Chuyên đề Toán 12: Bài toán thực tế về chuyển động

PHẦN I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm

- Vận tốc tức thời: Nếu phương trình chuyển động của một vật theo thời gian $t$ là $s = s(t)$ thì vận tốc tức thời tại thời điểm $t$ là đạo hàm cấp một của quãng đường theo thời gian:

$$v(t) = s'(t)$$

- Gia tốc tức thời: Gia tốc tức thời tại thời điểm $t$ là đạo hàm cấp một của vận tốc, hay đạo hàm cấp hai của quãng đường theo thời gian:

$$a(t) = v'(t) = s''(t)$$

- Chiều và trạng thái chuyển động:
+ Vật dừng lại hoặc đổi chiều chuyển động tại các thời điểm $v(t) = 0$.
+ Vật chuyển động theo chiều dương khi $v(t) > 0$.
+ Vật chuyển động theo chiều âm khi $v(t) < 0$.
+ Chuyển động tăng tốc (nhanh dần) khi $a(t) \cdot v(t) > 0$; chuyển động giảm tốc (chậm dần) khi $a(t) \cdot v(t) < 0$.
+ Vận tốc lớn nhất hoặc nhỏ nhất đạt được tại các điểm cực trị của hàm $v(t)$ hoặc tại mút của đoạn thời gian khảo sát.

2. Mô hình tối ưu hóa quãng đường và thời gian

- Quy tắc giải bài toán tối ưu đường đi liên môi trường:
+ Bước 1: Đọc hiểu và phân tích dữ kiện hình học (khoảng cách đến bờ, khoảng cách giữa các địa điểm).
+ Bước 2: Đặt ẩn số $x$ là khoảng cách/vị trí tiếp bờ phù hợp kèm điều kiện ràng buộc.
+ Bước 3: Lập hàm tổng thời gian di chuyển:

$$T(x) = \dfrac{s_1(x)}{v_1} + \dfrac{s_2(x)}{v_2}$$

trong đó $s_1(x), s_2(x)$ lần lượt là các đoạn đường di chuyển trong các môi trường khác nhau với tốc độ tương ứng $v_1, v_2$.
+ Bước 4: Khảo sát hàm số $T(x)$, tìm đạo hàm $T'(x)$, giải $T'(x) = 0$ và lập bảng biến thiên để tìm giá trị nhỏ nhất của $T(x)$.
+ Bước 5: Kết luận đại lượng cần tìm (vị trí, thời gian, chi phí) kèm đơn vị và làm tròn theo yêu cầu.

PHẦN II. HỆ THỐNG BÀI TẬP ÔN LUYỆN

A. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (40 CÂU)

(Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án đúng)

Câu 1. Một vật chuyển động theo quy luật $s(t) = 3t^2 - 2t + 1$ ($t$ tính bằng giây, $s$ tính bằng mét). Vận tốc tức thời của vật tại thời điểm $t = 3\text{ s}$ là

Câu 2. Một chất điểm chuyển động với phương trình $s(t) = -t^3 + 6t^2 + 2t$ ($t \ge 0$). Gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm $t = 2\text{ s}$ bằng

Câu 3. Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình $s(t) = t^3 - 3t^2 + 5t$ ($t \ge 0$). Thời điểm vật có gia tốc triệt tiêu ($a(t) = 0$) là

Câu 4. Một quả bóng được phóng thẳng đứng lên cao từ mặt đất với phương trình chuyển động $h(t) = 20t - 5t^2$ ($t$ tính bằng giây, $h$ tính bằng mét). Độ cao lớn nhất mà quả bóng đạt được là

Câu 5. Một chất điểm chuyển động có vận tốc biến thiên theo quy luật $v(t) = -2t^2 + 8t + 10$ ($\text{m/s}$). Vận tốc lớn nhất của chất điểm bằng

Câu 6. Một đoàn tàu bắt đầu hãm phanh với quy luật vận tốc $v(t) = 30 - 5t$ ($\text{m/s}$). Kể từ lúc hãm phanh, sau bao lâu đoàn tàu dừng hẳn?

Câu 7. Một hạt chuyển động dọc theo trục số với tọa độ $x(t) = t^3 - 6t^2 + 9t + 2$ ($t \ge 0$). Hạt đổi chiều chuyển động tại các thời điểm nào?

Câu 8. Phương trình chuyển động của một vật là $s(t) = 2t^3 - 9t^2 + 12t + 4$. Khoảng thời gian vật chuyển động theo chiều âm là

Câu 9. Một ô tô chuyển động nhanh dần đều với vận tốc $v(t) = 4t + 2$ ($\text{m/s}$). Gia tốc của ô tô là

Câu 10. Một chất điểm chuyển động theo phương trình $s(t) = -t^3 + 9t^2 + t$. Vận tốc của chất điểm đạt giá trị lớn nhất tại thời điểm

Câu 11. Một vật rơi tự do với phương trình $s(t) = \dfrac{1}{2}gt^2$, lấy $g = 9{,}8\text{ m/s}^2$. Vận tốc tức thời của vật sau khi rơi được $4\text{ s}$ là

Câu 12. Một chất điểm chuyển động theo phương trình $s(t) = t^3 - 6t^2 + 15t$. Vận tốc nhỏ nhất của chất điểm bằng

Câu 13. Cho một vật chuyển động theo quy luật $s(t) = 4\sin(2\pi t)$ ($\text{cm}$). Vận tốc cực đại của vật là

Câu 14. Một vật chuyển động có vận tốc $v(t) = 3t^2 - 12t + 9$ ($\text{m/s}$). Trong khoảng thời gian $0 \le t \le 4$, vật dừng lại tại bao nhiêu thời điểm?

