ĐỀ CƯƠNG TOÁN GIỮA HỌC KÌ I - LỚP TOÁN ANH THÌN

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 30. Mỗi câu hỏi chỉ chọn một phương án đúng.

Câu 1. Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

[Bảng biến thiên]

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Câu 2. Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}$ và có bảng xét dấu của đạo hàm $f'(x)$ như sau:

Số điểm cực đại của hàm số đã cho là

Câu 3. Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \dfrac{3x - 1}{x + 2}$ có phương trình là

Câu 4. Cho tứ diện $ABCD$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Câu 5. Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = x^4 - 2x^2 + 3$ trên đoạn $[0; 2]$ bằng

Câu 6. Hàm số $y = \dfrac{2x - 3}{x + 1}$ đồng biến trên khoảng nào sau đây?

Câu 7. Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$. Tổng $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}$ bằng

Câu 8. Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \dfrac{x + 1}{2x - 4}$ là

Câu 9. Điểm cực tiểu của hàm số $y = x^3 - 3x + 4$ là

Câu 10. Cho hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ trong không gian thoả mãn $|\vec{u}| = 2$, $|\vec{v}| = 3$ và $(\vec{u}, \vec{v}) = 60^\circ$. Tích vô hướng $\vec{u} \cdot \vec{v}$ bằng

Câu 11. Đồ thị hàm số $y = \dfrac{2x^2 - 3x + 2}{x - 1}$ có đường tiệm cận xiên là

Câu 12. Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $[-2; 3]$ và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi $M$ và $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[-2; 3]$. Giá trị của $M - m$ bằng bao nhiêu biết giá trị lớn nhất đạt được tại đỉnh có tung độ bằng $4$ và giá trị nhỏ nhất có tung độ bằng $-2$?

Câu 13. Trong không gian, cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $a$. Tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{A'C'}$.

Câu 14. Hàm số $y = -x^3 + 3x^2 - 1$ nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

Câu 15. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \dfrac{x + 2}{\sqrt{x^2 - 4}}$ là

Câu 16. Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$. Đặt $\overrightarrow{AA'} = \vec{a}$, $\overrightarrow{AB} = \vec{b}$, $\overrightarrow{AC} = \vec{c}$. Biểu diễn vectơ $\overrightarrow{B'C}$ theo ba vectơ $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ ta được

Câu 17. Giá trị lớn nhất của hàm số $f(x) = \dfrac{x + 1}{x - 2}$ trên đoạn $[3; 5]$ là

Câu 18. Điểm cực đại của đồ thị hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 2$ là điểm nào dưới đây?

Câu 19. Cho tứ diện $ABCD$ có $G$ là trọng tâm của tứ diện. Đẳng thức vectơ nào sau đây là đúng?

Câu 20. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực $m$ để hàm số $y = x^3 - 3mx^2 + 3(2m - 1)x + 1$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Câu 21. Một vật chuyển động theo quy luật $s(t) = -t^3 + 6t^2 + 2$, trong đó $t$ (giây) là khoảng thời gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và $s$ (mét) là quãng đường vật di chuyển được. Vận tốc tức thời của vật đạt giá trị lớn nhất tại thời điểm nào?

Câu 22. Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $a$. Tích vô hướng $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{A'D}$ bằng

Câu 23. Số giao điểm của đường tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = \dfrac{x^2 - x + 1}{x + 1}$ là

Câu 24. Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = x(x - 1)^2(x + 2)^3$. Số điểm cực trị của hàm số $f(x)$ là

Câu 25. Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \perp (ABC)$ và đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Câu 26. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x + \dfrac{4}{x}$ trên khoảng $(0; +\infty)$.

Câu 27. Cho hàm số $y = \dfrac{mx + 4}{x + m}$. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.

Câu 28. Một công ty sản xuất một loại sản phẩm. Biết rằng hàm tổng chi phí sản xuất $x$ đơn vị sản phẩm (tính bằng triệu đồng) là $C(x) = x^3 - 30x^2 + 500x + 1000$. Chi phí biên $C'(x)$ đạt giá trị nhỏ nhất khi sản xuất bao nhiêu đơn vị sản phẩm?

