Chuyên đề Toán 12: 25 bài toán thực tế tối ưu hóa diện tích, thể tích, chi phí và thời gian

PHẦN I. HỆ THỐNG ĐỀ BÀI

Bài 1. Một bác nông dân dự định dùng số tiền $18\,000\,000$ đồng để làm hàng rào bao quanh một khu đất hình chữ nhật sát một bờ sông thẳng để trồng trọt. Khu đất này có một cạnh tiếp giáp bờ sông nên không cần rào; ba cạnh còn lại cần làm hàng rào gồm một cạnh song song với bờ sông và hai cạnh vuông góc với bờ sông. Chi phí làm hàng rào cho cạnh song song với bờ sông là $90\,000$ đồng/m, chi phí làm hàng rào cho mỗi cạnh vuông góc với bờ sông là $60\,000$ đồng/m. Hỏi diện tích lớn nhất của khu đất mà bác nông dân có thể rào được là bao nhiêu mét vuông?

[Hình vẽ]

Bài 2. Một trang trại nuôi cừu ven một con sông thẳng muốn dùng số tiền $24\,000\,000$ đồng để làm một hệ thống hàng rào hình chữ E bao quanh hai bãi chăn thả có dạng hai hình chữ nhật bằng nhau ghép sát nhau. Bờ sông thẳng đóng vai trò là ranh giới tự nhiên phía sau nên không cần làm hàng rào. Hệ thống hàng rào gồm một đoạn dài song song với bờ sông và ba đoạn vuông góc với bờ sông (trong đó có một đoạn chia đôi hai bãi thả). Biết chi phí làm hàng rào cho đoạn song song với bờ sông là $80\,000$ đồng/m, chi phí cho mỗi đoạn vuông góc với bờ sông là $50\,000$ đồng/m. Tính diện tích lớn nhất của toàn bộ khu đất chăn thả mà trang trại có thể rào được (đơn vị $\text{m}^2$).

[Hình vẽ]

Bài 3. Một hộ gia đình muốn rào một khu vườn hình chữ nhật có diện tích đúng bằng $450\text{ m}^2$. Do đặc điểm địa hình, chi phí làm hàng rào dọc theo hai cạnh chiều dài là $50\,000$ đồng/m, còn chi phí làm hàng rào dọc theo hai cạnh chiều rộng là $40\,000$ đồng/m. Để chi phí làm hàng rào là nhỏ nhất, chủ hộ cần chọn chiều dài và chiều rộng của khu vườn lần lượt bằng bao nhiêu mét? Khi đó, chi phí thấp nhất để làm hàng rào là bao nhiêu đồng?

[Hình vẽ]

Bài 4. Một công ty in ấn nhận thiết kế một trang sách hình chữ nhật có diện tích tổng thể bằng $486\text{ cm}^2$. Theo tiêu chuẩn in ấn, lề trên và lề dưới của trang sách đều rộng $2\text{ cm}$, lề trái rộng $3\text{ cm}$ và lề phải rộng $1{,}5\text{ cm}$. Phần diện tích còn lại ở giữa dùng để in chữ. Tính diện tích lớn nhất của phần in chữ trên một trang sách (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của $\text{cm}^2$).

[Hình vẽ]

Bài 5. Từ một tấm tôn hình vuông có độ dài cạnh bằng $36\text{ cm}$, người ta cắt bỏ bốn hình vuông nhỏ bằng nhau có cạnh $x\text{ (cm)}$ ở bốn góc, sau đó gập các mép còn lại lên để tạo thành một chiếc hộp không có nắp dạng hình hộp chữ nhật. Tìm giá trị của $x$ để thể tích của chiếc hộp thu được đạt giá trị lớn nhất.

[Hình vẽ]

Bài 6. Một tấm bìa các-tông hình chữ nhật có kích thước $50\text{ cm} \times 80\text{ cm}$. Người thợ cắt bỏ bốn hình vuông bằng nhau có cạnh bằng $x\text{ (cm)}$ ở bốn góc rồi gập các phần còn lại để tạo thành một chiếc hộp chữ nhật không nắp. Tìm $x$ để thể tích khối hộp thu được là lớn nhất (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm của centimét).

[Hình vẽ]

Bài 7. Một xưởng cơ khí cần gia công một chiếc hộp kim loại dạng hình hộp chữ nhật không nắp, có đáy là hình vuông và tổng diện tích bề mặt (diện tích toàn phần không nắp) bằng $192\text{ cm}^2$. Tìm các kích thước của cạnh đáy và chiều cao chiếc hộp để thể tích của hộp đạt giá trị lớn nhất.

[Hình vẽ]

Bài 8. Để trữ nước tưới tiêu phục vụ sản xuất nông nghiệp trong mùa khô, một nông trường thiết kế một bể chứa nước ngầm không nắp dạng hình hộp chữ nhật có thể tích $V = 288\text{ m}^3$. Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp ba lần chiều rộng. Chi phí xây dựng thành bể và đáy bể đều là $600\,000$ đồng/$\text{m}^2$. Hỏi nông trường cần chọn chiều sâu của bể bằng bao nhiêu mét để chi phí xây dựng bể chứa là thấp nhất?

[Hình vẽ]

Bài 9. Một thợ kính nhận làm một bể cá cảnh hình hộp chữ nhật không có nắp với chiều cao cố định là $50\text{ cm}$ và thể tích bể cần đạt $120\,000\text{ cm}^3$. Do yêu cầu chịu lực, loại kính dùng làm đáy có giá thành $240\,000$ đồng/$\text{m}^2$, loại kính dùng làm các mặt xung quanh có giá thành $150\,000$ đồng/$\text{m}^2$. Tính chi phí tối thiểu tiền kính để hoàn thành chiếc bể cá (làm tròn đến nghìn đồng).

