ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP CHƯƠNG I - TOÁN 12 (THEO BẢN ĐẶC TẢ)

SỞ GD&ĐT …

TRƯỜNG THPT …

Đề cương ôn tập

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP CHƯƠNG I – TOÁN 12

NĂM HỌC 2026 – 2027

Môn: Toán – Lớp 12

Chủ đề: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 60. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Dạng 1: Nhận biết tính đơn điệu từ BBT hoặc đồ thị (Tương tự Câu 1 bản đặc tả)

Câu 1. Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

[Bảng biến thiên]

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(-1; 1)$

B. $(-\infty; -1)$

C. $(-2; 2)$

D. $(-1; +\infty)$

Câu 2. Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}$ và có bảng xét dấu của đạo hàm $f'(x)$ như sau:

$x$	$-\infty$		$-2$		$0$		$3$		$+\infty$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$

Hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(-\infty; -2)$

B. $(0; 3)$

C. $(-2; 0)$

D. $(-2; 3)$

Câu 3. Cho hàm số bậc ba $y = f(x)$ có đồ thị là đường cong với điểm cực đại $A(-2; 4)$ và điểm cực tiểu $B(2; -1)$ . Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(-2; 2)$

B. $(-\infty; -2)$

C. $(2; +\infty)$

D. $(-1; 4)$

Câu 4. Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như sau:

[Bảng biến thiên]

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào?

A. $(-\infty; 0)$

B. $(0; 2)$

C. $(2; +\infty)$

D. $(-3; 1)$

Câu 5. Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

[Bảng biến thiên]

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R} \setminus \{1\}$

B. Hàm số đồng biến trên $(-\infty; +\infty)$

C. Hàm số đồng biến trên từng khoảng $(-\infty; 1)$ và $(1; +\infty)$

D. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng $(-\infty; 1)$ và $(1; +\infty)$

Dạng 2: Nhận biết cực trị hàm số từ BBT hoặc đồ thị (Tương tự Câu 2 bản đặc tả)

Câu 6. Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

[Bảng biến thiên]

Điểm cực đại của hàm số đã cho là

A. $x = 5$

B. $x = -4$

C. $x = -2$

D. $x = 3$

Câu 7. Cho hàm số $y = f(x)$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$ có bảng biến thiên:

[Bảng biến thiên]

Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng

A. $-1$

B. $2$

C. $-3$

D. Không có cực tiểu

Câu 8. Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị đi qua các điểm cực trị $M(1; -3)$ và $N(-1; 1)$ . Tọa độ điểm cực đại của đồ thị hàm số là điểm có tung độ lớn hơn. Tọa độ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là

A. $(1; -3)$

B. $(-1; 1)$

C. $x = 1$

D. $y = -3$

Câu 9. Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

$x$	$-\infty$		$-1$		$1$		$4$		$+\infty$
$f'(x)$		$-$	$0$	$+$	$0$	$+$	$0$	$-$

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

A. $1$

B. $2$

C. $3$

D. $4$

Câu 10. Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ có đạo hàm $f'(x_0) = 0$ và đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x_0$ . Khi đó $x_0$ được gọi là

A. Điểm cực đại của hàm số

B. Điểm cực tiểu của hàm số

C. Giá trị cực tiểu của hàm số

D. Giá trị lớn nhất của hàm số

Dạng 3: Thông hiểu tính đơn điệu và cực trị của hàm đa thức / đồ thị đạo hàm (Tương tự Câu 3 bản đặc tả)

Câu 11. Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = x(x - 2)^2(x + 3)$ . Hàm số $f(x)$ có bao nhiêu điểm cực trị?

A. $1$

B. $2$

C. $3$

D. $4$

Câu 12. Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = x^2 - 4x + 3$ . Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

A. $(1; 3)$

B. $(-\infty; 1)$

C. $(3; +\infty)$

D. $(0; 4)$

Câu 13. Cho hàm số $y = -x^3 + 3x^2 - 5$ . Khoảng đồng biến của hàm số là

A. $(-\infty; 0)$

B. $(0; 2)$

C. $(2; +\infty)$

D. $(-\infty; 2)$

Câu 14. Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = (x - 1)^3(x + 2)^4(x - 5)$ . Điểm cực tiểu của hàm số là

A. $x = 1$

B. $x = -2$

C. $x = 5$

D. $x = 0$

Câu 15. Cho hàm số $y = x^4 - 2x^2 + 3$ . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

A. $1$

B. $2$

C. $3$

D. $0$

Dạng 4: Nhận biết GTLN, GTNN trên một đoạn qua BBT hoặc đồ thị (Tương tự Câu 4 bản đặc tả)

Câu 16. Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $[-2; 3]$ có bảng biến thiên:

[Bảng biến thiên]

Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[-2; 3]$ bằng

A. $4$

B. $5$

C. $1$

D. $-1$

Câu 17. Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $[1; 4]$ và có đồ thị đi qua các điểm $A(1; 2)$ , $B(2; 6)$ , $C(3; 0)$ , $D(4; 3)$ với điểm cao nhất là $B(2; 6)$ và điểm thấp nhất là $C(3; 0)$ . Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[1; 4]$ là

