Chuyên đề Toán 12: 20 câu hỏi trả lời ngắn Cực trị thể tích khối đa diện

PHẦN CÂU HỎI TRẢ LỜI NGẮN

Thí sinh làm bài từ Câu 1 đến Câu 20. Đối với mỗi câu hỏi, thí sinh tính toán và ghi kết quả vào phiếu trả lời.

Câu 1. Người ta muốn cắt ở bốn góc của một tấm tôn hình vuông cạnh $60\text{ cm}$ bốn hình vuông bằng nhau có cạnh bằng $x\text{ (cm)}$ rồi gấp lại thành một chiếc hộp không nắp dạng hình hộp chữ nhật. Thể tích lớn nhất của khối hộp đó bằng bao nhiêu đêximét khối $(\text{dm}^3)$?

Câu 2. Từ một tấm bìa hình chữ nhật có kích thước $50\text{ cm} \times 80\text{ cm}$, người ta cắt bỏ ở bốn góc bốn hình vuông bằng nhau có cạnh bằng $x\text{ (cm)}$ rồi gấp mép lại để tạo thành một chiếc hộp không có nắp. Để thể tích của khối hộp tạo thành đạt giá trị lớn nhất thì $x$ bằng bao nhiêu xentimét?

Câu 3. Cho một khối hộp chữ nhật có diện tích toàn phần bằng $54\text{ cm}^2$. Thể tích lớn nhất của khối hộp chữ nhật đó bằng bao nhiêu xentimét khối $(\text{cm}^3)$?

Câu 4. Trong tất cả các khối hộp chữ nhật có độ dài đường chéo bằng $2\sqrt{3}\text{ cm}$, khối hộp có thể tích lớn nhất bằng bao nhiêu xentimét khối $(\text{cm}^3)$?

Câu 5. Một người muốn xây một bể chứa nước dạng hình hộp chữ nhật không có nắp đậy, có thể tích bằng $32\text{ m}^3$. Đáy bể là hình vuông có cạnh bằng $x$ mét. Diện tích toàn phần nhỏ nhất của bể (bao gồm diện tích đáy và bốn mặt bên) bằng bao nhiêu mét vuông $(\text{m}^2)$?

Câu 6. Một cơ sở sản xuất cần làm một bể chứa nước bằng tôn có dạng hình hộp chữ nhật có nắp đậy kín với thể tích bằng $216\text{ m}^3$. Biết đáy bể là một hình vuông. Diện tích tôn tối thiểu cần dùng để làm chiếc bể chứa đó (bỏ qua mép hàn) bằng bao nhiêu mét vuông $(\text{m}^2)$?

Câu 7. Cho khối chóp $S.ABC$ có các cạnh bên $SA, SB, SC$ đôi một vuông góc với nhau và thỏa mãn điều kiện $SA + SB + SC = 9$. Thể tích lớn nhất của khối chóp $S.ABC$ bằng bao nhiêu?

Câu 8. Cho tứ diện $ABCD$ có thể tích bằng 72. Các điểm $M, N, P$ lần lượt di động trên các đoạn thẳng $AB, AC, AD$ (không trùng với các đỉnh) sao cho $\dfrac{AB}{AM} + \dfrac{AC}{AN} + \dfrac{AD}{AP} = 6$. Thể tích nhỏ nhất của khối tứ diện $AMNP$ bằng bao nhiêu?

Câu 9. Cho khối chóp $S.ABC$ có thể tích bằng 54. Trên các cạnh $SA, SB, SC$ lần lượt lấy các điểm $M, N, P$ sao cho $\dfrac{SM}{SA} + \dfrac{SN}{SB} + \dfrac{SP}{SC} = 1$. Thể tích lớn nhất của khối chóp $S.MNP$ bằng bao nhiêu?

Câu 10. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng 4, cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA = 6$. Điểm $M$ thuộc đoạn thẳng $SA$ sao cho $AM = x$ với $0 < x < 6$. Một khối hộp chữ nhật có một mặt đáy nằm trên mặt phẳng $(ABCD)$, bốn đỉnh của mặt đối diện lần lượt nằm trên các đoạn thẳng $SA, SB, SC, SD$ và có một đỉnh là $M$. Khi khối hộp chữ nhật có thể tích lớn nhất, giá trị của $x$ bằng bao nhiêu?

