=1{,}92.$$

Đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương tại $t=1{,}92$, thuộc đoạn $[0;3]$, nên $g$ đạt giá trị nhỏ nhất tại đây. Cũng có thể viết

$$g(t)=2500\left(t-\dfrac{48}{25}\right)^2+784.$$

Suy ra khoảng cách nhỏ nhất giữa hai xe là $\sqrt{784}=28$ km.

Câu 6. Đáp án: $2250$.

Gọi cạnh mỗi hình vuông bị cắt bỏ là $x$ cm. Điều kiện: $0<x<12{,}5$.

Hộp thu được có chiều cao $x$, chiều dài $40-2x$ và chiều rộng $25-2x$, cùng tính bằng centimét.

Thể tích hộp là

$$V(x)=x(40-2x)(25-2x)=4x^3-130x^2+1000x.$$

Đạo hàm:

$$V'(x)=12x^2-260x+1000=4(3x-50)(x-5).$$

Phương trình $V'(x)=0$ có nghiệm $x=5$ và $x=\dfrac{50}{3}$. Chỉ $x=5$ thuộc khoảng $(0;12{,}5)$.

Trên $(0;5)$, $V'(x)>0$; trên $(5;12{,}5)$, $V'(x)<0$. Do đó, thể tích lớn nhất đạt được khi cắt các hình vuông cạnh $5$ cm.

Thể tích lớn nhất là

$$V(5)=5\cdot30\cdot15=2250.$$

Vậy thể tích lớn nhất của hộp là $2250$ cm³.