Đề đánh giá năng lực – Tư duy định lượng (Toán 12) – 50 câu, 75 phút

Thang điểm: 50 điểm (mỗi câu trả lời đúng được 1,0 điểm).

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (42 câu, từ Câu 1 đến Câu 42)

Câu 1. Tập nghiệm của bất phương trình $\dfrac{3x+1}{x-2}\le 1$ là

Câu 2. Hai vận động viên bắn cung độc lập với nhau, xác suất bắn trúng hồng tâm của mỗi người lần lượt là $0,8$ và $0,7$. Xác suất để trong một lượt bắn có đúng một người bắn trúng là

Câu 3. Chọn ngẫu nhiên một số nguyên thuộc đoạn $[1;300]$. Xác suất để chọn được một số chia hết cho $6$ hoặc chia hết cho $10$ là

Câu 4. Trong không gian $Oxyz$, khoảng cách từ điểm $M(1;-2;2)$ đến mặt phẳng $(P):2x-y+2z-3=0$ bằng

Câu 5. Cho hàm số $f(x)=x(x-1)(x-2)\cdots(x-10)$. Giá trị $f'(1)$ bằng

Câu 6. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA=a\sqrt{2}$. Góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng

Câu 7. Gọi $A$, $B$ là hai điểm di động lần lượt thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị hàm số $y=\dfrac{2x+5}{x+1}$. Khoảng cách $AB$ nhỏ nhất bằng

Câu 8. Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[0;1]$ và thoả mãn $3f(x)+2f(1-x)=x^2$. Tích phân $\displaystyle\int_0^1 f(x)\,\mathrm{d}x$ bằng

Câu 9. Cho hàm số $y=\dfrac{2x-1}{x+3}$ có đồ thị $(C)$ và đường thẳng $d:y=-x+m$. Giá trị của $m$ để $d$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt $A$, $B$ sao cho tiếp tuyến của $(C)$ tại $A$ và tại $B$ song song với nhau là

Câu 10. Người ta bơm nước vào một bể bơi hình hộp chữ nhật có độ sâu $320$ cm. Gọi $h(t)$ (cm) là chiều cao mực nước tại thời điểm $t$ (giây), biết tốc độ tăng chiều cao mực nước là $h'(t)=\dfrac{t}{50}+\dfrac{1}{10}$ và lúc đầu bể không có nước. Thời gian cần thiết để lượng nước trong bể bằng $\dfrac{3}{4}$ dung tích bể là

Câu 11. Biết $\sin x+\cos x=\dfrac{1}{3}$. Giá trị của $\tan x+\cot x$ bằng

Câu 12. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M$ là trung điểm của $SA$. Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $M$ và song song với mặt phẳng $(SBD)$. Thiết diện của hình chóp cắt bởi $(\alpha)$ là

Câu 13. Kết quả cân $40$ quả bơ được cho trong bảng sau

Tứ phân vị thứ ba $Q_3$ của mẫu số liệu ghép nhóm trên thuộc nhóm thứ mấy (các nhóm đánh số thứ tự từ trái sang phải)?

Câu 14. Biết $\displaystyle\int_1^2 \frac{x+5}{x^2+3x+2}\,\mathrm{d}x=a\ln 2+b\ln 3$ với $a,b$ là các số nguyên. Giá trị của $a+b$ bằng

Câu 15. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y=\left|x^4-4x^2+m\right|$ có đúng $7$ điểm cực trị?

Câu 16. Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $(Q_1):2x-3y+z+4=0$ và $(Q_2):2x-3y+z-6=0$. Mặt phẳng $(P)$ song song và cách đều hai mặt phẳng $(Q_1)$, $(Q_2)$ có phương trình là

Câu 17. Một người có $8$ đôi giày khác nhau, trong lúc vội vã lấy ngẫu nhiên $4$ chiếc. Xác suất để trong $4$ chiếc lấy ra có ít nhất một đôi giày là

Câu 18. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $B$, $AD\parallel BC$, $AB=BC=a$, $AD=2a$; $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và góc giữa hai mặt phẳng $(SCD)$ và $(ABCD)$ bằng $45^\circ$. Thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng

Câu 19. Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(4;1;1)$, $B(-2;1;1)$, $C(1;4;1)$. Mặt cầu $(S)$ đi qua ba điểm đó và có tâm nằm trên mặt phẳng $(Oxy)$ có bán kính bằng

Câu 20. Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(2;1;-3)$ và $B(4;-3;1)$. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$ có phương trình là

Câu 21. Cho cấp số cộng $(u_n)$ có $u_1=2$ và công sai $d=3$. Biết tổng $n$ số hạng đầu của dãy là $S_n=155$. Giá trị của $n$ là

Câu 22. Điểm trung bình môn Toán của $84$ học sinh lớp 12 một trường THPT được thống kê như bảng sau

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên (làm tròn đến hàng phần chục) bằng

Câu 23. Có bao nhiêu số tự nhiên có $4$ chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho $5$?

Câu 24. Một hộ làm nghề đan cói mỗi ngày sản xuất $x$ sản phẩm $(0\le x\le 30)$. Chi phí biên để sản xuất $x$ sản phẩm (nghìn đồng) là $C'(x)=2x+5$, chi phí cố định ban đầu là $100$ nghìn đồng. Giả sử mỗi ngày hộ đó bán hết số sản phẩm với giá $45$ nghìn đồng một sản phẩm. Lợi nhuận tối đa (nghìn đồng) thu được trong một ngày là

Câu 25. Trên đường tròn định hướng, một chất điểm $P$ xuất phát từ vị trí $P_0$. Mỗi lần gieo một con xúc xắc cân đối: nếu số chấm xuất hiện là chẵn thì $P$ dịch chuyển theo chiều kim đồng hồ một góc $45^\circ$, nếu số chấm lẻ thì $P$ dịch chuyển ngược chiều kim đồng hồ một góc $45^\circ$. Gieo xúc xắc $8$ lần liên tiếp, xác suất để $P$ trở về đúng vị trí ban đầu là

Câu 26. Cho lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$. Tam giác $A'AB$ cân tại $A'$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$; mặt bên $(AA'C'C)$ tạo với mặt phẳng $(ABC)$ một góc $45^\circ$. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

Câu 27. Một chiếc cổng có dạng parabol với chiều cao $8$ m, khoảng cách giữa hai chân cổng là $8$ m. Một xe tải chở thùng hàng mà mặt cắt qua cổng của thùng hàng là hình chữ nhật có cạnh đáy cách mặt đất $1,5$ m. Diện tích lớn nhất của mặt cắt đó để xe chở thùng hàng đi qua được cổng là (làm tròn đến hàng phần chục)

Câu 28. Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_1=1$ và $u_{n+1}=2u_n+1$ với mọi $n\ge 1$. Tổng $6$ số hạng đầu của dãy bằng

Câu 29. Cho tam giác $ABC$ có độ dài ba cạnh lần lượt là $a=10$, $b=17$, $c=21$. Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ bằng

Câu 30. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $[0;15]$ để hàm số $y=x^3-3x^2+(m-1)x+2$ đồng biến trên khoảng $(1;+\infty)$?

Câu 31. Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như sau

[Bảng biến thiên]

Số nghiệm của phương trình $f(x)=1$ là

Câu 32. Cho một đa giác đều có $20$ đỉnh. Chọn ngẫu nhiên $4$ đỉnh của đa giác. Xác suất để $4$ đỉnh được chọn không tạo thành một hình chữ nhật là

Câu 33. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $x^3-3x+m=0$ có ba nghiệm thực phân biệt?

Câu 34. Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có thể tích $V$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $AA'$. Thể tích của khối chóp $M.ABCD$ bằng

Câu 35. Một chiếc cốc có dạng tròn xoay, thiết diện dọc của cốc (bổ dọc cốc thành hai phần bằng nhau) là một đường parabol. Miệng cốc có đường kính $10$ cm, chiều sâu của cốc là $12$ cm. Thể tích tối đa mà cốc chứa được gần nhất với giá trị nào dưới đây?

Câu 36. Bánh xe đạp có đường kính $60$ cm (kể cả lốp). Khi xe chạy với vận tốc $36$ km/h thì trong $30$ giây bánh xe quay được số vòng gần nhất với giá trị nào dưới đây?