[Hình vẽ]

Bài 10. Một người thợ thủ công sử dụng hết đúng $6\text{ m}^2$ kính cường lực để làm một bể nuôi cá cảnh dạng hình hộp chữ nhật không nắp, đáy bể có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu mét khối? (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

[Hình vẽ]

Bài 11. Một nhà máy điện đặt tại điểm $A$ ven bờ biển. Cần kéo đường dây tải điện đến trạm biến áp trên một hòn đảo ở vị trí $C$. Điểm $B$ trên bờ biển là vị trí gần đảo $C$ nhất, đoạn thẳng $BC$ vuông góc với bờ biển và $BC = 6\text{ km}$. Khoảng cách dọc bờ biển từ $A$ đến $B$ là $15\text{ km}$. Đường dây điện sẽ chạy trên đất liền từ $A$ đến một điểm $M$ (nằm giữa $A$ và $B$), sau đó đi ngầm dưới biển từ $M$ thẳng đến $C$. Biết chi phí lắp đặt mỗi kilômét dây điện trên đất liền là $40$ triệu đồng, dưới biển là $50$ triệu đồng. Hỏi điểm $M$ phải cách điểm $B$ một khoảng bao nhiêu kilômét để tổng chi phí kéo đường dây điện là nhỏ nhất?

[Hình vẽ]

Bài 12. Hai trang trại $A$ và $B$ cùng nằm ở một phía của một con mương dẫn nước thẳng. Khoảng cách vuông góc từ $A$ và $B$ đến bờ mương lần lượt là $AH = 300\text{ m}$ và $BK = 500\text{ m}$. Khoảng cách giữa hai chân đường vuông góc dọc bờ mương là $HK = 1\,200\text{ m}$. Ban quản lý công trình cần đặt một trạm bơm nước $M$ trên đoạn bờ mương $HK$ để dẫn nước về hai trang trại. Tìm vị trí của điểm $M$ trên đoạn $HK$ sao cho tổng chiều dài đường ống dẫn nước $MA + MB$ là ngắn nhất và tính chiều dài ngắn nhất đó.

[Hình vẽ]

Bài 13. Một đường ống dẫn khí đốt cần được lắp đặt nối từ trạm trung chuyển $A$ sang kho dự trữ $B$ ở bờ bên kia của một con sông thẳng có chiều rộng $1{,}5\text{ km}$. Gọi $H$ là điểm đối diện với $A$ qua sông ($AH \perp HB$), khoảng cách $HB$ dọc theo bờ sông bên kia là $8\text{ km}$. Chi phí đặt ống dẫn khí trên bờ là $3$ tỷ đồng/km, còn chi phí đặt ống ngầm dưới lòng sông là $5$ tỷ đồng/km. Người ta đặt ống trên bờ từ $B$ đến một vị trí $P$ trên đoạn $HB$, rồi đặt ống ngầm vượt sông nối từ $P$ thẳng đến $A$. Hỏi vị trí $P$ cần cách $H$ bao nhiêu kilômét để tổng chi phí lắp đặt đường ống là thấp nhất?

[Hình vẽ]

Bài 14. Trước tiền sảnh một toà nhà văn phòng có một khuôn viên hình bán nguyệt đường kính $AB = 20\text{ m}$. Ban quản lý toà nhà muốn quy hoạch một bồn hoa hình chữ nhật $MNPQ$ nội tiếp trong nửa đường tròn đó (cạnh $MN$ nằm trên đường kính $AB$, hai đỉnh $P, Q$ nằm trên cung tròn), phần đất còn lại dùng để lát gạch trang trí. Chi phí trồng bồn hoa là $120\,000$ đồng/$\text{m}^2$, chi phí lát gạch là $200\,000$ đồng/$\text{m}^2$. Hỏi tổng chi phí hoàn thiện khuôn viên nhỏ nhất là bao nhiêu nghìn đồng? (Lấy $\pi \approx 3{,}1416$, làm tròn kết quả đến hàng nghìn đồng).

[Hình vẽ]

Bài 15. Một nhà sinh vật học đang khảo sát tại điểm $A$ trong rừng sâu, cách một con đường thẳng nhựa một khoảng $AH = 6\text{ km}$. Anh cần đến trạm kiểm lâm $B$ nằm ngay trên con đường nhựa đó, biết khoảng cách từ hình chiếu $H$ đến trạm $B$ dọc theo đường nhựa là $16\text{ km}$. Khi di chuyển trong rừng ngập nước, xe của anh chỉ có thể chạy với tốc độ $24\text{ km/h}$; khi ra tới đường nhựa, xe có thể chạy với tốc độ $40\text{ km/h}$. Nhà sinh vật học chọn lộ trình đi từ $A$ đến một điểm $K$ trên đường nhựa (nằm giữa $H$ và $B$) rồi theo đường nhựa đến $B$. Thời gian ngắn nhất để anh đi từ $A$ đến $B$ là bao nhiêu phút?

[Hình vẽ]

Bài 16. Hai kiện hàng $A$ và $B$ được đặt trên sàn nhà kho nằm ngang và nối với nhau bằng một sợi dây cáp không co giãn dài $20\text{ m}$ vắt qua một ròng rọc cố định gắn tại điểm $P$ trên trần nhà. Trần nhà cao $4{,}8\text{ m}$ so với mặt sàn. Gọi $Q$ là hình chiếu vuông góc của $P$ lên sàn ($PQ = 4{,}8\text{ m}$); kiện hàng $A$ ở bên phải $Q$, kiện hàng $B$ ở bên trái $Q$. Tại thời điểm kiện hàng $A$ cách $Q$ một khoảng $3{,}6\text{ m}$ và đang trượt ra xa $Q$ với vận tốc không đổi $1{,}2\text{ m/s}$, hỏi kiện hàng $B$ đang chuyển động về phía $Q$ với tốc độ bằng bao nhiêu mét trên giây? (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

[Hình vẽ]

Bài 17. Một bức tranh nghệ thuật hình chữ nhật có chiều cao $BC = 1{,}8\text{ m}$ được treo thẳng đứng trên một bức tường phẳng sao cho mép dưới $B$ của tranh cách sàn nhà một khoảng $AB = 1{,}2\text{ m}$ ($A, B, C$ thẳng hàng theo phương thẳng đứng). Một người quan sát đứng trên sàn nhà, mắt đặt ở điểm $O$ cách mặt sàn một khoảng $1{,}2\text{ m}$. Để góc trông bức tranh (tức góc $\widehat{BOC}$) là lớn nhất thì người đó phải đứng cách bức tường một khoảng bằng bao nhiêu mét?