A. $2$

B. $6$

C. $0$

D. $3$

Câu 18. Cho hàm số $y = f(x)$ xác định và liên tục trên $[-1; 5]$ , có bảng biến thiên:

[Bảng biến thiên]

Gọi $M$ và $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[-1; 5]$ . Giá trị của $M + m$ bằng

A. $5$

B. $10$

C. $1$

D. $-2$

Câu 19. Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên trên đoạn $[0; 4]$ như sau:

$x$	$0$		$1$		$3$		$4$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$2$	$\nearrow$	$6$	$\searrow$	$-3$	$\nearrow$	$1$

Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. $\min_{[0; 4]} f(x) = 2$

B. $\max_{[0; 4]} f(x) = 6$

C. $\max_{[0; 4]} f(x) = 1$

D. $\min_{[0; 4]} f(x) = 1$

Câu 20. Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $[-3; 2]$ có $\min_{[-3; 2]} f(x) = f(-1) = -4$ và $\max_{[-3; 2]} f(x) = f(2) = 8$ . Hiệu $\max_{[-3; 2]} f(x) - \min_{[-3; 2]} f(x)$ bằng

A. $12$

B. $4$

C. $-12$

D. $6$

Dạng 5: Thông hiểu GTLN, GTNN của hàm bậc ba, phân thức trên một đoạn (Tương tự Câu 5 bản đặc tả)

Câu 21. Giá trị lớn nhất của hàm số $y = x^3 - 3x + 2$ trên đoạn $[0; 2]$ là

A. $2$

B. $0$

C. $4$

D. $6$

Câu 22. Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x^3 - 3x^2 - 9x + 1$ trên đoạn $[-2; 4]$ bằng

A. $-26$

B. $-19$

C. $6$

D. $-20$

Câu 23. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = \dfrac{2x + 1}{x - 2}$ trên đoạn $[3; 5]$ .

A. $7$

B. $\dfrac{11}{3}$

C. $\dfrac{7}{2}$

D. $5$

Câu 24. Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \dfrac{x + 3}{x - 1}$ trên đoạn $[2; 4]$ là

A. $5$

B. $\dfrac{7}{3}$

C. $3$

D. $1$

Câu 25. Cho hàm số $y = -x^3 + 3x + 1$ . Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[-1; 2]$ bằng

A. $2$

B. $3$

C. $-1$

D. $0$

Dạng 6: Nhận biết đường tiệm cận từ BBT (Tương tự Câu 6 bản đặc tả)

Câu 26. Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

[Bảng biến thiên]

Phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là

A. $y = 2$

B. $x = -1$

C. $y = -1$

D. $x = 2$

Câu 27. Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên:

[Bảng biến thiên]

Đồ thị hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang?

A. $1$

B. $2$

C. $3$

D. $4$

Câu 28. Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên $\mathbb{R} \setminus \{3\}$ thỏa mãn $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 1$ , $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 1$ và $\lim_{x \to 3^+} f(x) = -\infty$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $x = 1$

B. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $x = 3$

C. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là $y = 3$

D. Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang

Câu 29. Cho hàm số $y = f(x)$ có $\lim_{x \to 2^-} f(x) = +\infty$ và $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$ . Đường thẳng nào sau đây là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số?

A. $y = 0$

B. $x = 2$

C. $y = 2$

D. $x = 0$

Câu 30. Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

$x$	$-\infty$		$0$		$+\infty$
$f'(x)$		$-$		$-$
$f(x)$	$-1$	$\searrow$	$-\infty$ $\vert\vert$ $+\infty$	$\searrow$	$4$

Phương trình các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là

A. $x = 0$

B. $y = -1$ và $y = 4$

C. $y = 0$

D. $x = -1$ và $x = 4$

Dạng 7: Xác định nhanh tiệm cận của hàm bậc nhất trên bậc nhất (Tương tự Câu 7 bản đặc tả)

Câu 31. Đồ thị hàm số $y = \dfrac{2x - 3}{x + 1}$ có tiệm cận đứng là đường thẳng

A. $x = -1$

B. $x = 2$

C. $y = 2$

D. $y = -1$

Câu 32. Phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \dfrac{3x + 1}{1 - x}$ là

A. $y = 3$

B. $y = -3$

C. $x = 1$

D. $y = 1$

Câu 33. Cho hàm số $y = \dfrac{ax + 1}{2x - b}$ có tiệm cận đứng $x = 2$ và tiệm cận ngang $y = 3$ . Giá trị của $a + b$ bằng

A. $5$

B. $7$

C. $10$

D. $8$

Câu 34. Tọa độ giao điểm $I$ của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \dfrac{4x - 1}{x + 2}$ là

A. $I(2; 4)$

B. $I(-2; 4)$

C. $I(-2; -1)$

D. $I(4; -2)$

Câu 35. Đồ thị hàm số $y = \dfrac{5 - 2x}{x + 3}$ có hai đường tiệm cận là

A. $x = -3$ và $y = 5$

B. $x = 3$ và $y = -2$

C. $x = -3$ và $y = -2$

D. $x = 2$ và $y = -3$

Dạng 8: Tìm tiệm cận xiên của phân thức bậc hai trên bậc nhất (Tương tự Câu 8 bản đặc tả)