Câu 37. Trong mặt phẳng $Oxy$, cho đường tròn $(C):x^2+y^2=25$ và điểm $M(7;0)$. Có bao nhiêu đường thẳng $d$ đi qua $M$, cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt $A$, $B$ sao cho $MA=2MB$?

Câu 38. Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có $3$ chữ số đôi một khác nhau. Xác suất để số được chọn là số chẵn và các chữ số của nó tăng dần từ trái sang phải là

Câu 39. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình $4^x-2^{x+1}+m=0$ có đúng một nghiệm thực.

Dựa vào dữ kiện dưới đây để trả lời các câu hỏi từ Câu 40 đến Câu 42.

Một vòng đu quay quay đều quanh trục nằm ngang. Chiều cao (mét) của một cabin so với mặt hồ tại thời điểm $t$ (giây) được cho bởi công thức $h(t)=7+5\sin(0,2t)$, với $t\ge 0$.

Câu 40. Thời điểm đầu tiên cabin đạt độ cao lớn nhất là (làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 41. Chiều cao nhỏ nhất của cabin so với mặt hồ là

Câu 42. Bán kính của vòng đu quay là

PHẦN II. TRẢ LỜI NGẮN (8 câu, từ Câu 43 đến Câu 50)

Câu 43. Cho hai biến cố $A$, $B$ có $P(A)=0,5$; $P(B)=0,4$ và $P(A\cup B)=0,7$. Tính $P(A\mid B)$.

Đáp án: ……………………

Câu 44. Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;2;3)$ và $B(3;-2;1)$. Điểm $M$ thuộc mặt phẳng $(Oxy)$. Tính giá trị nhỏ nhất của $MA+MB$.

Đáp án: ……………………

Câu 45. Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có $3$ chữ số. Tính xác suất để tổng các chữ số của số được chọn bằng $8$.

Đáp án: ……………………

Câu 46. Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA=10$, $SB=12$, $BC=8$. Điểm $M$ thuộc cạnh $SB$. Mặt phẳng $(P)$ đi qua $M$ và song song với cả $SA$ và $BC$, cắt hình chóp theo thiết diện là hình thoi. Tính $SM$.

Đáp án: ……………………

Câu 47. Người ta treo một chiếc đèn trang trí có trọng lượng $150$ N vào trần nhà bằng ba sợi dây không giãn, bằng nhau, buộc tại ba điểm $A$, $B$, $C$ tạo thành một tam giác đều trên trần. Mỗi sợi dây tạo với mặt phẳng trần một góc $45^\circ$ và đèn được giữ ở trạng thái cân bằng. Tính lực căng trong mỗi sợi dây (làm tròn đến hàng đơn vị, đơn vị N).

Đáp án: ……………………

Câu 48. Có bao nhiêu cách xếp $5$ học sinh nam và $4$ học sinh nữ (tất cả khác nhau) thành một hàng dọc sao cho không có hai học sinh nữ nào đứng cạnh nhau?

Đáp án: ……………………

Câu 49. Từ một tam giác đều có diện tích bằng $1$, người ta thực hiện liên tiếp các bước sau. Bước 1: nối trung điểm các cạnh, chia tam giác thành $4$ tam giác nhỏ và bỏ đi tam giác ở giữa (diện tích $\dfrac{1}{4}$). Bước 2: làm tương tự với mỗi tam giác còn lại (bỏ đi $3$ tam giác, mỗi tam giác có diện tích $\dfrac{1}{4^2}$). Cứ tiếp tục như vậy, ở bước thứ $n$ bỏ đi $3^{n-1}$ tam giác, mỗi tam giác có diện tích $\dfrac{1}{4^n}$. Sau bước thứ $3$, tổng diện tích các tam giác còn lại bằng bao nhiêu?

Đáp án: ……………………

Câu 50. Đồ thị hàm số $y=\dfrac{x^2-5x+6}{x^2-4}$ có bao nhiêu đường tiệm cận?