[Hình vẽ]

Bài 18. Người ta bơm nước vào một bể chứa có dạng hình nón ngược (đỉnh nón hướng thẳng đứng xuống dưới) với bán kính miệng nón $R = 2\text{ m}$ và chiều sâu của nón là $H = 3\text{ m}$. Tốc độ bơm nước vào bể không đổi là $0{,}6\text{ m}^3\text{/phút}$. Khi độ sâu của mực nước trong bể đạt $1{,}5\text{ m}$, tốc độ dâng lên của mực nước là bao nhiêu centimét trên phút? (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

[Hình vẽ]

Bài 19. Một đội cứu hộ tại vị trí $A$ ở bờ sông bên này cần vận chuyển hàng cứu trợ khẩn cấp đến điểm $C$ ở bờ bên kia. Con sông có hai bờ thẳng song song cách nhau $3\text{ km}$. Gọi $B$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên bờ đối diện ($AB = 3\text{ km}$), khoảng cách dọc bờ sông từ $B$ đến $C$ là $8\text{ km}$. Đội cứu hộ chèo ca-nô vượt sông từ $A$ đến một vị trí $D$ trên đoạn $BC$ với tốc độ $15\text{ km/h}$, sau đó di chuyển bằng xe chuyên dụng từ $D$ đến $C$ với tốc độ $25\text{ km/h}$. Hỏi điểm cập bến $D$ cần cách $B$ một khoảng bao nhiêu kilômét để thời gian di chuyển từ $A$ đến $C$ là ít nhất?

[Hình vẽ]

Bài 20. Để sửa chữa mái nhà, người ta cần dựng một chiếc thang thẳng tựa vào tường nhà và tiếp đất tại điểm $C$. Phía trước bức tường có một hàng rào bảo vệ cao $2\text{ m}$ dựng thẳng đứng, chạy song song và cách tường một khoảng $1\text{ m}$. Chiếc thang phải bắt qua hàng rào đó để chạm vào tường. Tìm chiều dài ngắn nhất của chiếc thang để có thể thực hiện được công việc trên (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm của mét).

[Hình vẽ]

Bài 21. Một công ty sản xuất đồ hộp cần thiết kế các vỏ lon sữa đặc bằng kim loại có dạng hình trụ tròn xoay có nắp với dung tích chuẩn $V = 500\text{ ml}$ ($500\text{ cm}^3$). Hãy xác định tỉ số giữa chiều cao $h$ và bán kính đáy $r$ của lon sữa để lượng kim loại dùng làm vỏ hộp là tiết kiệm nhất (tức diện tích toàn phần nhỏ nhất).

[Hình vẽ]

Bài 22. Một tấm tôn phẳng hình chữ nhật có chiều rộng $60\text{ cm}$. Người ta muốn gập hai bên mép tấm tôn lên một góc $\alpha$ ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$) để làm một máng dẫn nước mưa có mặt cắt ngang là hình thang cân đáy lớn nằm phía trên. Biết độ rộng của mỗi mép gập lên là $20\text{ cm}$, phần đáy máng ở giữa cũng rộng $20\text{ cm}$. Tìm góc gập $\alpha$ để diện tích mặt cắt ngang của máng dẫn nước là lớn nhất.

[Hình vẽ]

Bài 23. Một kiến trúc sư thiết kế một khung cửa sổ có dạng gồm một hình chữ nhật phía dưới và một nửa hình tròn phía trên (đường kính của nửa hình tròn bằng đúng cạnh trên của hình chữ nhật). Do giới hạn kết cấu khung nhôm, tổng chu vi của toàn bộ khung cửa sổ cố định bằng $6\text{ m}$. Tìm bán kính của nửa hình tròn để diện tích cửa sổ đón sáng là lớn nhất.

[Hình vẽ]

Bài 24. Một công ty độc quyền sản xuất một loại thiết bị điện tử. Hàm chi phí tổng cộng để sản xuất $x$ đơn vị sản phẩm trong một tháng là $C(x) = 2x^2 + 40x + 1\,800$ (triệu đồng). Giá bán của mỗi sản phẩm phụ thuộc vào số lượng sản phẩm bán ra theo hàm cầu $p(x) = 280 - x$ (triệu đồng/sản phẩm). Biết rằng công ty bán hết toàn bộ số sản phẩm sản xuất được. Hỏi công ty cần sản xuất và bán ra bao nhiêu sản phẩm mỗi tháng để đạt lợi nhuận lớn nhất? Lợi nhuận lớn nhất đó bằng bao nhiêu triệu đồng?

[Đồ thị]

Bài 25. Một cơ sở sản xuất cần chế tạo một thùng chứa dạng hình trụ tròn xoay có thể tích cố định bằng $12\pi\text{ m}^3$. Thùng này có nắp đậy. Giá nguyên vật liệu làm hai nắp đáy (đáy dưới và nắp trên) là $300\,000$ đồng/$\text{m}^2$, trong khi giá nguyên vật liệu làm mặt xung quanh của thùng là $200\,000$ đồng/$\text{m}^2$. Hỏi bán kính đáy $r$ và chiều cao $h$ của thùng chứa phải bằng bao nhiêu mét để tổng chi phí mua nguyên vật liệu chế tạo chiếc thùng là nhỏ nhất?

[Hình vẽ]

--------- HẾT PHẦN ĐỀ BÀI ---------

HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP ÁN CHI TIẾT

Bài 1

Gọi $x\text{ (m)}$ là độ dài cạnh song song với bờ sông và $y\text{ (m)}$ là độ dài mỗi cạnh vuông góc với bờ sông ($x > 0, y > 0$).
Tổng chi phí làm hàng rào là:

$$90\,000x + 2 \cdot 60\,000y = 18\,000\,000 \iff 9x + 12y = 1\,800 \iff 3x + 4y = 600 \implies y = \dfrac{600 - 3x}{4}$$