Câu 36. Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = \dfrac{x^2 + 2x - 1}{x - 1}$ có phương trình là

A. $y = x + 3$

B. $y = x + 1$

C. $y = x - 3$

D. $y = 2x + 1$

Câu 37. Cho hàm số $y = \dfrac{2x^2 - 3x + 5}{x + 1}$ . Phương trình đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là

A. $y = 2x - 5$

B. $y = 2x + 5$

C. $y = 2x - 1$

D. $y = 2x - 3$

Câu 38. Đồ thị hàm số $y = x - 2 + \dfrac{3}{x + 2}$ có đường tiệm cận xiên là

A. $y = x + 2$

B. $y = x - 2$

C. $y = -x - 2$

D. $x = -2$

Câu 39. Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = \dfrac{3x^2 + x - 2}{x}$ .

A. $y = 3x$

B. $y = 3x + 1$

C. $y = 3x - 2$

D. $y = x + 1$

Câu 40. Cho hàm số $y = \dfrac{x^2 - 4x + 1}{2x - 1}$ . Hệ số góc của đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số bằng

A. $1$

B. $\dfrac{1}{2}$

C. $2$

D. $-\dfrac{7}{4}$

Dạng 9: Nhận biết tâm đối xứng và điểm đặc biệt của đồ thị (Tương tự Câu 9 bản đặc tả)

Câu 41. Tâm đối xứng của đồ thị hàm số bậc ba $y = x^3 - 3x^2 + 2$ là điểm có hoành độ thỏa mãn $y'' = 0$ . Tọa độ tâm đối xứng đó là

A. $(1; 0)$

B. $(0; 2)$

C. $(2; -2)$

D. $(1; 2)$

Câu 42. Giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \dfrac{2x + 3}{x - 1}$ chính là tâm đối xứng của đồ thị. Tọa độ tâm đối xứng là

A. $(1; 2)$

B. $(-1; 2)$

C. $(2; 1)$

D. $(1; -3)$

Câu 43. Cho đồ thị hàm số bậc ba $y = f(x)$ nhận điểm $I(2; -1)$ làm tâm đối xứng. Nếu điểm $A(1; 3)$ thuộc đồ thị thì điểm nào sau đây cũng thuộc đồ thị?

A. $B(3; -5)$

B. $B(3; -3)$

C. $B(0; -1)$

D. $B(3; 5)$

Câu 44. Giao điểm của đồ thị hàm số $y = \dfrac{x^2 - x + 1}{x - 1}$ với trục tung có tọa độ là

A. $(0; 1)$

B. $(0; -1)$

C. $(1; 0)$

D. Không cắt trục tung

Câu 45. Đồ thị hàm số $y = x^3 - 6x^2 + 9x - 2$ có điểm uốn (tâm đối xứng) nằm trên đường thẳng nào sau đây?

A. $y = 0$

B. $y = x$

C. $y = -x + 2$

D. $x = 2$

Dạng 10: Nhận diện đồ thị hàm số (Tương tự Câu 10 bản đặc tả)

Câu 46. Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào dưới đây? Biết đồ thị có dạng chữ N, đi qua gốc tọa độ $(0; 0)$ và có hai điểm cực trị tại $x = -1$ và $x = 1$ .

A. $y = x^3 - 3x$

B. $y = -x^3 + 3x$

C. $y = x^3 + 3x$

D. $y = x^4 - 2x^2$

Câu 47. Đồ thị có nhánh bên phải hướng xuống dưới, cắt trục tung tại $(0; -1)$ và có 2 điểm cực trị $x = 0$ , $x = 2$ . Đó là đồ thị của hàm số nào?

A. $y = -x^3 + 3x^2 - 1$

B. $y = x^3 - 3x^2 - 1$

C. $y = -x^3 + 3x - 1$

D. $y = -2x^3 + 6x^2 - 1$

Câu 48. Cho đồ thị hàm phân thức có tiệm cận đứng $x = 1$ , tiệm cận ngang $y = 2$ và đi qua điểm $(0; -1)$ . Hàm số đó là

A. $y = \dfrac{2x + 1}{x - 1}$

B. $y = \dfrac{2x - 1}{x - 1}$

C. $y = \dfrac{x + 1}{x - 1}$

D. $y = \dfrac{2x - 2}{x + 1}$

Câu 49. Hàm số nào dưới đây có đồ thị dạng phân thức với tiệm cận đứng $x = -2$ và tiệm cận xiên $y = x - 1$ ?

A. $y = \dfrac{x^2 + x - 1}{x + 2}$

B. $y = \dfrac{x^2 - x + 1}{x + 2}$

C. $y = \dfrac{x^2 + 3x}{x + 2}$

D. $y = \dfrac{x^2 - 2x - 1}{x + 2}$

Câu 50. Đường cong dạng chữ N ngược ( $\lim_{x \to +\infty} y = -\infty$ ) với các điểm cực trị $x = -2$ và $x = 0$ , cắt trục tung tại $(0; 3)$ là đồ thị của hàm số nào?