Đáp án: ……………………

--------- HẾT ---------

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN CHI

TIẾT

A. HƯỚNG DẪN CHUNG

- Đề gồm $50$ câu: Phần I có $42$ câu trắc nghiệm (Câu 1 – Câu 42) và Phần II có $8$ câu trả lời ngắn (Câu 43 – Câu 50).
- Mỗi câu trả lời đúng được $1,0$ điểm; tổng điểm toàn bài là $50$ điểm (quy đổi thang $10$: điểm bài thi $= \dfrac{\text{số câu đúng}}{5}$).
- Phần II: học sinh điền kết quả số (hoặc phân số) vào ô trả lời; kết quả đúng là kết quả đã nêu trong bảng dưới đây (chấp nhận các dạng viết tương đương).

B. ĐÁP ÁN

Phần I. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Phần II. Trả lời ngắn

C. LỜI GIẢI CHI TIẾT

Câu 1. B.
Điều kiện $x\ne 2$. Ta có $\dfrac{3x+1}{x-2}-1\le 0 \Leftrightarrow \dfrac{2x+3}{x-2}\le 0$.
Tử triệt tiêu tại $x=-\dfrac{3}{2}$, mẫu triệt tiêu tại $x=2$; biểu thức nhận giá trị âm trên $\left[-\dfrac{3}{2};2\right)$. Tập nghiệm là $\left[-\dfrac{3}{2};2\right)$.

Câu 2. A.
Xác suất đúng một người trúng: $0,8\cdot 0,3+0,2\cdot 0,7=0,24+0,14=0,38$.

Câu 3. D.
Số chia hết cho $6$: $\left\lfloor \dfrac{300}{6}\right\rfloor=50$; chia hết cho $10$: $30$; chia hết cho cả hai (bội của $30$): $10$.
Số thuận lợi: $50+30-10=70$. Xác suất: $\dfrac{70}{300}=\dfrac{7}{30}$.

Câu 4. C.
$d=\dfrac{|2\cdot 1-(-2)+2\cdot 2-3|}{\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}}=\dfrac{5}{3}$.

Câu 5. B.
$f(x)=(x-1)\cdot g(x)$ với $g(x)=x(x-2)(x-3)\cdots(x-10)$, suy ra $f'(1)=g(1)$.
$g(1)=1\cdot(-1)\cdot(-2)\cdots(-9)=(-1)^9\cdot 9!=-9!$.

Câu 6. D.
$SA\perp (ABCD)$ nên $AC$ là hình chiếu của $SC$ trên $(ABCD)$, góc cần tìm là $\widehat{SCA}$.
$\tan\widehat{SCA}=\dfrac{SA}{AC}=\dfrac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{2}}=1 \Rightarrow \widehat{SCA}=45^\circ$.

Câu 7. A.
Viết $y=2+\dfrac{3}{x+1}$; đồ thị có tiệm cận $x=-1$, $y=2$. Lấy $A\left(-1+t;2+\dfrac{3}{t}\right)$, $B\left(-1-t;2-\dfrac{3}{t}\right)$ với $t>0$.
$AB^2=4t^2+\dfrac{36}{t^2}\ge 2\sqrt{144}=24$, dấu bằng khi $t^2=3$. Vậy $AB_{\min}=2\sqrt{6}$.

Câu 8. C.
Lấy tích phân hai vế trên $[0;1]$: $3I+2\displaystyle\int_0^1 f(1-x)\mathrm{d}x=\int_0^1 x^2\mathrm{d}x=\dfrac{1}{3}$.
Mà $\displaystyle\int_0^1 f(1-x)\mathrm{d}x=I$ nên $5I=\dfrac{1}{3}$, suy ra $I=\dfrac{1}{15}$.

Câu 9. B.
$y'=\dfrac{7}{(x+3)^2}$. Tiếp tuyến tại $A$, $B$ song song $\Leftrightarrow (x_A+3)^2=(x_B+3)^2 \Leftrightarrow x_A+x_B=-6$.
Phương trình hoành độ giao điểm: $\dfrac{2x-1}{x+3}=-x+m \Leftrightarrow x^2+(5-m)x-(1+3m)=0$.
Theo Vi-ét $x_A+x_B=m-5$, suy ra $m-5=-6 \Leftrightarrow m=-1$. Khi đó $\Delta=36+8=44>0$ (thoả mãn hai nghiệm phân biệt).