Câu 15. Chuyển động thẳng có phương trình $s(t) = 2t^3 - 3t^2 + 1$. Gia tốc của chuyển động tại thời điểm vận tốc bằng $0$ (với $t > 0$) là

Câu 16. Một tên lửa được bắn thẳng đứng, độ cao đạt được sau $t$ giây là $h(t) = 120t - 3t^2$ ($\text{m}$). Vận tốc của tên lửa sau $10\text{ s}$ kể từ lúc phóng là

Câu 17. Một chiếc xe bắt đầu tăng tốc từ trạng thái đứng yên với gia tốc $a(t) = 6t - 2$ ($\text{m/s}^2$). Biết tại $t = 0$, $v(0) = 0$. Vận tốc của xe sau $2\text{ s}$ là

Câu 18. Vị trí của một hạt chuyển động trên trục hoành cho bởi $x(t) = t^4 - 4t^3 + 10$. Hạt chuyển động chậm dần trong khoảng thời gian nào sau đây?

Câu 19. Cho phương trình chuyển động $s(t) = -t^3 + 12t^2 - 36t$. Khoảng thời gian mà vật tăng tốc theo chiều dương là

Câu 20. Một chất điểm chuyển động theo phương trình $s(t) = 2t^3 - 15t^2 + 36t + 1$. Vận tốc đạt giá trị nhỏ nhất tại thời điểm nào?

Câu 21. Một vật chuyển động theo quy luật $s(t) = \dfrac{1}{3}t^3 - 2t^2 + 3t + 4$. Vận tốc của vật tại thời điểm gia tốc bằng $2\text{ m/s}^2$ là

Câu 22. Một ô tô đang chạy với vận tốc $20\text{ m/s}$ thì người lái đạp phanh. Sau khi đạp phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v(t) = 20 - 4t$ ($\text{m/s}$). Quãng đường ô tô đi được từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn là

Câu 23. Một vật chuyển động với gia tốc $a(t) = 12t^2$ ($\text{m/s}^2$). Biết vận tốc ban đầu $v(0) = 2\text{ m/s}$. Vận tốc của vật tại thời điểm $t = 1\text{ s}$ là

Câu 24. Chuyển động của một con lắc đơn được mô tả bởi góc lệch $\alpha(t) = 0{,}1\cos(4\pi t)$ ($\text{rad}$). Vận tốc góc cực đại của con lắc là

Câu 25. Một vật chuyển động có phương trình quãng đường $s(t) = t^2 - 4t + 5$. Quãng đường thực tế vật đi được trong $3$ giây đầu tiên là

Câu 26. Một vật phóng từ độ cao $10\text{ m}$ lên trên với vận tốc $v(t) = 30 - 10t$ ($\text{m/s}$). Độ cao của vật tại thời điểm vận tốc bằng $0$ là

Câu 27. Phương trình chuyển động của một hạt là $s(t) = 2\sqrt{t} + 3$ ($t > 0$). Gia tốc của hạt tại $t = 4\text{ s}$ là

Câu 28. Một chất điểm chuyển động theo phương trình $s(t) = t^3 - 3t + 2$. Khi gia tốc của chất điểm bằng $12\text{ m/s}^2$ thì vận tốc của nó bằng

Câu 29. Một vật chuyển động thẳng có phương trình $s(t) = t^4 - 2t^2 + 1$. Vận tốc của vật bằng $0$ tại thời điểm dương nào?

Câu 30. Một đoàn tàu rời ga chuyển động thẳng nhanh dần đều với phương trình $s(t) = 0{,}5t^2$ ($\text{m}$). Vận tốc trung bình của đoàn tàu trong khoảng thời gian từ $t = 2\text{ s}$ đến $t = 6\text{ s}$ là

Câu 31. Cho chuyển động thẳng có vận tốc tức thời $v(t) = 6t^2 - 18t + 12$. Trong khoảng thời gian nào thì vật chuyển động ngược chiều dương?