A. $y = -x^3 - 3x^2 + 3$

B. $y = x^3 + 3x^2 + 3$

C. $y = -2x^3 - 6x^2 + 3$

D. $y = -\dfrac{1}{3}x^3 - x^2 + 3$

Dạng 11: Biện luận số nghiệm phương trình f(x) = m qua BBT hoặc đồ thị (Tương tự Câu 11 bản đặc tả)

Câu 51. Cho hàm số bậc ba $y = f(x)$ có bảng biến thiên:

[Bảng biến thiên]

Phương trình $f(x) = m$ có 3 nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi

A. $-1 < m < 4$

B. $-1 \le m \le 4$

C. $m < -1$ hoặc $m > 4$

D. $m = 4$

Câu 52. Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị với giá trị cực đại bằng $3$ , giá trị cực tiểu bằng $-2$ . Phương trình $f(x) - 1 = 0$ có bao nhiêu nghiệm thực?

A. $1$

B. $2$

C. $3$

D. $0$

Câu 53. Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

$x$	$-\infty$		$0$		$2$		$+\infty$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$-\infty$	$\nearrow$	$1$	$\searrow$	$-3$	$\nearrow$	$+\infty$

Số nghiệm thực của phương trình $2f(x) + 5 = 0$ là

A. $1$

B. $2$

C. $3$

D. $0$

Câu 54. Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên với cực đại tại $(1; 5)$ và cực tiểu tại $(3; 2)$ . Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình $f(x) = m$ có đúng 1 nghiệm thực.

A. $2 < m < 5$

B. $m \le 2$ hoặc $m \ge 5$

C. $m < 2$ hoặc $m > 5$

D. $m = 2$ hoặc $m = 5$

Câu 55. Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị như một đường cong bậc bốn trùng phương với giá trị cực đại $y_{CĐ} = 2$ tại $x = 0$ và giá trị cực tiểu $y_{CT} = -1$ tại $x = \pm \sqrt{2}$ . Phương trình $f(x) = -1$ có bao nhiêu nghiệm thực?

A. $1$

B. $2$

C. $3$

D. $4$

Dạng 12: Biện luận dấu hệ số từ hình dáng đồ thị (Tương tự Câu 12 bản đặc tả)

Câu 56. Cho hàm số bậc ba $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ ( $a \ne 0$ ) có đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ dương, nhánh ngoài cùng bên phải đi lên và có hai điểm cực trị nằm về hai phía so với trục tung ( $x_1 < 0 < x_2$ ). Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $a > 0, d > 0, c < 0$

B. $a < 0, d > 0, c > 0$

C. $a > 0, d < 0, c < 0$

D. $a > 0, d > 0, c > 0$

Câu 57. Cho hàm số $y = \dfrac{ax + b}{cx + d}$ ( $ad - bc \ne 0$ ) có đồ thị với đường tiệm cận đứng $x = -\dfrac{d}{c} > 0$ , đường tiệm cận ngang $y = \dfrac{a}{c} > 0$ và cắt trục tung tại điểm $(0; \dfrac{b}{d})$ với tung độ âm. Nếu chọn $c > 0$ thì dấu của các hệ số $a, b, d$ là

A. $a > 0, b < 0, d < 0$

B. $a > 0, b > 0, d < 0$

C. $a < 0, b < 0, d < 0$

D. $a > 0, b < 0, d > 0$

Câu 58. Cho hàm số bậc ba $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ có đồ thị với hệ số $a > 0$ , hai điểm cực trị dương ( $0 < x_1 < x_2$ ). Khi đó tích số $ac$ mang dấu gì?

A. $ac > 0$

B. $ac < 0$

C. $ac = 0$

D. Không xác định được

Câu 59. Cho hàm số $y = \dfrac{ax - 1}{x + b}$ có tiệm cận đứng $x = 2$ và tiệm cận ngang $y = -3$ . Giá trị của biểu thức $T = a + b$ bằng

A. $-5$

B. $-1$

C. $5$

D. $1$

Câu 60. Cho hàm số $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ có đồ thị tiếp xúc với trục hoành tại gốc tọa độ $O(0; 0)$ và có điểm cực đại $A(2; 4)$ . Giá trị của $d$ bằng

A. $0$

B. $4$

C. $2$

D. $-4$

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 20. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Dạng 1: Khảo sát hàm số bậc ba (Tương tự Câu 1 bản đặc tả)

Câu 1. Cho hàm số bậc ba $y = f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ .
a) Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(0; 2)$ .
b) Điểm cực đại của đồ thị hàm số là $M(0; 2)$ .
c) Giá trị cực tiểu của hàm số bằng $-2$ .
d) Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[-1; 1]$ bằng $2$ .

Câu 2. Cho hàm số $y = f(x) = -x^3 + 3x + 1$ xác định trên $\mathbb{R}$ .
a) Đạo hàm của hàm số là $f'(x) = -3x^2 + 3$ .
b) Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1; 1)$ .
c) Hàm số đạt cực tiểu tại $x = -1$ và đạt cực đại tại $x = 1$ .
d) Trên đoạn $[0; 3]$ , giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng $-17$ .