Câu 11. Cho khối hộp chữ nhật có ba kích thước $x, y, z$ (đơn vị: cm) thỏa mãn $x + y + z = 18$ và $x \ge 2, y \ge 2, z \ge 2$. Thể tích nhỏ nhất của khối hộp chữ nhật đó bằng bao nhiêu xentimét khối $(\text{cm}^3)$?

Câu 12. Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có độ dài cạnh bên bằng $3\sqrt{3}$. Độ dài cạnh đáy của hình chóp bằng bao nhiêu để thể tích khối chóp $S.ABCD$ đạt giá trị lớn nhất?

Câu 13. Cho khối chóp $S.ABC$ có cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ có $AB = BC = 6$ và $SA = 12$. Điểm $M$ di động trên đoạn thẳng $SA$ sao cho $SM = x$ ($0 < x < 12$). Mặt phẳng qua $M$ song song với đáy $(ABC)$ cắt các cạnh $SB, SC$ lần lượt tại $B', C'$. Xét khối lăng trụ tam giác có một mặt đáy là $MB'C'$ và đáy còn lại nằm trong mặt phẳng $(ABC)$. Thể tích lớn nhất của khối lăng trụ đó bằng bao nhiêu?

Câu 14. Cho hình chóp tam giác $S.ABC$ có $SA = x$, tất cả năm cạnh còn lại đều có độ dài bằng 4. Khi thể tích khối chóp $S.ABC$ đạt giá trị lớn nhất, thể tích đó bằng bao nhiêu?

Câu 15. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng 6, cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA = 9$. Một điểm $M$ di động trên cạnh $SC$ sao cho $\dfrac{SM}{SC} = k$ ($0 < k < 1$). Mặt phẳng đi qua $M$ và song song với mặt phẳng đáy cắt các cạnh $SA, SB, SD$ lần lượt tại $A', B', D'$. Thể tích lớn nhất của khối chóp $C.A'B'MD'$ bằng bao nhiêu?

Câu 16. Một người muốn làm một chiếc thùng hình hộp chữ nhật không nắp có đáy là hình vuông từ một tấm tôn có diện tích bằng $108\text{ dm}^2$ (bỏ qua phần mép nối). Thể tích lớn nhất của chiếc thùng đó bằng bao nhiêu đêximét khối $(\text{dm}^3)$?

Câu 17. Cho tứ diện $OABC$ có $OA, OB, OC$ đôi một vuông góc tại $O$. Điểm $M$ nằm trong tam giác $ABC$ sao cho khoảng cách từ $M$ đến ba mặt phẳng $(OBC), (OCA), (OAB)$ lần lượt bằng 1, 2, 3. Thể tích nhỏ nhất của khối tứ diện $OABC$ bằng bao nhiêu?

Câu 18. Cho khối chóp $S.ABC$ có thể tích bằng 16. Trên hai cạnh $SA, SB$ lần lượt lấy hai điểm di động $M, N$ sao cho $\dfrac{SM}{SA} + \dfrac{SN}{SB} = 1$. Thể tích lớn nhất của khối chóp $S.MNC$ bằng bao nhiêu?

Câu 19. Người ta cần chế tạo một bồn chứa nước dạng hình lăng trụ đứng có chiều cao bằng $10\text{ dm}$. Đáy của lăng trụ là một hình thoi có tổng độ dài hai đường chéo bằng $12\text{ dm}$. Thể tích lớn nhất của bồn chứa đó bằng bao nhiêu đêximét khối $(\text{dm}^3)$?

Câu 20. Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A'B'C'$ có diện tích toàn phần bằng $54\sqrt{3}$. Thể tích lớn nhất của khối lăng trụ đó bằng bao nhiêu?

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................ Số báo danh: ........................

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI VẮN TẮT

BẢNG ĐÁP SỐ

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT TỪNG CÂU

Câu 1.
Hộp có đáy là hình vuông cạnh $60 - 2x\text{ (cm)}$ và chiều cao $x\text{ (cm)}$ với $0 < x < 30$.
Thể tích: $V(x) = x(60 - 2x)^2 = 4x(30 - x)^2 = 4 \cdot [2x \cdot (30 - x) \cdot (30 - x)] \cdot \dfrac{1}{2}$.
Áp dụng AM-GM cho 3 số dương: $2x(30 - x)(30 - x) \le \left(\dfrac{2x + 30 - x + 30 - x}{3}\right)^3 = 20^3 = 8000$.
Dấu bằng xảy ra khi $2x = 30 - x \iff x = 10\text{ cm}$.
Khi đó $V_{\max} = 4 \cdot 8000 \cdot \dfrac{1}{2} = 16000\text{ cm}^3 = 16\text{ dm}^3$.