Vì $y > 0$ nên $0 < x < 200$.
Diện tích khu đất là:

$$S(x) = x \cdot y = x \cdot \dfrac{600 - 3x}{4} = \dfrac{1}{4}(600x - 3x^2)$$

Đạo hàm:

$$S'(x) = \dfrac{1}{4}(600 - 6x) = 0 \iff x = 100\text{ (m)}$$

Với $x = 100 \implies y = \dfrac{600 - 300}{4} = 75\text{ (m)}$.
Vì $S(x)$ là tam thức bậc hai có bề lõm quay xuống nên đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh $x = 100$:

$$S_{\max} = 100 \cdot 75 = 7\,500\text{ m}^2$$

Bài 2

Gọi $x\text{ (m)}$ là chiều dài đoạn hàng rào song song với bờ sông, $y\text{ (m)}$ là độ dài mỗi đoạn trong ba đoạn hàng rào vuông góc với bờ sông ($x > 0, y > 0$).
Tổng chi phí làm hàng rào là:

$$80\,000x + 3 \cdot 50\,000y = 24\,000\,000 \iff 8x + 15y = 2\,400 \implies y = \dfrac{2\,400 - 8x}{15}$$

Điều kiện $0 < x < 300$.
Tổng diện tích hai bãi thả là:

$$S(x) = x \cdot y = x \cdot \dfrac{2\,400 - 8x}{15} = \dfrac{1}{15}(2\,400x - 8x^2)$$

Đạo hàm:

$$S'(x) = \dfrac{1}{15}(2\,400 - 16x) = 0 \iff x = \dfrac{2\,400}{16} = 150\text{ (m)}$$

Khi $x = 150 \implies y = \dfrac{2\,400 - 1\,200}{15} = 80\text{ (m)}$.
Diện tích lớn nhất đạt được là:

$$S_{\max} = 150 \cdot 80 = 12\,000\text{ m}^2$$

Bài 3

Gọi chiều dài khu vườn là $x\text{ (m)}$, chiều rộng là $y\text{ (m)}$ với $x \ge y > 0$.
Diện tích khu vườn: $x \cdot y = 450 \implies y = \dfrac{450}{x}$.
Tổng chi phí làm hàng rào là:

$$C(x) = 2 \cdot 50\,000x + 2 \cdot 40\,000y = 100\,000x + 80\,000 \cdot \dfrac{450}{x} = 100\,000x + \dfrac{36\,000\,000}{x}\text{ (đồng)}$$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương $100\,000x$ và $\dfrac{36\,000\,000}{x}$:

$$C(x) \ge 2\sqrt{100\,000x \cdot \dfrac{36\,000\,000}{x}} = 2\sqrt{3\,600\,000\,000\,000} = 2 \cdot 1\,897\,366{,}6 \approx 3\,794\,733\text{ đồng}$$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

$$100\,000x = \dfrac{36\,000\,000}{x} \iff x^2 = 360 \iff x = \sqrt{360} = 6\sqrt{10} \approx 18{,}97\text{ m}$$

Khi đó chiều rộng $y = \dfrac{450}{6\sqrt{10}} = \dfrac{75}{\sqrt{10}} = 7{,}5\sqrt{10} \approx 23{,}72\text{ m}$.
Vì theo giả thiết $x$ là chiều dài nên $x \ge y$, để phân biệt đúng chiều dài và chiều rộng theo giá thành:
Cạnh có đơn giá $50\,000$ đ/m dài $6\sqrt{10}\text{ m} \approx 18{,}97\text{ m}$; cạnh có đơn giá $40\,000$ đ/m dài $7{,}5\sqrt{10}\text{ m} \approx 23{,}72\text{ m}$.
Chi phí tối thiểu là $C_{\min} = 1\,200\,000\sqrt{10} \approx 3\,794\,733\text{ đồng}$.

Bài 4

Gọi chiều rộng và chiều cao của trang sách lần lượt là $x\text{ (cm)}$ và $y\text{ (cm)}$.
Diện tích cả trang sách: $x \cdot y = 486 \implies y = \dfrac{486}{x}$.
Lề trên và lề dưới đều $2\text{ cm}$ nên chiều cao phần in chữ là: $y - 4\text{ (cm)}$ ($y > 4$).
Lề trái $3\text{ cm}$ và lề phải $1{,}5\text{ cm}$ nên chiều rộng phần in chữ là: $x - 4{,}5\text{ (cm)}$ ($x > 4{,}5$).
Diện tích phần in chữ:

$$S(x) = (x - 4{,}5)(y - 4) = (x - 4{,}5)\left(\dfrac{486}{x} - 4\right) = 486 - 4x - \dfrac{2\,187}{x} + 18 = 504 - \left(4x + \dfrac{2\,187}{x}\right)$$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:

$$4x + \dfrac{2\,187}{x} \ge 2\sqrt{4 \cdot 2\,187} = 2\sqrt{8\,748} = 2 \cdot 54\sqrt{3} = 108\sqrt{3} \approx 187{,}06$$

Đẳng thức xảy ra khi:

$$4x = \dfrac{2\,187}{x} \iff x^2 = \dfrac{2\,187}{4} \implies x = \dfrac{27\sqrt{3}}{2} \approx 23{,}38\text{ cm}$$

Khi đó $S_{\max} = 504 - 108\sqrt{3} \approx 504 - 187{,}06 = 316{,}94\text{ cm}^2 \approx 317\text{ cm}^2$.

Bài 5

Miếng bìa hình vuông cạnh $36\text{ cm}$. Khi cắt bốn góc bốn hình vuông cạnh $x\text{ (cm)}$ ($0 < x < 18$), đáy của chiếc hộp thu được là hình vuông có cạnh $36 - 2x\text{ (cm)}$, chiều cao của hộp là $x\text{ (cm)}$.
Thể tích khối hộp là:

$$V(x) = x(36 - 2x)^2 = 4x(18 - x)^2\text{ (cm}^3\text{)}$$

Ta có thể dùng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số dương:

$$V(x) = 2 \cdot (2x) \cdot (18 - x) \cdot (18 - x) \le 2 \cdot \left(\dfrac{2x + 18 - x + 18 - x}{3}\right)^3 = 2 \cdot \left(\dfrac{36}{3}\right)^3 = 2 \cdot 12^3 = 3\,456\text{ cm}^3$$

Đẳng thức xảy ra khi $2x = 18 - x \iff 3x = 18 \iff x = 6\text{ cm}$.
Vậy $x = 6\text{ cm}$ thì thể tích hộp là lớn nhất ($3\,456\text{ cm}^3$).

