Chuyên đề Toán tư duy Lớp 3: Phép toán định nghĩa mới

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Khái niệm phép toán định nghĩa mới

Trong toán học thông thường, chúng ta đã quen thuộc với 4 phép tính cơ bản: cộng ($+$), trừ ($-$), nhân ($\times$), chia ($:$).
Phép toán định nghĩa mới (hay còn gọi là phép toán quy ước) là dạng toán mà đề bài tự đặt ra một kí hiệu mới lạ như $*$, $\Delta$, $\odot$, $\oplus$, $\star$, $\Diamond$... Kí hiệu này được quy định bởi một công thức tính toán dựa trên các phép tính quen thuộc giữa các số.

2. Phương pháp giải toán

Để làm tốt dạng bài này, các em thực hiện theo 3 bước sau:
- Bước 1 (Xác định vai trò của các số): Quan sát kĩ vị trí của các chữ cái trong công thức quy ước để biết số đứng trước và số đứng sau kí hiệu đóng vai trò gì.
- Bước 2 (Thay số vào công thức): Thay chính xác các số đã cho vào đúng vị trí của các chữ tương ứng trong công thức.
- Bước 3 (Thực hiện phép tính): Tính toán giá trị của biểu thức theo đúng thứ tự ưu tiên:
+ Biểu thức có dấu ngoặc: tính trong ngoặc trước, ngoài ngoặc sau.
+ Biểu thức không có ngoặc: thực hiện nhân, chia trước; cộng, trừ sau.
+ Với bài toán tìm $x$ (tìm thành phần chưa biết): ta biến đổi biểu thức về dạng tìm $x$ quen thuộc rồi giải ngược từ ngoài vào trong.

II. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1 (Thay số trực tiếp).
Cho quy ước phép tính: $a \odot b = a \times 3 + b$.
Hãy tính giá trị của $4 \odot 5$.

Lời giải:
Trong phép tính $4 \odot 5$, ta có số đứng trước là $a = 4$ và số đứng sau là $b = 5$.
Thay $a = 4$ và $b = 5$ vào công thức quy ước, ta được:

$$4 \odot 5 = 4 \times 3 + 5$$

Thực hiện phép tính nhân trước, cộng sau:

$$4 \times 3 + 5 = 12 + 5 = 17$$

Vậy $4 \odot 5 = 17$.

Ví dụ 2 (Biểu thức có dấu ngoặc lồng nhau).
Cho quy ước phép tính: $m * n = (m + n) \times 2 - m$.
Hãy tính giá trị của biểu thức: $(3 * 2) * 4$.

Lời giải:
Biểu thức có dấu ngoặc nên ta tính giá trị trong ngoặc trước:
- Bước 1: Tính $3 * 2$
Ở đây $m = 3$ và $n = 2$.
Thay vào công thức:

$$3 * 2 = (3 + 2) \times 2 - 3 = 5 \times 2 - 3 = 10 - 3 = 7$$

- Bước 2: Tính $7 * 4$
Thay kết quả vừa tìm được vào biểu thức ban đầu, ta cần tính $7 * 4$.
Ở đây $m = 7$ và $n = 4$.
Thay vào công thức:

$$7 * 4 = (7 + 4) \times 2 - 7 = 11 \times 2 - 7 = 22 - 7 = 15$$

Vậy $(3 * 2) * 4 = 15$.

Ví dụ 3 (Bài toán tìm ẩn chưa biết).
Cho quy ước phép tính: $a \ \Delta \ b = a \times 4 - b \times 2$.
Tìm số tự nhiên $x$, biết rằng: $x \ \Delta \ 5 = 14$.

Lời giải:
Áp dụng công thức quy ước với $a = x$ và $b = 5$, ta có:

$$x \ \Delta \ 5 = x \times 4 - 5 \times 2$$

$$x \ \Delta \ 5 = x \times 4 - 10$$

Theo đề bài, ta có:

$$x \times 4 - 10 = 14$$

$$x \times 4 = 14 + 10$$

$$x \times 4 = 24$$

$$x = 24 : 4$$

$$x = 6$$

Vậy $x = 6$.