Câu 3. Cho hàm số bậc ba $y = f(x)$ có bảng biến thiên:

[Bảng biến thiên]

a) Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-2; 1)$ .
b) Tọa độ điểm cực đại của đồ thị hàm số là $(-2; 4)$ .
c) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên $\mathbb{R}$ bằng $-3$ .
d) Trên đoạn $[-3; 0]$ , giá trị lớn nhất của hàm số bằng $4$ .

Câu 4. Cho hàm số $y = f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 1$ .
a) Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty; 0)$ và $(2; +\infty)$ .
b) Điểm cực tiểu của hàm số là $x = 2$ .
c) Giá trị cực đại của hàm số là $y = 1$ .
d) Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[1; 3]$ bằng $1$ .

Câu 5. Cho hàm số $y = f(x) = \dfrac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x + 2$ .
a) Hàm số có hai điểm cực trị là $x = -1$ và $x = 3$ .
b) Hàm số đồng biến trên khoảng $(-1; 3)$ .
c) Giá trị cực tiểu của hàm số bằng $-7$ .
d) Trên đoạn $[0; 4]$ , giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng $-7$ .

Dạng 2: Khảo sát hàm số bậc nhất trên bậc nhất (Tương tự Câu 2 bản đặc tả)

Câu 6. Cho hàm số $y = f(x) = \dfrac{2x - 1}{x + 1}$ .
a) Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$ .
b) Đạo hàm $f'(x) = \dfrac{3}{(x + 1)^2} > 0$ với mọi $x \ne -1$ , do đó hàm số đồng biến trên từng khoảng $(-\infty; -1)$ và $(-1; +\infty)$ .
c) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng $x = -1$ và tiệm cận ngang là đường thẳng $y = 2$ .
d) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[0; 2]$ bằng $-1$ .

Câu 7. Cho hàm số $y = f(x) = \dfrac{x + 2}{x - 1}$ .
a) Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.
b) Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng $x = 1$ và tiệm cận ngang $y = 1$ .
c) Hàm số đạt cực đại tại $x = 1$ .
d) Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[2; 5]$ bằng $4$ .

Câu 8. Cho hàm số $y = \dfrac{3 - x}{x + 2}$ .
a) Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R} \setminus \{2\}$ .
b) Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $(-\infty; -2)$ và $(-2; +\infty)$ .
c) Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận cắt nhau tại điểm $I(-2; -1)$ .
d) Trên đoạn $[0; 3]$ , giá trị lớn nhất của hàm số bằng $\dfrac{3}{2}$ và giá trị nhỏ nhất bằng $0$ .

Câu 9. Cho hàm số $y = \dfrac{4x + 1}{2x - 1}$ .
a) Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là đường thẳng $x = \dfrac{1}{2}$ .
b) Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là đường thẳng $y = 4$ .
c) Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty; \dfrac{1}{2})$ và $(\dfrac{1}{2}; +\infty)$ .
d) Trên đoạn $[1; 3]$ , hàm số có giá trị nhỏ nhất tại $x = 3$ .

Câu 10. Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên:

[Bảng biến thiên]

a) Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R} \setminus \{2\}$ .
b) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $x = 2$ và tiệm cận ngang là $y = 1$ .
c) Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R} \setminus \{2\}$ .
d) Hàm số không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn $[3; 6]$ .

Dạng 3: Khảo sát hàm số bậc hai trên bậc nhất (Tương tự Câu 3 bản đặc tả)

Câu 11. Cho hàm số $y = f(x) = \dfrac{x^2 - x + 1}{x - 1}$ .
a) Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$ .
b) Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng $x = 1$ .
c) Đồ thị hàm số có đường tiệm cận xiên là $y = x$ .
d) Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x = 2$ và giá trị cực tiểu bằng $3$ .

Câu 12. Cho hàm số $y = f(x) = \dfrac{x^2 + 2x - 2}{x + 1}$ .
a) Ta có thể viết $f(x) = x + 1 - \dfrac{3}{x + 1}$ .
b) Đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng $y = x + 1$ .
c) Đạo hàm của hàm số luôn dương với mọi $x \ne -1$ .
d) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[0; 2]$ bằng $-2$ .

Câu 13. Cho hàm số $y = \dfrac{2x^2 + 3x - 1}{x + 2}$ .
a) Tập xác định $D = \mathbb{R} \setminus \{-2\}$ .
b) Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là $x = -2$ .
c) Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là $y = 2x - 1$ .
d) Hàm số có hai điểm cực trị.

Câu 14. Cho hàm số $y = \dfrac{-x^2 + 3x - 1}{x - 2}$ .
a) Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là $x = 2$ .
b) Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là $y = -x + 1$ .
c) Hàm số nghịch biến trên từng khoảng $(-\infty; 2)$ và $(2; +\infty)$ .
d) Điểm cực đại của hàm số là $x = 1$ .

Câu 15. Cho hàm số $y = \dfrac{x^2 + 4}{x}$ .
a) Tập xác định $D = \mathbb{R} \setminus \{0\}$ .
b) Hàm số có tiệm cận xiên là $y = x$ .
c) Giá trị cực tiểu của hàm số bằng $4$ .
d) Trên khoảng $(0; +\infty)$ , giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng $4$ .