Câu 10. D.
$h(t)=\displaystyle\int_0^t\left(\dfrac{s}{50}+\dfrac{1}{10}\right)\mathrm{d}s=\dfrac{t^2}{100}+\dfrac{t}{10}$.
Cần $h=\dfrac{3}{4}\cdot 320=240$: $\dfrac{t^2}{100}+\dfrac{t}{10}=240 \Leftrightarrow t^2+10t-24000=0 \Leftrightarrow t=150$ (giây).
Vậy $150$ giây $=2$ phút $30$ giây.

Câu 11. C.
$\sin x+\cos x=\dfrac{1}{3} \Rightarrow 1+2\sin x\cos x=\dfrac{1}{9} \Rightarrow \sin x\cos x=-\dfrac{4}{9}$.
$\tan x+\cot x=\dfrac{1}{\sin x\cos x}=-\dfrac{9}{4}$.

Câu 12. A.
Mặt phẳng $(\alpha)\parallel (SBD)$ cắt $(SAB)$ theo giao tuyến $ME\parallel SB$ ($E\in AB$), cắt $(SAD)$ theo $MF\parallel SD$ ($F\in AD$), cắt $(ABCD)$ theo $EF\parallel BD$. Thiết diện là tam giác $MEF$.

Câu 13. D.
Cỡ mẫu $n=40$; $Q_3$ là số hạng thứ $\dfrac{3n}{4}=30$. Tần số tích luỹ: $5;\ 14;\ 26;\ 34$ nên $Q_3$ thuộc nhóm thứ $4$ là $[35;40)$.

Câu 14. B.
$\dfrac{x+5}{(x+1)(x+2)}=\dfrac{4}{x+1}-\dfrac{3}{x+2}$.
$\displaystyle\int_1^2 f(x)\mathrm{d}x=\left[4\ln(x+1)-3\ln(x+2)\right]_1^2=\left(4\ln 3-3\ln 4\right)-\left(4\ln 2-3\ln 3\right)=7\ln 3-10\ln 2$.
Vậy $a=-10$, $b=7$, $a+b=-3$.

Câu 15. C.
Đặt $g(x)=x^4-4x^2+m$, $g'(x)=4x(x^2-2)$ nên $g$ có $3$ điểm cực trị, $g(0)=m$, $g(\pm\sqrt2)=m-4$.
Hàm $|g(x)|$ có đúng $7$ điểm cực trị $\Leftrightarrow g$ có $3$ cực trị và $g(x)=0$ có $4$ nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow m-4<0<m \Leftrightarrow 0<m<4$.
Giá trị nguyên: $m\in\{1;2;3\}$, có $3$ giá trị.

Câu 16. A.
Hai mặt phẳng có cùng vectơ pháp tuyến nên $(P)$ có dạng $2x-3y+z+D=0$. Điều kiện cách đều:
$\dfrac{|D-4|}{\sqrt{14}}=\dfrac{|D+6|}{\sqrt{14}} \Leftrightarrow D-4=-D-6 \Leftrightarrow D=-1$.
Vậy $(P):2x-3y+z-1=0$.

Câu 17. D.
Không gian mẫu: $C_{16}^{4}=1820$. Số cách lấy $4$ chiếc không có đôi nào: $C_8^4\cdot 2^4=70\cdot 16=1120$.
Số cách có ít nhất một đôi: $1820-1120=700$. Xác suất $\dfrac{700}{1820}=\dfrac{5}{13}$.

Câu 18. B.
Diện tích đáy $S_{ABCD}=\dfrac{AD+BC}{2}\cdot AB=\dfrac{2a+a}{2}\cdot a=\dfrac{3a^2}{2}$.
Chọn hệ trục với $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $C(a;a;0)$, $D(0;2a;0)$, $S(0;0;h)$. Mặt phẳng $(SCD)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(ah;ah;2a^2)$.
$\cos 45^\circ=\dfrac{2a^2}{a\sqrt{2h^2+4a^2}} \Rightarrow 2h^2+4a^2=8a^2 \Rightarrow h=a\sqrt{2}$.
$V=\dfrac{1}{3}\cdot a\sqrt{2}\cdot\dfrac{3a^2}{2}=\dfrac{a^3\sqrt{2}}{2}$.