Câu 29. Trong không gian, cho ba vectơ $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ không đồng phẳng. Điều kiện cần và đủ để vectơ $\vec{d}$ đồng phẳng với $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là

Câu 30. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = \dfrac{x - 1}{x^2 - 2mx + 4}$ có đúng hai đường tiệm cận đứng.

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 10. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn Đúng hoặc Sai.

Câu 1. Cho hàm số bậc ba $y = f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$.
a) Đạo hàm của hàm số là $f'(x) = 3x^2 - 6x - 9$.
b) Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1; 3)$.
c) Điểm cực đại của hàm số là $(-1; 10)$.
d) Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[0; 4]$ bằng $5$.

Câu 2. Cho hàm số $y = \dfrac{2x + 1}{x - 1}$ có đồ thị là $(C)$.
a) Đồ thị $(C)$ có tiệm cận đứng là đường thẳng $x = 1$.
b) Đồ thị $(C)$ có tiệm cận ngang là đường thẳng $y = 2$.
c) Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty; 1)$ và $(1; +\infty)$.
d) Giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị $(C)$ là điểm $I(1; 2)$.

Câu 3. Cho hàm số $y = f(x) = \dfrac{x^2 - 3x + 3}{x - 1}$ có đồ thị là $(C)$.
a) Ta có thể viết $f(x) = x - 2 + \dfrac{1}{x - 1}$.
b) Đồ thị $(C)$ có đường tiệm cận xiên là $y = x - 2$.
c) Hàm số có 2 điểm cực trị nằm về hai phía đối với trục tung.
d) Điểm cực đại của đồ thị $(C)$ có toạ độ là $(0; -3)$.

Câu 4. Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $a$.
a) Vectơ tổng $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{B'C'} + \overrightarrow{DD'}$ bằng $\overrightarrow{AC'}$.
b) Độ dài của vectơ $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}$ bằng $a\sqrt{2}$.
c) Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{A'B}$ và $\overrightarrow{B'C}$ bằng $60^\circ$.
d) Tích vô hướng $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CC'} = 0$.

Câu 5. Một người thợ muốn làm một thùng chứa nước hình hộp chữ nhật không nắp có thể tích $V = 36\text{ m}^3$, đáy là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Gọi chiều rộng của đáy là $x$ (m), với $x > 0$.
a) Chiều cao của thùng nước tính theo $x$ là $h = \dfrac{18}{x^2}$ (m).
b) Tổng diện tích các mặt cần gia công là $S(x) = 2x^2 + \dfrac{54}{x}$ ($\text{m}^2$).
c) Diện tích bề mặt gia công nhỏ nhất khi $x = 3$ m.
d) Khi diện tích vật liệu nhỏ nhất, chi phí tiền tôn không vượt quá 5 triệu đồng, biết đơn giá gia công là 150.000 đồng/$\text{m}^2$.

Câu 6. Cho hàm số $y = f(x)$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R} \setminus \{1\}$, có bảng biến thiên như sau:

[Bảng biến thiên]

a) Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang là các đường thẳng $y = 2$ và $y = 4$.
b) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng $x = 1$.
c) Điểm cực đại của hàm số là $x = 3$.
d) Phương trình $f(x) = m$ có 2 nghiệm phân biệt khi $2 < m < 4$.

Câu 7. Cho tứ diện đều $ABCD$ có cạnh bằng $a$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$.
a) Vectơ $\overrightarrow{MN} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC})$.
b) Độ dài đoạn thẳng $MN$ bằng $\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
c) Hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ vuông góc với nhau.
d) Tích vô hướng $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \dfrac{a^2}{2}$.

Câu 8. Một chất điểm chuyển động thẳng có phương trình chuyển động $s(t) = 2t^3 - 9t^2 + 12t + 5$, với $t \ge 0$ tính bằng giây và $s(t)$ tính bằng mét.
a) Vận tốc của chất điểm tại thời điểm $t$ là $v(t) = 6t^2 - 18t + 12$ (m/s).
b) Chất điểm dừng lại tại hai thời điểm $t = 1$ s và $t = 2$ s.
c) Gia tốc của chất điểm tại thời điểm vận tốc triệt tiêu lần thứ nhất là $-6\text{ m/s}^2$.
d) Trong khoảng thời gian từ $t = 0$ s đến $t = 3$ s, vận tốc lớn nhất của chất điểm bằng $12$ m/s.