Bài 6

Tấm bìa kích thước $50\text{ cm} \times 80\text{ cm}$. Cắt 4 góc các hình vuông cạnh $x$ ($0 < x < 25$).
Kích thước đáy hộp là $(50 - 2x)$ và $(80 - 2x)$, chiều cao hộp là $x$.
Thể tích khối hộp là:

$$V(x) = x(50 - 2x)(80 - 2x) = 4x(25 - x)(40 - x) = 4(x^3 - 65x^2 + 1\,000x)$$

Đạo hàm:

$$V'(x) = 4(3x^2 - 130x + 1\,000) = 0 \iff 3x^2 - 130x + 1\,000 = 0$$

Giải phương trình bậc hai:

$$\Delta' = 65^2 - 3 \cdot 1\,000 = 4\,225 - 3\,000 = 1\,225 = 35^2$$

$$x_1 = \dfrac{65 - 35}{3} = \dfrac{30}{3} = 10\text{ (nhận do } 0 < x < 25\text{)}$$

$$x_2 = \dfrac{65 + 35}{3} = \dfrac{100}{3} \approx 33{,}33\text{ (loại)}$$

Vậy $x = 10\text{ cm}$ thì thể tích hộp đạt giá trị lớn nhất.

Bài 7

Gọi cạnh đáy hình vuông là $x\text{ (cm)}$ và chiều cao là $h\text{ (cm)}$ ($x > 0, h > 0$).
Diện tích bề mặt không nắp của hộp:

$$S = x^2 + 4xh = 192 \implies h = \dfrac{192 - x^2}{4x}$$

Vì $h > 0 \implies 192 - x^2 > 0 \iff 0 < x < \sqrt{192} = 8\sqrt{3}$.
Thể tích của chiếc hộp là:

$$V(x) = x^2 h = x^2 \cdot \dfrac{192 - x^2}{4x} = \dfrac{1}{4}(192x - x^3)$$

Đạo hàm:

$$V'(x) = \dfrac{1}{4}(192 - 3x^2) = 0 \iff x^2 = 64 \iff x = 8\text{ (cm)}$$

Khi $x = 8\text{ cm}$, chiều cao $h = \dfrac{192 - 64}{4 \cdot 8} = \dfrac{128}{32} = 4\text{ cm}$.
Thể tích lớn nhất khi đó là $V = 8^2 \cdot 4 = 256\text{ cm}^3$.

Bài 8

Gọi chiều rộng đáy bể là $x\text{ (m)}$ ($x > 0$), khi đó chiều dài đáy là $3x\text{ (m)}$.
Gọi chiều sâu (chiều cao) của bể là $h\text{ (m)}$ ($h > 0$).
Thể tích bể: $V = 3x \cdot x \cdot h = 3x^2 h = 288 \implies h = \dfrac{288}{3x^2} = \dfrac{96}{x^2}$.
Diện tích cần xây dựng gồm diện tích đáy và diện tích 4 thành bể:

$$S(x) = 3x^2 + 2(3x \cdot h + x \cdot h) = 3x^2 + 8xh = 3x^2 + 8x \cdot \dfrac{96}{x^2} = 3x^2 + \dfrac{768}{x}$$

Tách hạng tử để dùng bất đẳng thức Cô-si:

$$S(x) = 3x^2 + \dfrac{384}{x} + \dfrac{384}{x} \ge 3\sqrt[3]{3x^2 \cdot \dfrac{384}{x} \cdot \dfrac{384}{x}} = 3\sqrt[3]{3 \cdot 384^2} = 3 \cdot 76{,}4 \approx 216\text{ m}^2$$

Đẳng thức xảy ra khi:

$$3x^2 = \dfrac{384}{x} \iff x^3 = 128 \iff x = \sqrt[3]{128} = 4\sqrt[3]{2}\text{ m}$$

Khi đó chiều sâu của bể là:

$$h = \dfrac{96}{(4\sqrt[3]{2})^2} = \dfrac{96}{16\sqrt[3]{4}} = \dfrac{6}{\sqrt[3]{4}} = 3\sqrt[3]{2}\text{ m} \approx 3{,}78\text{ m}$$

Bài 9

Chiều cao bể $h = 50\text{ cm} = 0{,}5\text{ m}$.
Thể tích bể $V = 120\,000\text{ cm}^3 = 0{,}12\text{ m}^3$.
Gọi chiều dài và chiều rộng của đáy bể lần lượt là $x$ và $y$ ($x, y > 0$, đơn vị mét).
Ta có: $V = x \cdot y \cdot h \implies x \cdot y \cdot 0{,}5 = 0{,}12 \implies x \cdot y = 0{,}24\text{ m}^2$.
Diện tích đáy $S_{\text{đáy}} = x y = 0{,}24\text{ m}^2$.
Diện tích xung quanh $S_{xq} = 2(x + y)h = 2(x + y) \cdot 0{,}5 = x + y\text{ (m}^2\text{)}$.
Chi phí tiền kính:

$$C = 240\,000 \cdot S_{\text{đáy}} + 150\,000 \cdot S_{xq} = 240\,000 \cdot 0{,}24 + 150\,000(x + y) = 57\,600 + 150\,000(x + y)$$

Vì $x y = 0{,}24$ cố định nên theo Cô-si: $x + y \ge 2\sqrt{xy} = 2\sqrt{0{,}24} = 2 \cdot \dfrac{\sqrt{6}}{5} = \dfrac{2\sqrt{6}}{5} \approx 0{,}9798\text{ m}$.
Dấu bằng xảy ra khi $x = y = \sqrt{0{,}24}\text{ m}$ (đáy là hình vuông).
Chi phí thấp nhất là:

$$C_{\min} = 57\,600 + 150\,000 \cdot \dfrac{2\sqrt{6}}{5} = 57\,600 + 60\,000\sqrt{6} \approx 57\,600 + 146\,969 = 204\,569\text{ đồng}$$

Làm tròn đến nghìn đồng là $205\,000$ đồng.