Câu 32. Một ca nô chạy trên sông với phương trình vận tốc $v(t) = 8 - 2t$ ($\text{m/s}$). Gia tốc của ca nô là

Câu 33. Một vật chuyển động theo quy luật $s(t) = -t^3 + 3t^2 + 9t$. Tại thời điểm vật đạt vận tốc lớn nhất, gia tốc của vật bằng

Câu 34. Một chất điểm chuyển động với vận tốc $v(t) = \dfrac{10}{t + 1}$ ($\text{m/s}$). Gia tốc của chất điểm tại thời điểm $t = 4\text{ s}$ là

Câu 35. Cho chuyển động có phương trình $s(t) = 2t^3 - 6t^2 + 18$. Gia tốc của chuyển động khi $t = 3\text{ s}$ là

Câu 36. Một vật bắt đầu chuyển động từ trạng thái nghỉ với gia tốc không đổi $a = 4\text{ m/s}^2$. Quãng đường vật đi được sau $5\text{ s}$ là

Câu 37. Cho hàm vị trí của một vật chuyển động là $s(t) = \sin(3t) + \cos(3t)$. Vận tốc của vật tại $t = \dfrac{\pi}{6}$ là

Câu 38. Một người chạy bộ trên đường thẳng với hàm vận tốc $v(t) = 6t - t^2$ ($\text{m/s}$) trong $6$ giây đầu. Vận tốc chạy lớn nhất của người đó là

Câu 39. Một vật chuyển động thẳng có vận tốc cho bởi đồ thị là một đường thẳng đi qua hai điểm $(0; 4)$ và $(2; 10)$ trên mặt phẳng toạ độ $(t; v)$. Gia tốc của vật bằng

Câu 40. Chuyển động của một hạt được xác định bởi $s(t) = t^3 - 12t$. Vận tốc của hạt tại thời điểm hạt đi qua gốc tọa độ ($s = 0, t > 0$) là

B. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM ĐÚNG / SAI (30 CÂU)

(Thí sinh trả lời đúng hoặc sai cho từng mệnh đề a, b, c, d trong mỗi câu hỏi)

Câu 1. Một vật chuyển động theo quy luật $s(t) = -t^3 + 6t^2 + 15t$ với $t \ge 0$ ($t$ tính bằng giây, $s$ tính bằng mét).
a) Vận tốc tức thời của vật được xác định bởi công thức $v(t) = -3t^2 + 12t + 15$.
b) Tại thời điểm ban đầu $t = 0$, vận tốc của vật bằng $0\text{ m/s}$.
c) Vật dừng lại tại thời điểm $t = 5\text{ s}$.
d) Trong khoảng thời gian từ $t = 0$ đến $t = 2\text{ s}$, vận tốc của vật tăng dần.

Câu 2. Một quả tên lửa mô hình được phóng thẳng đứng lên cao từ mặt đất. Độ cao $h(t)$ (mét) của tên lửa sau $t$ giây kể từ lúc phóng được cho bởi công thức $h(t) = -5t^2 + 60t$.
a) Vận tốc tức thời của tên lửa sau $4$ giây là $20\text{ m/s}$.
b) Tên lửa đạt độ cao cực đại tại thời điểm $t = 6\text{ s}$.
c) Độ cao cực đại mà tên lửa đạt được là $180\text{ m}$.
d) Tên lửa rơi trở lại mặt đất sau $10\text{ s}$ kể từ lúc phóng.

Câu 3. Một chất điểm chuyển động trên một trục số nằm ngang với phương trình vị trí $s(t) = 2t^3 - 9t^2 + 12t - 1$ ($t \ge 0$).
a) Gia tốc tức thời của chất điểm là $a(t) = 12t - 18$.
b) Chất điểm chuyển động theo chiều âm khi $1 < t < 2$.
c) Tại thời điểm $t = 1\text{ s}$, chất điểm có gia tốc bằng $0$.
d) Vận tốc của chất điểm đạt giá trị nhỏ nhất tại thời điểm $t = 1{,}5\text{ s}$.

Câu 4. Một ô tô bắt đầu chuyển bánh và tăng tốc với phương trình quãng đường $s(t) = \dfrac{1}{3}t^3 + 2t^2$ ($t \ge 0$).
a) Vận tốc của ô tô sau $3$ giây là $21\text{ m/s}$.
b) Gia tốc của ô tô tại thời điểm $t = 2\text{ s}$ là $8\text{ m/s}^2$.
c) Chuyển động của ô tô là chuyển động nhanh dần đều.
d) Sau $6$ giây kể từ khi xuất phát, gia tốc của ô tô gấp $4$ lần gia tốc ban đầu lúc $t = 0$.

Câu 5. Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương trình $x(t) = 5\cos(2\pi t)$ ($\text{cm}$).
a) Vận tốc tức thời của con lắc tại thời điểm $t$ là $v(t) = -10\pi\sin(2\pi t)$ ($\text{cm/s}$).
b) Vận tốc của con lắc đạt giá trị lớn nhất bằng $10\pi\text{ cm/s}$.
c) Gia tốc của con lắc luôn cùng hướng với li độ $x(t)$.
d) Tại các vị trí biên ($x = \pm 5\text{ cm}$), vận tốc tức thời của con lắc triệt tiêu.