Dạng 4: Bài toán tối ưu hóa thực tế mức độ cơ bản (Tương tự Câu 4 bản đặc tả)

Câu 16. Một vật chuyển động thẳng xác định bởi phương trình $s(t) = -t^3 + 9t^2 + 21t$ ( $t$ tính bằng giây, $s$ tính bằng mét).
a) Vận tốc tức thời của vật tại thời điểm $t$ là $v(t) = -3t^2 + 18t + 21$ (m/s).
b) Tại thời điểm $t = 1$ s, vận tốc tức thời của vật là $36$ m/s.
c) Vật dừng lại khi vận tốc bằng $0$ , tương ứng thời điểm $t = 7$ s.
d) Trong khoảng thời gian từ $t = 0$ đến khi dừng lại, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng $48$ m/s.

Câu 17. Một doanh nghiệp dự kiến sản xuất $x$ sản phẩm ( $0 \le x \le 100$ ). Tổng doanh thu thu được cho bởi hàm số $R(x) = 1200x - 4x^2$ (nghìn đồng), và tổng chi phí sản xuất là $C(x) = 200x + 10000$ (nghìn đồng).
a) Hàm lợi nhuận của doanh nghiệp là $P(x) = R(x) - C(x) = -4x^2 + 1000x - 10000$ (nghìn đồng).
b) Khi sản xuất và bán ra $50$ sản phẩm thì doanh nghiệp hòa vốn.
c) Lợi nhuận của doanh nghiệp đạt mức tối đa khi sản xuất $125$ sản phẩm.
d) Lợi nhuận lớn nhất mà doanh nghiệp có thể đạt được trong phạm vi công suất cho phép ( $x \le 100$ ) là $50\,000$ nghìn đồng.

Câu 18. Nồng độ một loại thuốc trong máu của bệnh nhân sau khi tiêm $t$ giờ được mô hình hóa bởi hàm số $C(t) = \dfrac{4t}{t^2 + 4}$ (mg/l), với $t \ge 0$ .
a) Nồng độ thuốc tại thời điểm tiêm ( $t = 0$ ) bằng $0$ mg/l.
b) Đạo hàm $C'(t) = \dfrac{4(4 - t^2)}{(t^2 + 4)^2}$ .
c) Sau khi tiêm $2$ giờ thì nồng độ thuốc trong máu bệnh nhân bắt đầu giảm dần.
d) Nồng độ thuốc cao nhất trong máu bệnh nhân đạt $2$ mg/l.

Câu 19. Một hộ nông dân rào một khu đất hình chữ nhật có một cạnh giáp bờ tường thẳng (không cần rào cạnh đó). Tổng chiều dài của lưới thép dùng để rào ba cạnh còn lại là $60$ m. Gọi $x$ (m) là chiều rộng của khu đất ( $0 < x < 30$ ).
a) Chiều dài của khu đất theo $x$ là $60 - 2x$ (m).
b) Diện tích khu đất rào được biểu diễn bởi hàm số $S(x) = 60x - 2x^2$ ( $\text{m}^2$ ).
c) Diện tích khu đất đạt cực đại khi chiều rộng $x = 20$ m.
d) Diện tích rào lớn nhất có thể đạt được là $450\text{ m}^2$ .

Câu 20. Số lượng cá thể của một đàn vi khuẩn sau $t$ giờ nuôi cấy được xác định bởi công thức $N(t) = 1000 + \dfrac{1200t}{t^2 + 9}$ ( $t \ge 0$ ).
a) Ban đầu ( $t = 0$ ) đàn có $1000$ cá thể.
b) Đàn vi khuẩn tăng số lượng trong khoảng thời gian từ $0$ đến $3$ giờ.
c) Sau $3$ giờ thì số lượng cá thể vi khuẩn bắt đầu suy giảm.
d) Số lượng cá thể vi khuẩn tối đa mà đàn đạt được là $1400$ cá thể.

PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 30.

Dạng 1: Đường thẳng qua 2 cực trị, hàm bậc ba và khoảng cách cực trị (Tương tự Câu 1 bản đặc tả)

Câu 1. Cho hàm số $y = x^3 - 3x^2 - 9x + 2$ . Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số có phương trình dạng $y = ax + b$ . Tính giá trị của $a + b$ .

Câu 2. Cho hàm số bậc ba $y = x^3 - 3x^2 + 2$ có hai điểm cực trị là $A$ và $B$ . Tính độ dài đoạn thẳng $AB$ (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Câu 3. Cho hàm số $y = 2x^3 + 3(m - 1)x^2 + 6m(1 - 2m)x$ . Biết rằng đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung khi tham số $m$ nhận các giá trị nguyên thuộc đoạn $[-5; 5]$ . Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn?

Câu 4. Cho hàm số bậc ba $y = f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ đạt cực đại tại điểm $A(0; 3)$ và đạt cực tiểu tại điểm $B(2; -1)$ . Tính giá trị của biểu thức $P = a + b + c + d$ .