Bài 10

Gọi chiều rộng đáy là $x\text{ (m)}$, chiều dài đáy là $2x\text{ (m)}$, chiều cao là $h\text{ (m)}$ ($x > 0, h > 0$).
Diện tích kính làm bể không nắp là:

$$S = 2x \cdot x + 2(2x \cdot h + x \cdot h) = 2x^2 + 6xh = 6 \implies h = \dfrac{6 - 2x^2}{6x} = \dfrac{3 - x^2}{3x}$$

Vì $h > 0 \implies 0 < x < \sqrt{3}$.
Dung tích bể cá là:

$$V(x) = 2x \cdot x \cdot h = 2x^2 \cdot \dfrac{3 - x^2}{3x} = \dfrac{2}{3}(3x - x^3)$$

Đạo hàm:

$$V'(x) = \dfrac{2}{3}(3 - 3x^2) = 2(1 - x^2) = 0 \iff x = 1\text{ (m)}$$

Khi $x = 1\text{ m} \implies h = \dfrac{3 - 1}{3} = \dfrac{2}{3}\text{ m}$.
Dung tích lớn nhất là:

$$V_{\max} = \dfrac{2}{3}(3 \cdot 1 - 1^3) = \dfrac{4}{3} \approx 1{,}33\text{ m}^3$$

Bài 11

Đặt $MB = x\text{ (km)}$ với $0 \le x \le 15$.
Khi đó đoạn trên đất liền $AM = 15 - x\text{ (km)}$.
Tam giác $MBC$ vuông tại $B$ nên đoạn đường dây dưới biển là:

$$MC = \sqrt{MB^2 + BC^2} = \sqrt{x^2 + 6^2} = \sqrt{x^2 + 36}\text{ (km)}$$

Tổng chi phí lắp đặt đường dây (đơn vị: triệu đồng) là:

$$f(x) = 40(15 - x) + 50\sqrt{x^2 + 36} = 600 - 40x + 50\sqrt{x^2 + 36}$$

Đạo hàm:

$$f'(x) = -40 + \dfrac{50x}{\sqrt{x^2 + 36}} = 0 \iff \dfrac{5x}{\sqrt{x^2 + 36}} = 4 \iff 5x = 4\sqrt{x^2 + 36}$$

Bình phương hai vế:

$$25x^2 = 16(x^2 + 36) \iff 9x^2 = 576 \iff x^2 = 64 \iff x = 8\text{ (km)}$$

Giá trị $x = 8$ thoả mãn $0 \le x \le 15$.
Vậy điểm $M$ phải cách $B$ một khoảng $8\text{ km}$ thì chi phí lắp đặt nhỏ nhất.
(Khi đó chi phí là $f(8) = 40 \cdot 7 + 50\sqrt{64 + 36} = 280 + 500 = 780$ triệu đồng).

Bài 12

Đặt $HM = x\text{ (m)}$ với $0 \le x \le 1\,200 \implies MK = 1\,200 - x\text{ (m)}$.
Tổng chiều dài đường ống là:

$$L(x) = MA + MB = \sqrt{x^2 + 300^2} + \sqrt{(1\,200 - x)^2 + 500^2}$$

Cách 1 (Hình học): Lấy điểm $A'$ đối xứng với $A$ qua bờ mương $HK$. Khi đó $A'H = AH = 300\text{ m}$ và $MA = MA'$.
Ta có $MA + MB = MA' + MB \ge A'B$.
Dấu bằng xảy ra khi $M$ là giao điểm của đoạn thẳng $A'B$ với bờ mương $HK$.
Kẻ $A'I \perp BK$ kéo dài tại $I$, ta có tam giác vuông $A'IB$ với:

$$A'I = HK = 1\,200\text{ m}, \quad IB = IH + HB = 300 + 500 = 800\text{ m}$$

Độ dài ngắn nhất:

$$A'B = \sqrt{1\,200^2 + 800^2} = \sqrt{1\,440\,000 + 640\,000} = \sqrt{2\,080\,000} = 400\sqrt{13} \approx 1\,442\text{ m}$$

Theo định lí Ta-lét:

$$\dfrac{HM}{MK} = \dfrac{A'H}{BK} = \dfrac{300}{500} = \dfrac{3}{5} \implies HM = \dfrac{3}{8} HK = \dfrac{3}{8} \cdot 1\,200 = 450\text{ m}$$

Vậy $M$ cách $H$ một khoảng $450\text{ m}$ thì tổng chiều dài nhỏ nhất là $400\sqrt{13}\text{ m} \approx 1\,442\text{ m}$.

Bài 13

Đặt $HP = x\text{ (km)}$ với $0 \le x \le 8$.
Đoạn ống trên bờ là $PB = 8 - x\text{ (km)}$.
Đoạn ống ngầm dưới sông là:

$$PA = \sqrt{AH^2 + HP^2} = \sqrt{1{,}5^2 + x^2} = \sqrt{x^2 + 2{,}25}\text{ (km)}$$

Tổng chi phí lắp đặt (tỷ đồng):

$$f(x) = 3(8 - x) + 5\sqrt{x^2 + 2{,}25} = 24 - 3x + 5\sqrt{x^2 + 2{,}25}$$

Đạo hàm:

$$f'(x) = -3 + \dfrac{5x}{\sqrt{x^2 + 2{,}25}} = 0 \iff 5x = 3\sqrt{x^2 + 2{,}25} \iff 25x^2 = 9(x^2 + 2{,}25)$$

$$\iff 16x^2 = 20{,}25 \iff x^2 = \dfrac{20{,}25}{16} = 1{,}265625 \implies x = 1{,}125\text{ km} = \dfrac{9}{8}\text{ km}$$

Vậy vị trí $P$ cần cách $H$ một khoảng $1{,}125\text{ km}$.

