Chuyên đề ứng dụng đạo hàm: Hàm cầu – Doanh thu – Lợi nhuận – Chi phí biên (15 câu đúng – sai)

PHẦN TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI (15 câu)

Thí sinh xác định mỗi khẳng định sau là Đúng (Đ) hay Sai (S). Điểm của mỗi câu tính theo bậc: đúng 1 ý được 0,1 điểm; đúng 2 ý được 0,25 điểm; đúng 3 ý được 0,5 điểm; đúng cả 4 ý được 1,0 điểm.

Câu 1 (1,0 điểm). Một cửa hàng kinh doanh tai nghe không dây thống kê: trung bình mỗi tháng bán được 1 000 chiếc với giá 500 nghìn đồng/chiếc. Khảo sát thị trường cho thấy nếu cứ giảm giá bán 25 nghìn đồng/chiếc thì lượng tai nghe bán ra tăng thêm 40 chiếc/tháng. Gọi $p(x)$ (nghìn đồng) là giá bán mỗi chiếc khi cửa hàng bán được $x$ chiếc trong tháng ($x \ge 1000$), biết $p=p(x)$ là hàm số bậc nhất.

a) $p(x) = 1125 - 0{,}625x$.

b) Khi bán được 1 400 chiếc thì giá bán mỗi chiếc là 250 nghìn đồng.

c) Doanh thu bán tai nghe trong tháng là $R(x) = 1125x - 0{,}625x^2$ (nghìn đồng).

d) Doanh thu đạt giá trị lớn nhất khi cửa hàng bán được 900 chiếc.

Câu 2 (1,0 điểm). Hàm cầu của một loại hàng hoá được mô hình hoá bởi $p(x) = \dfrac{a}{1 + 0{,}01x}$ với $x \ge 0$, trong đó $p(x)$ là giá bán (nghìn đồng) của mỗi đơn vị sản phẩm khi bán được $x$ sản phẩm và $a$ là hằng số khác 0. Biết rằng khi bán được 150 sản phẩm thì giá bán mỗi sản phẩm là 300 nghìn đồng.

a) $a = 750$.

b) Nếu bán được 300 sản phẩm thì giá bán mỗi sản phẩm là 187,5 nghìn đồng.

c) Hàm số $p(x)$ đồng biến trên $[0; +\infty)$.

d) Doanh thu $R(x) = x \cdot p(x)$ đạt giá trị lớn nhất tại $x = 100$.

Câu 3 (1,0 điểm). Một xưởng sản xuất bán sản phẩm với hàm cầu $p(x) = 900 - 0{,}5x$ (nghìn đồng/đơn vị) và tổng chi phí sản xuất $C(x) = 200 + 300x$ (nghìn đồng), trong đó $x$ là số sản phẩm sản xuất và bán ra.

a) Lợi nhuận của xưởng là $L(x) = -0{,}5x^2 + 600x - 200$ (nghìn đồng).

b) Lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất khi xưởng bán 600 sản phẩm.

c) Khi lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất, giá bán mỗi sản phẩm là 500 nghìn đồng.

d) Lợi nhuận lớn nhất của xưởng là 180 triệu đồng.

Câu 4 (1,0 điểm). Chi phí (nghìn đồng) để sản xuất $x$ chiếc quạt điện tại một xưởng cơ điện được cho bởi

$$C(x) = 20\,000 + 150x - 0{,}5x^2 + 0{,}002x^3 \quad (x \ge 0).$$

a) Hàm chi phí biên của xưởng là $C'(x) = 150 - x + 0{,}006x^2$.

b) $C'(100) = 110$.

c) Chi phí thực tế để sản xuất chiếc quạt thứ 101 là 110,102 nghìn đồng.

d) Chi phí biên $C'(100)$ lớn hơn chi phí thực tế để sản xuất chiếc quạt thứ 101.

Câu 5 (1,0 điểm). Một rạp chiếu phim hiện bán 600 vé mỗi ngày với giá 200 nghìn đồng/vé. Khảo sát cho thấy nếu cứ giảm giá vé 10 nghìn đồng thì số vé bán ra mỗi ngày tăng thêm 50 vé. Gọi $p(x)$ (nghìn đồng) là giá vé khi bán được $x$ vé mỗi ngày, quan hệ $p$ – $x$ là bậc nhất.

a) $p(x) = 320 - 0{,}2x$.

b) Doanh thu bán vé mỗi ngày là $R(x) = 320x + 0{,}2x^2$ (nghìn đồng).

c) Doanh thu đạt giá trị lớn nhất khi rạp bán được 800 vé mỗi ngày.

d) Giá vé tối ưu để doanh thu lớn nhất là 150 nghìn đồng.