Câu 6. Một chiếc xe buýt đang chạy với tốc độ $18\text{ m/s}$ thì người lái xe phát hiện chướng ngại vật và hãm phanh. Kể từ lúc hãm phanh, xe chuyển động với phương trình vận tốc $v(t) = 18 - 3t$ ($\text{m/s}$).
a) Sau $4$ giây kể từ khi hãm phanh, tốc độ của xe buýt là $6\text{ m/s}$.
b) Xe buýt dừng hẳn sau $6$ giây kể từ lúc đạp phanh.
c) Gia tốc của xe buýt trong suốt quá trình hãm phanh là $-3\text{ m/s}^2$.
d) Quãng đường xe buýt di chuyển từ lúc hãm phanh đến khi dừng lại là $108\text{ m}$.

Câu 7. Một hạt bụi tích điện chuyển động trong điện trường theo quy luật $s(t) = t^4 - 4t^3 + 4t^2$ với $t \ge 0$.
a) Vận tốc của hạt bụi là $v(t) = 4t^3 - 12t^2 + 8t$.
b) Hạt bụi dừng lại tại ba thời điểm $t = 0$, $t = 1$, $t = 2$.
c) Trong khoảng thời gian $(1; 2)$, hạt bụi chuyển động theo chiều dương.
d) Gia tốc của hạt bụi tại thời điểm $t = 1\text{ s}$ bằng $-4\text{ đơn vị}$.

Câu 8. Một khinh khí cầu bay lên theo phương thẳng đứng với độ cao được mô hình hóa bởi $h(t) = -0{,}1t^3 + 1{,}5t^2 + 20t$ ($0 \le t \le 20$, $t$ tính bằng phút, $h$ tính bằng mét).
a) Tốc độ bay lên của khinh khí cầu sau $5$ phút là $27{,}5\text{ m/phút}$.
b) Khinh khí cầu đạt tốc độ bay lên lớn nhất tại thời điểm $t = 5\text{ phút}$.
c) Tại thời điểm $t = 10\text{ phút}$, khinh khí cầu bắt đầu hạ cánh.
d) Tốc độ bay lên lớn nhất của khinh khí cầu bằng $27{,}5\text{ m/phút}$.

Câu 9. Một vật trượt trên mặt phẳng nghiêng có phương trình chuyển động $s(t) = 5t + 2t^2$ ($t$ tính bằng giây, $s$ tính bằng mét).
a) Vận tốc ban đầu của vật là $5\text{ m/s}$.
b) Gia tốc của vật là đại lượng biến đổi theo thời gian.
c) Sau $3$ giây trượt, vận tốc của vật đạt $17\text{ m/s}$.
d) Quãng đường vật trượt được trong giây thứ 3 là $15\text{ m}$.

Câu 10. Xét một chất điểm chuyển động theo phương trình $s(t) = t^3 - 12t^2 + 45t + 3$ trên đoạn $t \in [0; 6]$.
a) Vận tốc của chất điểm triệt tiêu tại $t = 3$ và $t = 5$.
b) Trong khoảng $(3; 5)$, chất điểm chuyển động ngược chiều với chiều chuyển động ban đầu.
c) Vận tốc nhỏ nhất của chất điểm trên đoạn $[0; 6]$ bằng $-3\text{ m/s}$.
d) Quãng đường chất điểm đi được trong $6$ giây đầu tiên là $45\text{ m}$.

Câu 11. Một giọt nước mưa rơi tự do từ đám mây có độ cao $h$. Bỏ qua sức cản không khí, phương trình rơi là $y(t) = 4{,}9t^2$ ($y$ tính bằng mét, $t$ tính bằng giây).
a) Vận tốc rơi tức thời của giọt nước mưa tỉ lệ thuận với thời gian rơi.
b) Gia tốc tức thời của giọt nước mưa không đổi và bằng $9{,}8\text{ m/s}^2$.
c) Vận tốc tức thời sau khi rơi được $2$ giây là $19{,}6\text{ m/s}$.
d) Quãng đường giọt nước mưa rơi trong giây thứ hai bằng quãng đường rơi trong giây thứ nhất.

Câu 12. Một tàu cao tốc rời ga chuyển động theo quy luật $s(t) = 0{,}02t^3 - 0{,}3t^2 + 5t$ ($t \ge 0$, đơn vị: $\text{m, s}$).
a) Vận tốc tức thời của tàu là $v(t) = 0{,}06t^2 - 0{,}6t + 5$.
b) Tàu chuyển động chậm dần trong khoảng thời gian từ $t = 0$ đến $t = 5\text{ s}$.
c) Vận tốc của tàu đạt giá trị nhỏ nhất bằng $3{,}5\text{ m/s}$.
d) Gia tốc của tàu luôn mang giá trị dương với mọi $t \ge 0$.