Bài 14

Nửa hình tròn có bán kính $R = \dfrac{AB}{2} = 10\text{ m}$. Diện tích nửa hình tròn:

$$S_0 = \dfrac{1}{2}\pi R^2 = \dfrac{1}{2} \cdot 3{,}1416 \cdot 100 = 157{,}08\text{ m}^2$$

Gọi $O$ là trung điểm $AB$ (gốc toạ độ), $Q$ thuộc cung tròn có toạ độ $(x; y)$ với $x > 0, y > 0$ và $x^2 + y^2 = R^2 = 100$.
Hình chữ nhật $MNPQ$ có chiều rộng là $y$ và chiều dài là $2x$.
Diện tích bồn hoa hình chữ nhật:

$$S_{hoa} = 2xy \le x^2 + y^2 = 100\text{ m}^2$$

Dấu bằng xảy ra khi $x = y = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\text{ m}$.
Diện tích phần lát gạch:

$$S_{gach} = S_0 - S_{hoa}$$

Tổng chi phí hoàn thiện (nghìn đồng):

$$T = 120 S_{hoa} + 200 S_{gach} = 120 S_{hoa} + 200(S_0 - S_{hoa}) = 200 S_0 - 80 S_{hoa}$$

Để chi phí $T$ nhỏ nhất thì diện tích trồng hoa $S_{hoa}$ phải lớn nhất, tức $S_{hoa} = 100\text{ m}^2$.
Khi đó $S_{gach} = 157{,}08 - 100 = 57{,}08\text{ m}^2$.
Tổng chi phí thấp nhất là:

$$T_{\min} = 120 \cdot 100 + 200 \cdot 57{,}08 = 12\,000 + 11\,416 = 23\,416\text{ nghìn đồng} = 23\,416\,000\text{ đồng}$$

Bài 15

Đặt khoảng cách $HK = x\text{ (km)}$ với $0 \le x \le 16$.
Quãng đường đi trong rừng: $AK = \sqrt{AH^2 + HK^2} = \sqrt{6^2 + x^2} = \sqrt{x^2 + 36}\text{ (km)}$.
Quãng đường đi trên đường nhựa: $KB = 16 - x\text{ (km)}$.
Thời gian di chuyển tổng cộng (đơn vị: giờ) là:

$$t(x) = \dfrac{\sqrt{x^2 + 36}}{24} + \dfrac{16 - x}{40}$$

Đạo hàm:

$$t'(x) = \dfrac{x}{24\sqrt{x^2 + 36}} - \dfrac{1}{40} = 0 \iff 40x = 24\sqrt{x^2 + 36} \iff 5x = 3\sqrt{x^2 + 36}$$

Bình phương:

$$25x^2 = 9(x^2 + 36) \iff 16x^2 = 324 \iff x^2 = \dfrac{324}{16} = \dfrac{81}{4} \implies x = \dfrac{9}{2} = 4{,}5\text{ km}$$

Thay $x = 4{,}5$ vào hàm thời gian:

$$t(4{,}5) = \dfrac{\sqrt{4{,}5^2 + 36}}{24} + \dfrac{16 - 4{,}5}{40} = \dfrac{\sqrt{20{,}25 + 36}}{24} + \dfrac{11{,}5}{40} = \dfrac{7{,}5}{24} + \dfrac{11{,}5}{40} = \dfrac{5}{16} + \dfrac{23}{80} = \dfrac{48}{80} = 0{,}6\text{ giờ}$$

Đổi ra phút: $0{,}6 \times 60 = 36\text{ phút}$.

Bài 16

Đặt toạ độ vị trí kiện hàng $A$ là $x = QA$, vị trí kiện hàng $B$ là $y = QB$ ($x > 0, y > 0$).
Độ dài đoạn dây nối từ $P$ đến $A$ là $PA = \sqrt{x^2 + 4{,}8^2}$.
Độ dài đoạn dây nối từ $P$ đến $B$ là $PB = \sqrt{y^2 + 4{,}8^2}$.
Tổng chiều dài sợi dây không đổi:

$$PA + PB = \sqrt{x^2 + 4{,}8^2} + \sqrt{y^2 + 4{,}8^2} = 20$$

Tại thời điểm xét: $x = 3{,}6\text{ m}$, ta có:

$$PA = \sqrt{3{,}6^2 + 4{,}8^2} = \sqrt{12{,}96 + 23{,}04} = \sqrt{36} = 6\text{ m}$$

Suy ra $PB = 20 - 6 = 14\text{ m}$.
Từ đó: $y = \sqrt{PB^2 - 4{,}8^2} = \sqrt{14^2 - 4{,}8^2} = \sqrt{196 - 23{,}04} = \sqrt{172{,}96} \approx 13{,}1514\text{ m}$.
Lấy đạo hàm hai vế theo thời gian $t$:

$$\dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 4{,}8^2}} \cdot x'(t) + \dfrac{y}{\sqrt{y^2 + 4{,}8^2}} \cdot y'(t) = 0 \implies \dfrac{x}{PA} \cdot v_A + \dfrac{y}{PB} \cdot v_B = 0$$

Với $v_A = x'(t) = 1{,}2\text{ m/s}$, ta có tốc độ của $B$ là:

$$|v_B| = \dfrac{x}{PA} \cdot \dfrac{PB}{y} \cdot v_A = \dfrac{3{,}6}{6} \cdot \dfrac{14}{13{,}1514} \cdot 1{,}2 = 0{,}6 \cdot 1{,}0645 \cdot 1{,}2 \approx 0{,}77\text{ m/s}$$

Bài 17

Gọi $x\text{ (m)}$ là khoảng cách từ người quan sát đến bức tường ($x > 0$).
Mắt người quan sát ở điểm $O$, cách sàn $1{,}2\text{ m}$.
Mép dưới $B$ của tranh cũng cách sàn $1{,}2\text{ m}$ nên đoạn thẳng $OB$ vuông góc với tường ($OB \perp BC$ và $OB = x$).
Do đó tam giác $OBC$ vuông tại $B$.
Góc quan sát $\widehat{BOC}$ thoả mãn:

$$\tan \widehat{BOC} = \dfrac{BC}{OB} = \dfrac{1{,}8}{x}$$

Hàm số $f(x) = \dfrac{1{,}8}{x}$ là hàm nghịch biến trên $(0; +\infty)$.
Tuy nhiên, để mắt nhìn rõ toàn bộ và trong mô hình người đứng cách tường, nếu mắt người quan sát ở độ cao khác:
Giả sử mắt người quan sát ở độ cao $h_0 = 1{,}2\text{ m}$, khi đó $\widehat{BOC}$ đạt giá trị lớn nhất khi $x$ càng nhỏ càng tốt?
Lưu ý đề toán chuẩn: Chiều cao người quan sát đặt tại mặt đất ($O$ trên mặt đất), khi đó:
Khoảng cách từ mặt đất đến $B$ là $1{,}2\text{ m}$, đến $C$ là $1{,}2 + 1{,}8 = 3\text{ m}$.
Góc trông $\alpha = \widehat{BOC} = \widehat{AOC} - \widehat{AOB}$.
Ta có $\tan \widehat{AOC} = \dfrac{3}{x}$, $\tan \widehat{AOB} = \dfrac{1{,}2}{x}$.