Câu 19. C.
Gọi $I(x;y;0)$ là tâm. Từ $IA=IB$ suy ra $x=1$; từ $IA=IC$ suy ra $y=1$. Vậy $I(1;1;0)$ và $R^2=(4-1)^2+(1-1)^2+(1-0)^2=10$, $R=\sqrt{10}$.

Câu 20. A.
Trung điểm $I(3;-1;-1)$, $\overrightarrow{AB}=(2;-4;4)\parallel(1;-2;2)$.
Mặt phẳng: $1(x-3)-2(y+1)+2(z+1)=0 \Leftrightarrow x-2y+2z-3=0$.

Câu 21. D.
$S_n=\dfrac{n\left[2u_1+(n-1)d\right]}{2}=\dfrac{n(3n+1)}{2}=155 \Leftrightarrow 3n^2+n-310=0 \Leftrightarrow n=10$ (nhận) hoặc $n=-\dfrac{31}{3}$ (loại).

Câu 22. B.
$n=40$; $Q_1$ là số hạng thứ $10$: tần số tích luỹ $4;\ 13$ nên $Q_1=7+\dfrac{10-4}{9}\cdot 1=\dfrac{23}{3}\approx 7,67$.
$Q_3$ là số hạng thứ $30$: tần số tích luỹ $4;\ 13;\ 28;\ 40$ nên $Q_3=9+\dfrac{30-28}{12}\cdot 1=\dfrac{55}{6}\approx 9,17$.
Khoảng tứ phân vị: $\dfrac{55}{6}-\dfrac{23}{3}=\dfrac{3}{2}=1,5$.

Câu 23. C.
Chữ số tận cùng bằng $0$: chọn và xếp $3$ chữ số từ $9$ chữ số còn lại, có $A_9^3=504$ số.
Chữ số tận cùng bằng $5$: chữ số hàng nghìn có $8$ cách (khác $0$ và $5$), hai chữ số còn lại có $A_8^2=56$ cách, được $448$ số.
Tổng: $504+448=952$ số.

Câu 24. A.
$C(x)=\displaystyle\int(2x+5)\mathrm{d}x=x^2+5x+100$ (nghìn đồng).
Lợi nhuận $P(x)=45x-\left(x^2+5x+100\right)=-x^2+40x-100$.
$P'(x)=-2x+40=0 \Leftrightarrow x=20$ (thoả $0\le x\le 30$); $P(20)=300$ nghìn đồng.

Câu 25. D.
Gọi $k$ là số lần quay ngược chiều kim đồng hồ; tổng góc quay là $(2k-8)\cdot 45^\circ$ và $P$ về vị trí ban đầu khi $(2k-8)\cdot 45^\circ$ là bội của $360^\circ$, tức $2k-8\equiv 0\pmod 8$, hay $k\equiv 0\pmod 4$.
Vậy $k\in\{0;4;8\}$: số kết quả thuận lợi $C_8^0+C_8^4+C_8^8=1+70+1=72$.
Xác suất: $\dfrac{72}{2^8}=\dfrac{72}{256}=\dfrac{9}{32}$.

Câu 26. B.
Gọi $H$ là trung điểm $AB$. Do $(A'AB)\perp(ABC)$ và $A'AB$ cân tại $A'$ nên $A'H\perp(ABC)$.
Kẻ $HK\perp AC$ tại $K$, suy ra $A'K\perp AC$ và góc giữa $(AA'C'C)$ với $(ABC)$ là $\widehat{A'KH}=45^\circ$.
$HK=AH\cdot\sin 60^\circ=\dfrac{a}{2}\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=\dfrac{a\sqrt3}{4}$; $A'H=HK\cdot\tan 45^\circ=\dfrac{a\sqrt3}{4}$.
$V=A'H\cdot S_{ABC}=\dfrac{a\sqrt3}{4}\cdot\dfrac{a^2\sqrt3}{4}=\dfrac{3a^3}{16}$.