Câu 5. Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y = -x^3 + 3x + 1$ bằng bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Dạng 2: Tìm khoảng đơn điệu của hàm số bậc ba và phân thức (Tương tự Câu 2 bản đặc tả)

Câu 6. Cho hàm số $y = -x^3 + 6x^2 - 9x + 1$ . Hàm số đồng biến trên khoảng $(a; b)$ . Tính giá trị của $b - a$ .

Câu 7. Tìm số nguyên dương $m$ nhỏ nhất để hàm số $y = \dfrac{x + 2}{x + m}$ nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó.

Câu 8. Cho hàm số $y = \dfrac{x^2 - 3x + 3}{x - 1}$ . Khoảng nghịch biến của hàm số là khoảng $(a; b)$ . Tính độ dài của khoảng này ( $b - a$ ).

Câu 9. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $[-10; 10]$ để hàm số $y = \dfrac{1}{3}x^3 - mx^2 + 9x + 1$ đồng biến trên khoảng $(-\infty; +\infty)$ ?

Câu 10. Cho hàm số $y = \dfrac{2x^2 - 4x + 5}{x - 1}$ . Hàm số đồng biến trên hai khoảng $(-\infty; a)$ và $(b; +\infty)$ . Tính giá trị của $a + b$ .

Dạng 3: Bài toán ứng dụng tối ưu hóa thực tế (Tương tự Câu 3 bản đặc tả)

Câu 11. Một tấm tôn hình vuông cạnh $60$ cm được cắt bỏ bốn hình vuông bằng nhau ở bốn góc có cạnh là $x$ (cm) rồi gập lại thành một cái hộp không nắp dạng hình hộp chữ nhật. Tìm $x$ (cm) để thể tích của hộp thu được là lớn nhất.

Câu 12. Một người cần làm một bể nước hình hộp chữ nhật có nắp đậy, đáy là hình vuông, thể tích bể bằng $8\text{ m}^3$ . Chi phí làm vật liệu mặt đáy và nắp là $200\,000\text{ đồng/m}^2$ , chi phí làm các mặt bên là $150\,000\text{ đồng/m}^2$ . Hỏi cạnh đáy của bể bằng bao nhiêu mét để chi phí làm bể là thấp nhất?

Câu 13. Một người nông dân có $240$ m hàng rào lưới thép muốn vây thành một khu đất hình chữ nhật có chia đôi ở giữa bằng một đường rào song song với một cạnh để làm hai chuồng nuôi riêng biệt. Hỏi diện tích tổng cộng lớn nhất của hai chuồng nuôi đó bằng bao nhiêu mét vuông?

Câu 14. Một công ty sản xuất một loại cốc uống nước hình trụ có thể tích $500\text{ cm}^3$ và không có nắp. Để tiết kiệm vật liệu nhất (diện tích toàn phần không nắp nhỏ nhất), bán kính đáy của chiếc cốc cần bằng bao nhiêu centimét? (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Câu 15. Một công ty du lịch dự định tổ chức một tour. Nếu giá vé là $400$ nghìn đồng/người thì có $150$ khách đăng ký. Cứ mỗi lần giảm giá vé thêm $10$ nghìn đồng/người thì số lượng khách đăng ký lại tăng thêm $10$ người. Chi phí cố định cho mỗi khách là $100$ nghìn đồng. Để lợi nhuận của công ty đạt giá trị lớn nhất thì giá vé mỗi người nên là bao nhiêu nghìn đồng?

Dạng 4: Bài toán hình học liên quan đến tiệm cận (Tương tự Câu 4 bản đặc tả)

Câu 16. Cho hàm số $y = \dfrac{2x + 4}{x - 1}$ . Hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số cùng với hai trục tọa độ tạo thành một hình chữ nhật. Tính diện tích của hình chữ nhật đó.

Câu 17. Cho hàm số $y = \dfrac{3x - 6}{x + 2}$ . Gọi $I$ là giao điểm hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số. Tính khoảng cách từ gốc tọa độ $O(0; 0)$ đến điểm $I$ .

Câu 18. Đường tiệm cận đứng $x = 2$ , tiệm cận ngang $y = -3$ của đồ thị hàm số $y = \dfrac{1 - 3x}{x - 2}$ và hai trục tọa độ tạo thành một hình phẳng. Chu vi của hình phẳng chữ nhật này bằng bao nhiêu?

Câu 19. Cho hàm số $y = \dfrac{x^2 - 2x + 2}{x - 1}$ . Gọi $d$ là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số. Tính diện tích tam giác tạo bởi đường thẳng $d$ và hai trục tọa độ.

Câu 20. Cho hàm số $y = \dfrac{4x + 3}{x - 2}$ . Diện tích tam giác tạo bởi hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số và đường thẳng $\Delta: y = -x$ bằng bao nhiêu?

Dạng 5: Tương giao của hai đồ thị và với các trục tọa độ (Tương tự Câu 5 bản đặc tả)

Câu 21. Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 2$ với trục hoành.

Câu 22. Cho hàm số $y = x^3 - 3x + 1$ có đồ thị $(C_1)$ và đường thẳng $d: y = x + 1$ . Đồ thị $(C_1)$ cắt đường thẳng $d$ tại bao nhiêu điểm phân biệt?