Câu 13. Một vận động viên bơi lội nhảy từ cầu nhảy xuống nước có độ cao tính từ mặt nước là $h(t) = 10 + 4t - 5t^2$ (mét).
a) Cầu nhảy có độ cao $10\text{ m}$ so với mặt nước.
b) Vận động viên đạt độ cao lớn nhất so với mặt nước tại thời điểm $t = 0{,}4\text{ s}$.
c) Độ cao lớn nhất mà vận động viên đạt được là $10{,}8\text{ m}$.
d) Vận động viên chạm mặt nước sau đúng $2$ giây kể từ lúc nhảy.

Câu 14. Một vật chuyển động thẳng có vận tốc được biểu thị bởi $v(t) = \dfrac{4t}{t^2 + 1}$ ($\text{m/s}$) với $t \ge 0$.
a) Tại $t = 0$, vật đứng yên.
b) Gia tốc của vật tại thời điểm $t$ là $a(t) = \dfrac{4(1 - t^2)}{(t^2 + 1)^2}$.
c) Vận tốc lớn nhất của vật đạt được là $2\text{ m/s}$ tại $t = 1\text{ s}$.
d) Khi $t$ rất lớn ($t \to +\infty$), vận tốc của vật tiến dần về $4\text{ m/s}$.

Câu 15. Người ta ném một hòn đá theo phương xiên từ mặt đất với quỹ đạo chuyển động có độ cao $y(x) = -\dfrac{1}{40}x^2 + x$ ($x$ là tầm xa, $y$ là độ cao, đơn vị mét).
a) Hòn đá chạm đất tại điểm cách vị trí ném $40\text{ m}$.
b) Độ cao lớn nhất hòn đá đạt được là $10\text{ m}$.
c) Hệ số góc của tiếp tuyến với quỹ đạo tại điểm ném ($x = 0$) bằng $1$.
d) Tại vị trí có độ cao lớn nhất, hệ số góc của tiếp tuyến quỹ đạo bằng $0$.

Câu 16. Hai xe chuyển động thẳng đều trên cùng một trục số. Xe thứ nhất có phương trình $x_1(t) = 20 + 30t$, xe thứ hai có phương trình $x_2(t) = 5t^2 + 10t$ ($x$ tính bằng km, $t$ tính bằng giờ).
a) Xe thứ nhất chuyển động thẳng đều với vận tốc $30\text{ km/h}$.
b) Xe thứ hai chuyển động có gia tốc bằng $5\text{ km/h}^2$.
c) Hai xe gặp nhau lần đầu tại thời điểm $t = 1\text{ h}$.
d) Tại thời điểm gặp nhau lần thứ hai, vận tốc của xe thứ hai bằng $50\text{ km/h}$.

Câu 17. Chuyển động của một pít-tông trong động cơ ô tô được mô hình hóa bởi $s(t) = 8\sin\left(100\pi t + \dfrac{\pi}{4}\right)$ ($\text{cm}$).
a) Biên độ dao động của pít-tông là $8\text{ cm}$.
b) Vận tốc tức thời cực đại của pít-tông là $800\pi\text{ cm/s}$.
c) Gia tốc cực đại của pít-tông bằng $80000\pi^2\text{ cm/s}^2$.
d) Khi pít-tông qua vị trí cân bằng ($s = 0$), gia tốc đạt giá trị lớn nhất.

Câu 18. Một người chèo thuyền xuất phát từ điểm $A$ cách bờ sông một khoảng $AH = 3\text{ km}$. Người đó muốn đến điểm $B$ trên bờ, biết $HB = 8\text{ km}$ ($AH \perp HB$). Vận tốc chèo thuyền là $5\text{ km/h}$ và vận tốc chạy bộ trên bờ là $10\text{ km/h}$. Người đó chèo thuyền cập bờ tại điểm $P$ nằm giữa $H$ và $B$. Đặt $HP = x\text{ km}$ ($0 \le x \le 8$).
a) Đoạn đường chèo thuyền là $AP = \sqrt{x^2 + 9}\text{ km}$.
b) Hàm số biểu diễn thời gian di chuyển từ $A$ đến $B$ là $T(x) = \dfrac{\sqrt{x^2 + 9}}{5} + \dfrac{8 - x}{10}$ (giờ).
c) Đạo hàm $T'(x) = 0$ có nghiệm $x = \sqrt{3}\text{ km}$.
d) Thời gian ngắn nhất để người đó đi từ $A$ đến $B$ là $1{,}32$ giờ (làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 19. Một người ở vị trí $M$ trên một hòn đảo cách bờ biển thẳng $4\text{ km}$ tại hình chiếu vuông góc $H$. Người đó cần đến điểm $N$ trên bờ cách $H$ một khoảng $12\text{ km}$. Người đó chèo thuyền từ $M$ đến $K$ trên bờ ($K$ nằm giữa $H$ và $N$) với tốc độ $6\text{ km/h}$, rồi đi xe máy từ $K$ đến $N$ với tốc độ $30\text{ km/h}$. Đặt $HK = x\text{ km}$ ($0 \le x \le 12$).
a) Thời gian chèo thuyền là $\dfrac{\sqrt{x^2 + 16}}{6}$ (giờ).
b) Khoảng cách $KN = 12 - x$ (km).
c) Thời gian tổng cộng ngắn nhất khi điểm $K$ cách $H$ một khoảng $x = 1\text{ km}$.
d) Tổng thời gian ngắn nhất để người đó đến được điểm $N$ là nhỏ hơn $1$ giờ.