Câu 6 (1,0 điểm). Một chủ toà nhà có 60 căn hộ cho thuê. Với giá thuê 4 triệu đồng/căn/tháng thì tất cả 60 căn đều được thuê. Qua khảo sát, cứ mỗi lần tăng giá thuê thêm 0,1 triệu đồng/căn/tháng thì có thêm 1 căn bị bỏ trống.

a) Giá thuê mỗi căn là $p(x) = 10 - 0{,}1x$ (triệu đồng/tháng) khi có $x$ căn được thuê ($0 < x \le 60$).

b) Doanh thu từ tiền thuê đạt lớn nhất khi chủ nhà cho thuê 45 căn.

c) Biết chi phí cho mỗi căn có người thuê là 1 triệu đồng/tháng và chi phí cố định toà nhà là 20 triệu đồng/tháng, lợi nhuận thu được là $L(x) = -0{,}1x^2 + 9x - 20$ (triệu đồng).

d) Lợi nhuận đạt lớn nhất khi chủ nhà cho thuê 40 căn.

Câu 7 (1,0 điểm). Chi phí (nghìn đồng) để sản xuất $x$ sản phẩm của một phân xưởng là

$$C(x) = 5\,000 + 80x - 0{,}2x^2 + 0{,}001x^3 \quad (x \ge 0).$$

a) Hàm chi phí biên là $C'(x) = 80 - 0{,}4x + 0{,}003x^2$.

b) Chi phí biên đạt giá trị nhỏ nhất tại $x = \dfrac{200}{3}$.

c) Giá trị nhỏ nhất của chi phí biên là $\dfrac{200}{3}$ nghìn đồng.

d) Chi phí biên luôn đồng biến trên khoảng $(0; +\infty)$.

Câu 8 (1,0 điểm). Một tuyến xe buýt hiện khai thác 1 000 lượt khách/ngày với giá vé 100 nghìn đồng/vé. Khảo sát cho thấy cứ tăng giá vé thêm 5 nghìn đồng thì số khách mỗi ngày giảm 20 người. Gọi $p(x)$ (nghìn đồng) là giá vé khi có $x$ lượt khách mỗi ngày, quan hệ $p$ – $x$ là bậc nhất.

a) $p(x) = 350 - 0{,}25x$.

b) Doanh thu bán vé mỗi ngày đạt lớn nhất khi có 800 lượt khách.

c) Giá vé để doanh thu mỗi ngày lớn nhất là 175 nghìn đồng.

d) Biết chi phí cố định mỗi ngày là 30 triệu đồng và chi phí phục vụ mỗi khách là 40 nghìn đồng, lợi nhuận mỗi ngày đạt lớn nhất khi có 700 lượt khách.

Câu 9 (1,0 điểm). Một nhà sản xuất bán được 1 200 chiếc máy lọc nước mỗi tháng với giá 3 triệu đồng/chiếc. Khảo sát cho thấy nếu cứ giảm giá 0,1 triệu đồng/chiếc thì lượng bán tăng thêm 80 chiếc/tháng. Gọi $p(x)$ (triệu đồng) là giá bán mỗi chiếc khi bán được $x$ chiếc trong tháng, quan hệ $p$ – $x$ là bậc nhất.

a) $p(x) = 4{,}5 - 0{,}00125x$.

b) Nếu bán được 2 000 chiếc trong tháng thì giá bán mỗi chiếc là 2 triệu đồng.

c) Doanh thu đạt giá trị lớn nhất khi bán được 1 800 chiếc trong tháng.

d) Giá bán tối ưu để doanh thu lớn nhất là 2,5 triệu đồng/chiếc.

Câu 10 (1,0 điểm). Một nhà máy sản xuất xe máy điện bán 500 chiếc mỗi tháng với giá 25 triệu đồng/chiếc. Cứ giảm giá 0,5 triệu đồng/chiếc thì mỗi tháng bán thêm được 25 chiếc. Hàm cầu là $p(x) = 35 - 0{,}02x$ (triệu đồng) và tổng chi phí sản xuất $x$ chiếc trong tháng là $C(x) = 0{,}01x^2 + 11x + 2000$ (triệu đồng).

a) Hàm lợi nhuận của nhà máy là $L(x) = -0{,}03x^2 + 24x - 2000$ (triệu đồng).

b) Lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất khi nhà máy sản xuất và bán ra 400 chiếc mỗi tháng.

c) Lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất khi nhà máy sản xuất và bán ra 500 chiếc mỗi tháng.

d) Khi lợi nhuận lớn nhất, giá bán mỗi chiếc xe là 25 triệu đồng.