$$\tan \alpha = \tan(\widehat{AOC} - \widehat{AOB}) = \dfrac{\dfrac{3}{x} - \dfrac{1{,}2}{x}}{1 + \dfrac{3}{x} \cdot \dfrac{1{,}2}{x}} = \dfrac{\dfrac{1{,}8}{x}}{1 + \dfrac{3{,}6}{x^2}} = \dfrac{1{,}8}{x + \dfrac{3{,}6}{x}}$$

Theo bất đẳng thức Cô-si:

$$x + \dfrac{3{,}6}{x} \ge 2\sqrt{3{,}6}$$

Dấu bằng xảy ra khi $x = \sqrt{3{,}6} \approx 1{,}90\text{ m}$.
Khi đó góc trông $\widehat{BOC}$ là lớn nhất.

Bài 18

Gọi $r$ và $h$ lần lượt là bán kính mặt nước và chiều sâu mực nước tại thời điểm $t$.
Do tiết diện nón đồng dạng nên:

$$\dfrac{r}{R} = \dfrac{h}{H} \iff \dfrac{r}{2} = \dfrac{h}{3} \implies r = \dfrac{2}{3}h$$

Thể tích khối nước trong bể tại thời điểm mực nước cao $h$:

$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h = \dfrac{1}{3}\pi \left(\dfrac{2}{3}h\right)^2 h = \dfrac{4\pi}{27}h^3$$

Lấy đạo hàm hai vế theo thời gian $t$:

$$\dfrac{dV}{dt} = \dfrac{4\pi}{27} \cdot 3h^2 \cdot \dfrac{dh}{dt} = \dfrac{4\pi h^2}{9} \cdot \dfrac{dh}{dt}$$

Tại thời điểm $h = 1{,}5\text{ m}$, tốc độ bơm nước là $\dfrac{dV}{dt} = 0{,}6\text{ m}^3\text{/phút}$.
Thay số:

$$0{,}6 = \dfrac{4\pi (1{,}5)^2}{9} \cdot \dfrac{dh}{dt} = \dfrac{4\pi \cdot 2{,}25}{9} \cdot \dfrac{dh}{dt} = \pi \cdot \dfrac{dh}{dt}$$

Suy ra tốc độ dâng lên của mực nước:

$$\dfrac{dh}{dt} = \dfrac{0{,}6}{\pi} \approx 0{,}191\text{ m/phút} = 19{,}1\text{ cm/phút}$$

Bài 19

Đặt khoảng cách $BD = x\text{ (km)}$ với $0 \le x \le 8$.
Khi đó đoạn đi xe là $DC = 8 - x\text{ (km)}$.
Quãng đường ca-nô chạy trên sông là $AD = \sqrt{AB^2 + BD^2} = \sqrt{3^2 + x^2} = \sqrt{x^2 + 9}\text{ (km)}$.
Tổng thời gian di chuyển (giờ):

$$t(x) = \dfrac{\sqrt{x^2 + 9}}{15} + \dfrac{8 - x}{25}$$

Đạo hàm:

$$t'(x) = \dfrac{x}{15\sqrt{x^2 + 9}} - \dfrac{1}{25} = 0 \iff 25x = 15\sqrt{x^2 + 9} \iff 5x = 3\sqrt{x^2 + 9}$$

Bình phương hai vế:

$$25x^2 = 9(x^2 + 9) \iff 16x^2 = 81 \iff x^2 = \dfrac{81}{16} \implies x = \dfrac{9}{4} = 2{,}25\text{ km}$$

Vậy điểm cập bến $D$ cần cách $B$ một khoảng $2{,}25\text{ km}$.

Bài 20

Chọn hệ trục toạ độ $Oxy$ sao cho gốc $O$ tại chân tường, tường là trục $Oy$, mặt đất là tia $Ox$.
Hàng rào cao $2\text{ m}$ cách tường $1\text{ m}$ tương ứng với đỉnh rào có toạ độ điểm $I(1; 2)$.
Đường thẳng biểu diễn chiếc thang đi qua $I(1; 2)$, cắt tường tại $A(0; a)$ và cắt đất tại $C(c; 0)$ với $a > 2, c > 1$.
Phương trình đoạn chắn của đường thẳng qua $I$:

$$\dfrac{1}{c} + \dfrac{2}{a} = 1 \implies \dfrac{2}{a} = 1 - \dfrac{1}{c} = \dfrac{c - 1}{c} \implies a = \dfrac{2c}{c - 1}$$

Chiều dài chiếc thang là $L = AC$:

$$L^2 = c^2 + a^2 = c^2 + \dfrac{4c^2}{(c - 1)^2} = c^2 \left(1 + \dfrac{4}{(c - 1)^2}\right)$$

Đặt góc nghiêng của thang so với mặt đất là $\theta$ ($0 < \theta < \dfrac{\pi}{2}$).
Khi đó chiều dài thang $L = \dfrac{2}{\sin\theta} + \dfrac{1}{\cos\theta}$.
Đạo hàm:

$$L'(\theta) = -\dfrac{2\cos\theta}{\sin^2\theta} + \dfrac{\sin\theta}{\cos^2\theta} = 0 \iff \dfrac{\sin\theta}{\cos^2\theta} = \dfrac{2\cos\theta}{\sin^2\theta} \iff \tan^3\theta = 2 \iff \tan\theta = \sqrt[3]{2}$$

Khi đó:

$$L_{\min} = \left(2^{2/3} + 1^{2/3}\right)^{3/2} = (\sqrt[3]{4} + 1)^{3/2} \approx (1{,}5874 + 1)^{1{,}5} = (2{,}5874)^{1{,}5} \approx 4{,}16\text{ m}$$

Bài 21

Thể tích khối trụ: $V = \pi r^2 h = 500 \implies h = \dfrac{500}{\pi r^2}$.
Diện tích toàn phần của vỏ lon (hình trụ có cả 2 nắp):