Câu 20. Một tên lửa được phóng từ bệ phóng. Sau $t$ giây ($0 \le t \le 10$), độ cao đạt được là $h(t) = 2t^3 - 15t^2 + 36t$ (mét).
a) Tại thời điểm $t = 2\text{ s}$, tên lửa đạt độ cao cục bộ lớn nhất bằng $28\text{ m}$.
b) Trong khoảng thời gian từ $t = 2\text{ s}$ đến $t = 3\text{ s}$, tên lửa bị mất độ cao.
c) Tại thời điểm $t = 3\text{ s}$, độ cao của tên lửa là $27\text{ m}$.
d) Độ cao lớn nhất của tên lửa trong $10$ giây đầu tiên đạt được tại thời điểm $t = 10\text{ s}$.

Câu 21. Một người lướt sóng chuyển động theo quỹ đạo có hàm vị trí $y(t) = \dfrac{t^3}{3} - 4t^2 + 12t$ ($0 \le t \le 8$).
a) Vận tốc lướt sóng tại $t = 2\text{ s}$ là $0\text{ m/s}$.
b) Người lướt sóng đổi chiều chuyển động tại hai thời điểm $t = 2\text{ s}$ và $t = 6\text{ s}$.
c) Vận tốc lớn nhất trên đoạn $[0; 8]$ đạt được tại $t = 8\text{ s}$.
d) Gia tốc tại thời điểm $t = 4\text{ s}$ triệt tiêu.

Câu 22. Một đoàn tàu hỏa rời ga có hàm quãng đường $s(t) = At^2 + Bt$ ($A, B$ là hằng số). Sau $10\text{ s}$ tàu đi được $150\text{ m}$ và đạt vận tốc $20\text{ m/s}$.
a) Vận tốc tức thời của tàu là $v(t) = 2At + B$.
b) Giá trị của $A = 0{,}5$ và $B = 10$.
c) Gia tốc của đoàn tàu là hằng số bằng $1\text{ m/s}^2$.
d) Vận tốc của đoàn tàu sau $20\text{ s}$ kể từ lúc rời ga là $30\text{ m/s}$.

Câu 23. Xét chuyển động của một vật có phương trình $s(t) = 3t^4 - 16t^3 + 18t^2$ trên đoạn $[0; 4]$.
a) Vận tốc triệt tiêu tại các thời điểm $t = 0$, $t = 1$, $t = 3$.
b) Vật đạt vận tốc lớn nhất tại thời điểm $t = 3\text{ s}$.
c) Gia tốc của vật tại $t = 1\text{ s}$ bằng $-12\text{ đơn vị}$.
d) Trong khoảng thời gian $(1; 3)$, vật chuyển động theo chiều âm.

Câu 24. Một máy bay hạ cánh xuống đường băng với phương trình quãng đường từ lúc chạm bánh là $s(t) = 80t - 2t^2$ ($t$ tính bằng giây, $s$ tính bằng mét).
a) Vận tốc lúc máy bay vừa chạm bánh ($t = 0$) là $80\text{ m/s}$.
b) Máy bay dừng lại sau $20$ giây kể từ lúc chạm bánh.
c) Chiều dài đoạn đường băng tối thiểu để máy bay hạ cánh an toàn là $800\text{ m}$.
d) Gia tốc của máy bay trong quá trình giảm tốc là $-4\text{ m/s}^2$.

Câu 25. Một con báo đuổi theo linh dương với hàm vận tốc $v(t) = -t^2 + 10t$ ($0 \le t \le 10$, đơn vị: $\text{m/s}$).
a) Sau $5$ giây, con báo đạt vận tốc tối đa.
b) Vận tốc lớn nhất của con báo là $25\text{ m/s}$.
c) Gia tốc của con báo tại thời điểm vận tốc tối đa bằng $0\text{ m/s}^2$.
d) Con báo dừng lại tại thời điểm $t = 10\text{ s}$.

Câu 26. Một vật dao động tắt dần dọc theo trục $Ox$ có phương trình $x(t) = e^{-t}\sin(2t)$ ($t \ge 0$).
a) Tại $t = 0$, vật ở gốc tọa độ $x = 0$.
b) Vận tốc ban đầu của vật là $v(0) = 2$.
c) Đạo hàm của hàm vị trí là $v(t) = e^{-t}(2\cos 2t - \sin 2t)$.
d) Vật không bao giờ đổi chiều chuyển động.

