Chuyên đề Xác suất có điều kiện VDC – Toán 12

PHẦN I. CÂU HỎI TRẢ LỜI NGẮN

Thí sinh trả lời ngắn (ghi kết quả, không cần trình bày lời giải).

Câu 1. Một nhà máy có ba phân xưởng I, II, III sản xuất lần lượt $40\%$, $35\%$, $25\%$ tổng số sản phẩm. Tỉ lệ sản phẩm lỗi của ba phân xưởng lần lượt là $2\%$, $3\%$, $4\%$. Trước khi xuất xưởng, mỗi sản phẩm được kiểm tra bằng một máy tự động. Máy này báo “lỗi” với xác suất $90\%$ nếu sản phẩm thực sự bị lỗi, và báo “lỗi” nhầm với xác suất $5\%$ nếu sản phẩm không bị lỗi. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm và thấy máy báo “lỗi”. Tính xác suất để sản phẩm đó do phân xưởng I sản xuất (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Câu 2. Hộp thứ nhất có $5$ viên bi đỏ và $3$ viên bi xanh; hộp thứ hai có $4$ viên bi đỏ và $6$ viên bi xanh (các viên bi có kích thước và khối lượng như nhau). Lấy ngẫu nhiên đồng thời $2$ viên bi từ hộp thứ nhất bỏ sang hộp thứ hai, sau đó lấy ngẫu nhiên $1$ viên bi từ hộp thứ hai. Biết viên bi lấy ra từ hộp thứ hai có màu đỏ, tính xác suất để cả hai viên bi chuyển từ hộp thứ nhất sang đều có màu xanh (làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn).

--------- HẾT ---------

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT

BẢNG ĐÁP ÁN

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Câu 1.
Gọi $A_1, A_2, A_3$ lần lượt là biến cố “sản phẩm do phân xưởng I, II, III sản xuất”; $L$ là biến cố “sản phẩm bị lỗi”; $B$ là biến cố “máy báo lỗi”.

Theo giả thiết, ta có:
$P(A_1) = 0,4$; $P(A_2) = 0,35$; $P(A_3) = 0,25$.
$P(L \mid A_1) = 0,02$; $P(L \mid A_2) = 0,03$; $P(L \mid A_3) = 0,04$.
$P(B \mid L) = 0,9$; $P(B \mid \overline{L}) = 0,05$.

Với mỗi $i \in \{1, 2, 3\}$, áp dụng công thức xác suất toàn phần cho biến cố $B$ trong điều kiện $A_i$:

$$P(B \mid A_i) = P(L \mid A_i) \cdot P(B \mid L) + P(\overline{L} \mid A_i) \cdot P(B \mid \overline{L}) = P(L \mid A_i) \cdot 0,9 + \left[1 - P(L \mid A_i)\right] \cdot 0,05.$$

Ta lập bảng tính xác suất $P(B \mid A_i)$ theo từng phân xưởng:

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, xác suất để máy báo lỗi là:

$$P(B) = P(A_1) \cdot P(B \mid A_1) + P(A_2) \cdot P(B \mid A_2) + P(A_3) \cdot P(B \mid A_3)$$

$$= 0,4 \cdot 0,067 + 0,35 \cdot 0,0755 + 0,25 \cdot 0,084 = 0,0268 + 0,026425 + 0,021 = 0,074225.$$

Theo công thức Bayes, xác suất sản phẩm do phân xưởng I sản xuất khi biết máy báo lỗi là:

$$P(A_1 \mid B) = \dfrac{P(A_1) \cdot P(B \mid A_1)}{P(B)} = \dfrac{0,0268}{0,074225} \approx 0,361.$$

Làm tròn đến hàng phần trăm, ta được: 0,36.

Câu 2.
Gọi $E_k$ ($k \in \{0, 1, 2\}$) là biến cố “trong $2$ viên bi chuyển sang hộp thứ hai có $k$ viên bi đỏ”; $D$ là biến cố “viên bi lấy ra từ hộp thứ hai có màu đỏ”. Cần tính xác suất $P(E_0 \mid D)$ (cả hai viên bi chuyển từ hộp thứ nhất sang đều có màu xanh).

Lấy ngẫu nhiên $2$ viên bi từ hộp thứ nhất (có tổng cộng $8$ viên bi, gồm $5$ bi đỏ và $3$ bi xanh):
Số phần tử của không gian mẫu: $n(\Omega) = \mathrm{C}_8^2 = 28$.

Xác suất xảy ra các biến cố $E_k$:
- $P(E_2) = \dfrac{\mathrm{C}_5^2}{28} = \dfrac{10}{28}$;
- $P(E_1) = \dfrac{\mathrm{C}_5^1 \cdot \mathrm{C}_3^1}{28} = \dfrac{5 \cdot 3}{28} = \dfrac{15}{28}$;
- $P(E_0) = \dfrac{\mathrm{C}_3^2}{28} = \dfrac{3}{28}$.

Sau khi chuyển $2$ viên bi, hộp thứ hai có $12$ viên bi, trong đó số viên bi đỏ là $4 + k$. Do đó:

$$P(D \mid E_2) = \dfrac{6}{12}, \quad P(D \mid E_1) = \dfrac{5}{12}, \quad P(D \mid E_0) = \dfrac{4}{12}.$$

Theo công thức xác suất toàn phần:

$$P(D) = P(E_2) \cdot P(D \mid E_2) + P(E_1) \cdot P(D \mid E_1) + P(E_0) \cdot P(D \mid E_0)$$

$$= \dfrac{10}{28} \cdot \dfrac{6}{12} + \dfrac{15}{28} \cdot \dfrac{5}{12} + \dfrac{3}{28} \cdot \dfrac{4}{12} = \dfrac{60 + 75 + 12}{336} = \dfrac{147}{336} = \dfrac{7}{16}.$$

Theo công thức Bayes, xác suất cần tìm là:

$$P(E_0 \mid D) = \dfrac{P(E_0) \cdot P(D \mid E_0)}{P(D)} = \dfrac{\dfrac{3}{28} \cdot \dfrac{4}{12}}{\dfrac{147}{336}} = \dfrac{12}{147} = \dfrac{4}{49} \approx 0,082.$$

Làm tròn đến hàng phần nghìn, ta được: 0,082.