Câu 11 (1,0 điểm). Chi phí (nghìn đồng) để sản xuất $x$ chiếc quạt tại một xưởng là

$$C(x) = 15\,000 + 120x - 0{,}4x^2 + 0{,}002x^3 \quad (x \ge 0).$$

a) Hàm chi phí biên là $C'(x) = 120 - 0{,}8x + 0{,}006x^2$.

b) $C'(80) = 94{,}4$.

c) Chi phí thực tế để sản xuất chiếc quạt thứ 81 là 94,482 nghìn đồng.

d) Sai số giữa $C'(80)$ và chi phí thực tế để sản xuất chiếc quạt thứ 81 lớn hơn 0,5 nghìn đồng.

Câu 12 (1,0 điểm). Hàm cầu của một loại hàng hoá là $p(x) = \dfrac{900}{1 + 0{,}03x}$ với $x \ge 0$, trong đó $p(x)$ là giá bán (nghìn đồng) của mỗi đơn vị sản phẩm khi bán được $x$ sản phẩm.

a) $p(100) = 225$.

b) Hàm số $p(x)$ đồng biến trên $[0; +\infty)$.

c) Doanh thu $R(x) = x \cdot p(x)$ là hàm số đồng biến trên $[0; +\infty)$.

d) Khi số lượng bán ra đủ lớn, doanh thu có thể vượt quá 30 000 nghìn đồng.

Câu 13 (1,0 điểm). Một cửa hàng thực phẩm khảo sát thấy khi bán với giá 800 nghìn đồng/hộp quà thì mỗi tháng bán được 300 hộp; khi bán với giá 750 nghìn đồng/hộp thì mỗi tháng bán được 400 hộp. Giả sử quan hệ giữa giá bán $p$ (nghìn đồng) và số hộp bán ra $x$ là hàm số bậc nhất.

a) $p(x) = 950 - 0{,}5x$.

b) Nếu bán được 500 hộp trong tháng thì giá bán mỗi hộp là 700 nghìn đồng.

c) Muốn bán được 700 hộp trong tháng thì cửa hàng phải bán với giá 650 nghìn đồng/hộp.

d) Doanh thu đạt giá trị lớn nhất khi cửa hàng bán được 900 hộp trong tháng.

Câu 14 (1,0 điểm). Doanh thu (nghìn đồng) của một cửa hàng khi bán $x$ sản phẩm được cho bởi $R(x) = 1200x - 0{,}02x^2$.

a) Hàm doanh thu biên là $R'(x) = 1200 - 0{,}02x$.

b) $R'(500) = 1180$.

c) $R'(500) = 1180$ cho biết khi cửa hàng bán thêm sản phẩm thứ 501 thì doanh thu tăng thêm xấp xỉ 1 180 nghìn đồng.

d) Doanh thu đạt giá trị lớn nhất khi cửa hàng bán được 25 000 sản phẩm.

Câu 15 (1,0 điểm). Một xưởng sản xuất bán sản phẩm với hàm cầu $p(x) = 12 - 0{,}004x$ (triệu đồng/đơn vị) và tổng chi phí $C(x) = 0{,}002x^2 + 4x + 500$ (triệu đồng), trong đó $x$ là số sản phẩm sản xuất và bán ra.

a) Lợi nhuận của xưởng là $L(x) = -0{,}006x^2 + 8x - 500$ (triệu đồng).

b) Số sản phẩm cần sản xuất và bán ra để lợi nhuận lớn nhất là khoảng 667 sản phẩm.

c) Khi lợi nhuận lớn nhất, giá bán mỗi sản phẩm khoảng 9,33 triệu đồng.

d) Lợi nhuận lớn nhất của xưởng đạt khoảng 2 200 triệu đồng.

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................ Số báo danh: ........................

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM

A. HƯỚNG DẪN CHUNG

- Mỗi câu gồm 4 ý a), b), c), d); thí sinh xác định Đúng/Sai cho từng ý. Điểm của mỗi câu tính theo bậc: đúng 1 ý được 0,1 điểm; đúng 2 ý được 0,25 điểm; đúng 3 ý được 0,5 điểm; đúng cả 4 ý được 1,0 điểm.
- Tổng điểm toàn bộ 15 câu là 15,0 điểm; khi sử dụng cho bài kiểm tra thang 10, quy đổi tỉ lệ thuận (chia 1,5).
- Học sinh làm theo cách khác, nếu lập luận đúng vẫn cho điểm tối đa của ý đó.

B. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

1. Bảng đáp án nhanh

2. Đáp án chi tiết

Lưu ý khi chấm: Học sinh làm theo cách khác, nếu lập luận đúng vẫn cho điểm tối đa của ý đó. Với các ý yêu cầu kết quả số, chấp nhận sai lệch làm tròn không quá 0,01 so với đáp án.