Câu 27. Một thang cứu hỏa dài $10\text{ m}$ dựa vào một bức tường thẳng đứng. Chân thang trượt ra xa chân tường với vận tốc không đổi $2\text{ m/s}$. Gọi $x(t)$ là khoảng cách từ chân thang đến chân tường, $y(t)$ là chiều cao đầu thang trên tường.
a) Hệ thức liên hệ giữa $x(t)$ và $y(t)$ là $x^2(t) + y^2(t) = 100$.
b) Khi $x = 6\text{ m}$ thì chiều cao đầu thang là $y = 8\text{ m}$.
c) Đạo hàm hai vế theo thời gian cho ta $x \cdot x'(t) + y \cdot y'(t) = 0$.
d) Tại thời điểm $x = 6\text{ m}$, đầu thang tụt xuống với tốc độ $1{,}5\text{ m/s}$.

Câu 28. Một chất điểm chuyển động theo phương trình $s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t + 1$.
a) Quãng đường chất điểm đi được trong khoảng thời gian từ $t = 0$ đến $t = 1$ là $4\text{ m}$.
b) Vận tốc tức thời của chất điểm bằng $0$ tại $t = 1$ và $t = 3$.
c) Vị trí của chất điểm tại $t = 3$ là $s = 1$.
d) Tổng quãng đường chất điểm di chuyển từ $t = 0$ đến $t = 4$ là $8\text{ m}$.

Câu 29. Một ca nô chạy ngược dòng sông từ bến $A$ đến bến $B$ cách nhau $30\text{ km}$. Vận tốc của dòng nước là $3\text{ km/h}$. Gọi $v$ là vận tốc riêng của ca nô ($v > 3$). Chi phí nhiên liệu cho mỗi giờ chạy tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc riêng: $C = k \cdot v^2$ (nghìn đồng/giờ).
a) Vận tốc thực tế của ca nô khi chạy ngược dòng là $v - 3$ (km/h).
b) Thời gian ca nô đi từ $A$ đến $B$ là $\dfrac{30}{v - 3}$ (giờ).
c) Tổng chi phí nhiên liệu cho cả chuyến đi là $F(v) = \dfrac{30k \cdot v^2}{v - 3}$.
d) Để chi phí nhiên liệu cho chuyến đi là ít nhất, ca nô nên chạy với vận tốc riêng $v = 6\text{ km/h}$.

Câu 30. Một đoàn tàu hỏa chuyển động trên cầu với hàm vận tốc $v(t) = 20 + 4t - t^2$ ($0 \le t \le 5$, đơn vị: $\text{m/s}$).
a) Vận tốc ban đầu của tàu khi bắt đầu lên cầu là $20\text{ m/s}$.
b) Tàu đạt vận tốc lớn nhất tại thời điểm $t = 2\text{ s}$.
c) Vận tốc lớn nhất của tàu trên cầu bằng $24\text{ m/s}$.
d) Gia tốc của tàu tại thời điểm $t = 3\text{ s}$ mang giá trị âm.

C. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (20 CÂU)

(Thí sinh tính toán và điền kết quả vào ô trả lời theo yêu cầu làm tròn)

Câu 1. Một vật chuyển động thẳng có phương trình $s(t) = -t^3 + 9t^2 + 21t$ ($t$ tính bằng giây, $s$ tính bằng mét). Tốc độ lớn nhất của vật đạt được trong $8$ giây đầu tiên bằng bao nhiêu mét trên giây?

Câu 2. Một quả tên lửa được phóng thẳng đứng từ mặt đất. Chiều cao $h$ (mét) của tên lửa sau $t$ giây kể từ lúc phóng được xác định bởi công thức $h(t) = 180t - 5t^2$. Tên lửa đạt độ cao tối đa bằng bao nhiêu mét?

Câu 3. Cho chất điểm chuyển động theo phương trình $s(t) = \dfrac{1}{3}t^3 - 3t^2 + 8t + 2$ ($t \ge 0$). Vận tốc nhỏ nhất của chất điểm bằng bao nhiêu mét trên giây?

Câu 4. Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều từ trạng thái nghỉ với gia tốc không đổi $a = 3\text{ m/s}^2$. Sau bao nhiêu giây thì ô tô đạt được vận tốc $24\text{ m/s}$?

Câu 5. Một chất điểm chuyển động trên trục số có tọa độ $s(t) = t^3 - 12t^2 + 36t$ ($t \ge 0$). Khoảng thời gian chất điểm chuyển động theo chiều âm kéo dài bao nhiêu giây?

Câu 6. Một đoàn tàu đang chạy với tốc độ $25\text{ m/s}$ thì hãm phanh chuyển động chậm dần đều với gia tốc có độ lớn $2{,}5\text{ m/s}^2$. Quãng đường đoàn tàu đi được từ lúc bắt đầu hãm phanh đến khi dừng hẳn bằng bao nhiêu mét?

Câu 7. Một chiếc ca nô chuyển động với phương trình quãng đường $s(t) = 2t^3 - 6t^2 + 10t$ ($t$ tính bằng giây, $s$ tính bằng mét). Gia tốc của ca nô tại thời điểm vận tốc đạt giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu $\text{m/s}^2$?