Câu 9. Cho hàm số $y = \dfrac{x + m}{x - 1}$ ($m$ là tham số thực).
a) Đạo hàm của hàm số là $y' = \dfrac{-1 - m}{(x - 1)^2}$.
b) Khi $m = -1$, hàm số trở thành hàm hằng trên từng khoảng xác định.
c) Có đúng 3 giá trị nguyên của $m \in [-5; 5]$ để hàm số đồng biến trên các khoảng xác định.
d) Với mọi $m \ne -1$, đồ thị hàm số luôn nhận giao điểm của hai tiệm cận là điểm $I(1; 1)$.

Câu 10. Một vật có trọng lượng $P = 100$ N được treo cân bằng bởi ba sợi dây không dãn có cùng độ dài xuất phát từ một móc treo ở trần nhà đến ba đỉnh của một tam giác đều nằm trong mặt phẳng nằm ngang. Gọi các lực căng do ba sợi dây tác dụng lên vật lần lượt là $\vec{F}_1, \vec{F}_2, \vec{F}_3$.
a) Tổng hợp lực tác dụng lên vật bằng $\vec{0}$.
b) $\vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3 = -\vec{P}$, trong đó $\vec{P}$ là trọng lực hướng thẳng đứng xuống dưới.
c) Ba lực $\vec{F}_1, \vec{F}_2, \vec{F}_3$ có độ lớn bằng nhau.
d) Nếu góc giữa mỗi sợi dây và phương thẳng đứng là $60^\circ$ thì độ lớn lực căng của mỗi sợi dây xấp xỉ bằng $66,7$ N.

PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 10.

Câu 1. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $f(x) = -x^3 + 3x^2 + 9x - 1$ trên đoạn $[-2; 2]$.

Câu 2. Cho hàm số $y = \dfrac{x^2 - 4x + 7}{x - 1}$. Khoảng cách từ gốc toạ độ $O(0; 0)$ đến giao điểm hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số bằng bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Câu 3. Cho hàm số $y = \dfrac{1}{3}x^3 - mx^2 + (m^2 - 4)x + 3$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số có hai điểm cực trị trái dấu?

Câu 4. Một xưởng sản xuất muốn làm một thùng chứa hình trụ có nắp bằng tôn với dung tích $V = 54\pi\text{ dm}^3$. Để tiết kiệm vật liệu nhất, bán kính đáy $R$ của khối trụ phải bằng bao nhiêu đêximét?

Câu 5. Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$. Gọi $M$ là điểm thoả mãn $\overrightarrow{AM} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AA'}$. Biết rằng $\overrightarrow{C'M} = x\overrightarrow{AB} + y\overrightarrow{AD} + z\overrightarrow{AA'}$. Tính giá trị biểu thức $T = x + y + z$.

Câu 6. Đồ thị hàm số $y = \dfrac{2x - 1}{\sqrt{x^2 - 3x + 2}}$ có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận (bao gồm cả tiệm cận đứng và tiệm cận ngang)?

Câu 7. Một hộ gia đình chăn nuôi dự định làm một hàng rào bằng lưới thép dài $60$ m để quây một mảnh đất hình chữ nhật sát một bức tường thẳng có sẵn (bức tường dùng làm một cạnh của hình chữ nhật, không cần rào). Diện tích lớn nhất của mảnh đất được rào chắn bằng bao nhiêu mét vuông?

Câu 8. Trong không gian, cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ có $|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 4$ và $|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{37}$. Tính góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ (tính theo đơn vị độ).

Câu 9. Cho hàm số $y = \dfrac{2x^2 + 3x - 1}{x + 2}$ có đồ thị $(C)$. Đường tiệm cận xiên của $(C)$ cắt hai trục toạ độ $Ox, Oy$ lần lượt tại $A$ và $B$. Tính diện tích tam giác $OAB$.

Câu 10. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in [-10; 10]$ để hàm số $y = \dfrac{x - 2}{x - m}$ đồng biến trên khoảng $(3; +\infty)$?

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................................ Số báo danh: ........................