III. BÀI TẬP VẬN DỤNG

1. Phần trắc nghiệm khách quan

Câu 1. Cho quy ước phép tính: $a \ \heartsuit \ b = a \times 5 - b$. Giá trị của $6 \ \heartsuit \ 8$ là:

Câu 2. Cho quy ước phép tính: $x \ \oplus \ y = (x + y) : 2$. Giá trị của biểu thức $(15 \ \oplus \ 9) \ \oplus \ 4$ là:

Câu 3. Cho quy ước phép tính: $m \ \otimes \ n = m \times n + m - n$. Giá trị của $5 \ \otimes \ 3$ là:

Câu 4. Cho hai quy ước phép tính: $a \ * \ b = a \times 4 + b$ và $c \ \sharp \ d = c \times 6 - d$. Khẳng định nào sau đây là đúng khi so sánh giá trị của $3 \ * \ 5$ và $4 \ \sharp \ 7$?

Câu 5. Cho quy ước phép tính: $a \ \Diamond \ b = a \times 3 - b$. Biết rằng $x \ \Diamond \ 7 = 20$. Giá trị của $x$ là:

2. Phần tự luận

Câu 6 (1,0 điểm).
Cho quy ước phép tính: $a \ \star \ b = a \times b + (a + b)$.
Tính giá trị của $7 \ \star \ 4$.

Câu 7 (1,0 điểm).
Cho quy ước phép tính: $m \ \odot \ n = (m - n) \times 3 + 5$.
Tính giá trị của biểu thức: $A = (8 \ \odot \ 5) \ \odot \ 10$.

Câu 8 (1,0 điểm).
Cho quy ước phép tính: $a \ \circledast \ b = a \times 6 - b \times 4$.
Tìm số tự nhiên $y$, biết: $9 \ \circledast \ y = 30$.

Câu 9 (1,0 điểm).
Cho một quy ước tính toán với một số duy nhất như sau: $[n] = n \times (n + 1)$.
(Ví dụ: $[3] = 3 \times (3 + 1) = 3 \times 4 = 12$).
Tính giá trị của biểu thức: $B = [5] - [4] + [2]$.

Câu 10 (1,0 điểm).
Cho quy ước phép tính giữa hai số: $a \ \Omega \ b = (a \times 2 + b) : 3$.
a) Tính giá trị của $7 \ \Omega \ 4$.
b) Tìm số tự nhiên $x$, biết: $(x \ \Omega \ 7) \ \Omega \ 2 = 4$.

--------- HẾT ---------

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

I. ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM

II. LỜI GIẢI CHI TIẾT TỪNG BÀI

1. Phần trắc nghiệm

Câu 1.
- Áp dụng công thức $a \ \heartsuit \ b = a \times 5 - b$ với $a = 6$ và $b = 8$.
- Ta có: $6 \ \heartsuit \ 8 = 6 \times 5 - 8 = 30 - 8 = 22$.
- Chọn đáp án A.

Câu 2.
- Tính trong ngoặc trước:
$15 \ \oplus \ 9 = (15 + 9) : 2 = 24 : 2 = 12$.
- Thay vào biểu thức:
$12 \ \oplus \ 4 = (12 + 4) : 2 = 16 : 2 = 8$.
- Chọn đáp án B.

Câu 3.
- Áp dụng công thức $m \ \otimes \ n = m \times n + m - n$ với $m = 5$ và $n = 3$.
- Ta có: $5 \ \otimes \ 3 = 5 \times 3 + 5 - 3 = 15 + 5 - 3 = 17$.
- Chọn đáp án C.