Câu 23. Đồ thị hàm số $y = \dfrac{2x - 1}{x + 1}$ cắt đường thẳng $y = x - 1$ tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$ . Tính độ dài đoạn thẳng $AB$ (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Câu 24. Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số $y = \dfrac{x^2 - 4x + 3}{x - 2}$ với trục hoành.

Câu 25. Cho hàm số $y = x^4 - 4x^2 + 3$ . Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm?

Dạng 6: Bài toán tổng hợp / Hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối / Tối ưu hóa phức tạp (Tương tự Câu 6 bản đặc tả)

Câu 26. Tìm số điểm cực trị của hàm số $y = |x^3 - 3x + 2|$ .

Câu 27. Cho hàm số $y = f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ . Hàm số $g(x) = f(|x|)$ có bao nhiêu điểm cực trị?

Câu 28. Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên:

[Bảng biến thiên]

Số điểm cực trị của hàm số $y = |f(x)|$ là bao nhiêu?

Câu 29. Một nhà máy cần thiết kế một ống dẫn nước từ vị trí $A$ bên bờ một con sông thẳng sang vị trí $B$ ở bờ bên kia. Con sông có bề rộng cố định $w = 3$ km. Vị trí $B$ nằm cách hình chiếu vuông góc $H$ của $A$ trên bờ bên kia một khoảng $8$ km. Chi phí lắp ống dưới nước là $50$ triệu đồng/km, chi phí lắp ống trên cạn là $30$ triệu đồng/km. Điểm nối $C$ trên bờ có $B$ cách $H$ một khoảng $x$ (km) ( $0 \le x \le 8$ ). Để tổng chi phí thấp nhất thì giá trị của $x$ bằng bao nhiêu?

Câu 30. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để giá trị lớn nhất của hàm số $y = |x^3 - 3x + m|$ trên đoạn $[0; 2]$ bằng $5$ . Tính tổng các phần tử của tập hợp $S$ .

--------- HẾT ---------

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN

Dạng 1: Nhận biết tính đơn điệu từ BBT hoặc đồ thị (Tương tự Câu 1 bản đặc tả)

Dạng 2: Nhận biết cực trị hàm số từ BBT hoặc đồ thị (Tương tự Câu 2 bản đặc tả)

Dạng 3: Thông hiểu tính đơn điệu và cực trị của hàm đa thức / đồ thị đạo hàm (Tương tự Câu 3 bản đặc tả)

Dạng 4: Nhận biết GTLN, GTNN trên một đoạn qua BBT hoặc đồ thị (Tương tự Câu 4 bản đặc tả)

Dạng 5: Thông hiểu GTLN, GTNN của hàm bậc ba, phân thức trên một đoạn (Tương tự Câu 5 bản đặc tả)

Dạng 6: Nhận biết đường tiệm cận từ BBT (Tương tự Câu 6 bản đặc tả)

Dạng 7: Xác định nhanh tiệm cận của hàm bậc nhất trên bậc nhất (Tương tự Câu 7 bản đặc tả)

Dạng 8: Tìm tiệm cận xiên của phân thức bậc hai trên bậc nhất (Tương tự Câu 8 bản đặc tả)

Dạng 9: Nhận biết tâm đối xứng và điểm đặc biệt của đồ thị (Tương tự Câu 9 bản đặc tả)

Dạng 10: Nhận diện đồ thị hàm số (Tương tự Câu 10 bản đặc tả)

Dạng 11: Biện luận số nghiệm phương trình f(x) = m qua BBT hoặc đồ thị (Tương tự Câu 11 bản đặc tả)

Dạng 12: Biện luận dấu hệ số từ hình dáng đồ thị (Tương tự Câu 12 bản đặc tả)

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI

Dạng 1: Khảo sát hàm số bậc ba (Tương tự Câu 1 bản đặc tả)

Dạng 2: Khảo sát hàm số bậc nhất trên bậc nhất (Tương tự Câu 2 bản đặc tả)

Dạng 3: Khảo sát hàm số bậc hai trên bậc nhất (Tương tự Câu 3 bản đặc tả)

Dạng 4: Bài toán tối ưu hóa thực tế mức độ cơ bản (Tương tự Câu 4 bản đặc tả)

PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN

Dạng 1: Đường thẳng qua 2 cực trị, hàm bậc ba và khoảng cách cực trị (Tương tự Câu 1 bản đặc tả)

Dạng 2: Tìm khoảng đơn điệu của hàm số bậc ba và phân thức (Tương tự Câu 2 bản đặc tả)

Dạng 3: Bài toán ứng dụng tối ưu hóa thực tế (Tương tự Câu 3 bản đặc tả)

Dạng 4: Bài toán hình học liên quan đến tiệm cận (Tương tự Câu 4 bản đặc tả)

Dạng 5: Tương giao của hai đồ thị và với các trục tọa độ (Tương tự Câu 5 bản đặc tả)

Dạng 6: Bài toán tổng hợp / Hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối / Tối ưu hóa phức tạp (Tương tự Câu 6 bản đặc tả)

Đề cùng môn Toán, lớp 12