Câu 8. Một vật chuyển động với hàm vận tốc $v(t) = 0{,}03t^3 - 0{,}9t^2 + 60$ ($0 \le t \le 30$, $v$ tính bằng $\text{ft/s}$). Gia tốc nhỏ nhất của vật đạt được tại thời điểm $t$ bằng bao nhiêu giây?

Câu 9. Một người chèo thuyền ở vị trí $A$ cách bờ sông $2\text{ km}$. Người đó muốn đến vị trí $B$ trên bờ cách điểm $H$ (hình chiếu vuông góc của $A$ lên bờ) một khoảng $6\text{ km}$. Vận tốc chèo thuyền là $4\text{ km/h}$ và vận tốc chạy bộ trên bờ là $5\text{ km/h}$. Người đó chèo thuyền cập bờ tại điểm $P$ nằm giữa $H$ và $B$. Khoảng cách $HP$ bằng bao nhiêu kilômét để thời gian di chuyển từ $A$ đến $B$ là ngắn nhất? (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Câu 10. Xét bài toán người bơi và chạy: Một người đang ở điểm $A$ trên bờ hồ hình chữ nhật muốn đến góc đối diện $C$. Người đó bơi thẳng đến điểm $M$ trên cạnh đối diện $CD$ với vận tốc $3\text{ km/h}$ rồi chạy bộ từ $M$ đến $C$ với vận tốc $6\text{ km/h}$. Biết khoảng cách từ $A$ đến cạnh $CD$ là $1\text{ km}$ và chiều dài cạnh $CD$ là $4\text{ km}$. Để thời gian di chuyển là ít nhất, điểm $M$ phải cách chân đường vuông góc kẻ từ $A$ xuống $CD$ một khoảng bằng bao nhiêu kilômét? (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

Câu 11. Một ô tô chuyển động theo quy luật $s(t) = -0{,}5t^3 + 6t^2 + 20t$ trong $10$ giây đầu. Vận tốc của ô tô đạt giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu mét trên giây?

Câu 12. Một chất điểm chuyển động có phương trình $s(t) = 2t^3 - 15t^2 + 24t + 5$. Tại thời điểm gia tốc của chất điểm bằng $6\text{ m/s}^2$, vận tốc của nó bằng bao nhiêu mét trên giây?

Câu 13. Một vật rơi từ độ cao $125\text{ m}$ xuống đất theo phương trình $h(t) = 125 - 5t^2$ ($t$ tính bằng giây, $h$ tính bằng mét). Vận tốc của vật ngay trước khi chạm đất bằng bao nhiêu mét trên giây?

Câu 14. Một chất điểm chuyển động theo phương trình $s(t) = t^4 - 8t^2 + 10$ ($t \ge 0$). Vận tốc của chất điểm tại thời điểm $t = 3\text{ s}$ bằng bao nhiêu mét trên giây?

Câu 15. Khoảng cách giữa hai xe máy chuyển động trên hai con đường vuông góc nhau hướng về ngã tư được cho bởi $d(t) = \sqrt{(40 - 30t)^2 + (30 - 40t)^2}$ (km, $t$ tính bằng giờ). Khoảng cách ngắn nhất giữa hai xe bằng bao nhiêu kilômét?

Câu 16. Một máy bay cất cánh từ đường băng, độ cao của máy bay sau $t$ phút ($0 \le t \le 5$) được cho bởi công thức $h(t) = -20t^3 + 150t^2$ (mét). Tốc độ tăng độ cao lớn nhất của máy bay bằng bao nhiêu mét trên phút?

Câu 17. Chuyển động của một con tàu thám hiểm đại dương khi lặn xuống được mô tả bởi độ sâu $y(t) = 0{,}01t^3 - 0{,}6t^2 + 9t$ ($t$ tính bằng phút, $y$ tính bằng mét). Sau bao nhiêu phút thì con tàu đạt độ sâu lớn nhất trước khi nổi lên?

Câu 18. Hai tàu thủy $A$ và $B$ ban đầu cách nhau $50\text{ hải lý}$. Tàu $A$ chạy về phía Nam với vận tốc $16\text{ hải lý/giờ}$, tàu $B$ chạy về phía Đông với vận tốc $12\text{ hải lý/giờ}$. Sau bao nhiêu giờ kể từ lúc xuất phát thì khoảng cách giữa hai tàu là nhỏ nhất? (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Câu 19. Một chất điểm chuyển động theo quy luật $s(t) = -t^3 + 12t^2$ ($t \ge 0$). Trong $10$ giây đầu tiên, quãng đường thực tế chất điểm đi được bằng bao nhiêu mét?

Câu 20. Một vật chuyển động với phương trình $s(t) = 2\sqrt{t^2 + 9}$ ($t \ge 0$, đơn vị: $\text{m, s}$). Khi $t$ tiến tới vô cùng ($t \to +\infty$), vận tốc tức thời của vật tiến dần tới giá trị giới hạn bằng bao nhiêu mét trên giây?

--------- HẾT ---------

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN BÀI 1

A. ĐÁP ÁN PHẦN TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (40 CÂU)