Câu 4.
- Tính giá trị của biểu thức thứ nhất:
$3 \ * \ 5 = 3 \times 4 + 5 = 12 + 5 = 17$.
- Tính giá trị của biểu thức thứ hai:
$4 \ \sharp \ 7 = 4 \times 6 - 7 = 24 - 7 = 17$.
- Vì $17 = 17$ nên $3 \ * \ 5 = 4 \ \sharp \ 7$.
- Chọn đáp án C.

Câu 5.
- Theo quy ước: $x \ \Diamond \ 7 = x \times 3 - 7$.
- Theo bài ra: $x \times 3 - 7 = 20$.
- Suy ra:
$x \times 3 = 20 + 7$
$x \times 3 = 27$
$x = 27 : 3$
$x = 9$.
- Chọn đáp án C.

2. Phần tự luận

Câu 6.
Thay $a = 7$ và $b = 4$ vào công thức $a \ \star \ b = a \times b + (a + b)$, ta được:

$$7 \ \star \ 4 = 7 \times 4 + (7 + 4)$$

$$7 \ \star \ 4 = 28 + 11 = 39$$

Vậy giá trị của $7 \ \star \ 4$ là $39$.

Câu 7.
Ta thực hiện tính toán theo thứ tự ưu tiên:
- Tính trong ngoặc: $8 \ \odot \ 5$ với $m = 8, n = 5$:

$$8 \ \odot \ 5 = (8 - 5) \times 3 + 5 = 3 \times 3 + 5 = 9 + 5 = 14$$

- Thay vào biểu thức $A$, ta tính $14 \ \odot \ 10$ với $m = 14, n = 10$:

$$14 \ \odot \ 10 = (14 - 10) \times 3 + 5 = 4 \times 3 + 5 = 12 + 5 = 17$$

Vậy giá trị của biểu thức $A$ là $17$.

Câu 8.
Theo công thức quy ước, ta có:

$$9 \ \circledast \ y = 9 \times 6 - y \times 4$$

$$9 \ \circledast \ y = 54 - y \times 4$$

Theo bài ra:

$$54 - y \times 4 = 30$$

$$y \times 4 = 54 - 30$$

$$y \times 4 = 24$$

$$y = 24 : 4$$

$$y = 6$$

Vậy số tự nhiên cần tìm là $y = 6$.

Câu 9.
Tính giá trị của từng thành phần:
- $[5] = 5 \times (5 + 1) = 5 \times 6 = 30$
- $[4] = 4 \times (4 + 1) = 4 \times 5 = 20$
- $[2] = 2 \times (2 + 1) = 2 \times 3 = 6$

Thay các giá trị vừa tính vào biểu thức $B$:

$$B = [5] - [4] + [2] = 30 - 20 + 6 = 10 + 6 = 16$$

Vậy giá trị của biểu thức $B$ là $16$.

Câu 10.
a) Thay $a = 7$ và $b = 4$ vào công thức $a \ \Omega \ b = (a \times 2 + b) : 3$:

$$7 \ \Omega \ 4 = (7 \times 2 + 4) : 3 = (14 + 4) : 3 = 18 : 3 = 6$$

Vậy $7 \ \Omega \ 4 = 6$.

b) Ta coi cụm $(x \ \Omega \ 7)$ là một số chưa biết $Y$. Biểu thức trở thành:

$$Y \ \Omega \ 2 = 4$$

Theo quy ước:

$$(Y \times 2 + 2) : 3 = 4$$

$$Y \times 2 + 2 = 4 \times 3$$

$$Y \times 2 + 2 = 12$$

$$Y \times 2 = 12 - 2$$

$$Y \times 2 = 10$$

$$Y = 10 : 2 = 5$$

Do đó:

$$x \ \Omega \ 7 = 5$$

Áp dụng tiếp quy ước:

$$(x \times 2 + 7) : 3 = 5$$

$$x \times 2 + 7 = 5 \times 3$$

$$x \times 2 + 7 = 15$$

$$x \times 2 = 15 - 7$$

$$x \times 2 = 8$$

$$x = 8 : 2$$

$$x = 4$$

Vậy số tự nhiên cần tìm là $x = 4$.