Câu 2.
Chiều rộng đáy là $50 - 2x$, chiều dài đáy là $80 - 2x$, chiều cao là $x$ ($0 < x < 25$).
$V(x) = x(50 - 2x)(80 - 2x) = 4(x^3 - 65x^2 + 1000x)$.
Đạo hàm: $V'(x) = 4(3x^2 - 130x + 1000) = 0 \iff x = 10$ hoặc $x = \dfrac{100}{3}$ (loại).
Vậy thể tích lớn nhất khi $x = 10\text{ cm}$.

Câu 3.
Gọi ba kích thước của khối hộp chữ nhật là $a, b, c > 0$.
Diện tích toàn phần: $S_{tp} = 2(ab + bc + ca) = 54 \iff ab + bc + ca = 27$.
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:
$27 = ab + bc + ca \ge 3\sqrt[3]{(ab)(bc)(ca)} = 3\sqrt[3]{(abc)^2} \iff \sqrt[3]{V^2} \le 9 \iff V \le 27$.
Dấu bằng xảy ra khi $a = b = c = 3$ (hình lập phương). Vậy $V_{\max} = 27\text{ cm}^3$.

Câu 4.
Độ dài đường chéo $d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = 2\sqrt{3} \iff a^2 + b^2 + c^2 = 12$.
Áp dụng AM-GM: $12 = a^2 + b^2 + c^2 \ge 3\sqrt[3]{a^2 b^2 c^2} \implies \sqrt[3]{V^2} \le 4 \implies V \le 8$.
Dấu bằng xảy ra khi $a = b = c = 2$. Vậy $V_{\max} = 8\text{ cm}^3$.

Câu 5.
Thể tích bể $V = x^2 h = 32 \implies h = \dfrac{32}{x^2}$.
Diện tích toàn phần không nắp: $S(x) = x^2 + 4xh = x^2 + \dfrac{128}{x} = x^2 + \dfrac{64}{x} + \dfrac{64}{x}$.
Áp dụng AM-GM: $S(x) \ge 3\sqrt[3]{x^2 \cdot \dfrac{64}{x} \cdot \dfrac{64}{x}} = 3\sqrt[3]{4096} = 3 \cdot 16 = 48\text{ m}^2$.
Dấu bằng xảy ra khi $x^2 = \dfrac{64}{x} \iff x^3 = 64 \iff x = 4\text{ m}$.

Câu 6.
Gọi cạnh đáy hình vuông là $x$, chiều cao là $h$. Thể tích $V = x^2 h = 216 \implies h = \dfrac{216}{x^2}$.
Diện tích toàn phần có nắp: $S(x) = 2x^2 + 4xh = 2x^2 + \dfrac{864}{x} = 2x^2 + \dfrac{432}{x} + \dfrac{432}{x}$.
Áp dụng AM-GM: $S(x) \ge 3\sqrt[3]{2x^2 \cdot \dfrac{432}{x} \cdot \dfrac{432}{x}} = 3\sqrt[3]{373248} = 3 \cdot 72 = 216\text{ m}^2$.
Dấu bằng đạt được khi $2x^2 = \dfrac{432}{x} \iff x^3 = 216 \iff x = 6\text{ m}$.

Câu 7.
Đặt $SA = a, SB = b, SC = c$ ($a, b, c > 0$).
Thể tích khối chóp là $V = \dfrac{1}{6}abc$.
Theo bất đẳng thức AM-GM: $abc \le \left(\dfrac{a + b + c}{3}\right)^3 = \left(\dfrac{9}{3}\right)^3 = 27$.
Do đó $V \le \dfrac{1}{6} \cdot 27 = 4,5$. Dấu bằng đạt được khi $a = b = c = 3$.

Câu 8.
Đặt $x = \dfrac{AM}{AB}, y = \dfrac{AN}{AC}, z = \dfrac{AP}{AD}$ ($0 < x, y, z \le 1$).
Ta có $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} = 6$.
Tỉ số thể tích: $\dfrac{V_{AMNP}}{V_{ABCD}} = xyz \implies V_{AMNP} = 72 xyz$.
Áp dụng AM-GM: $6 = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} \ge 3\sqrt[3]{\dfrac{1}{xyz}} \iff \dfrac{1}{xyz} \le 8 \iff xyz \ge \dfrac{1}{8}$.
Do đó $V_{AMNP} \ge 72 \cdot \dfrac{1}{8} = 9$. Dấu bằng xảy ra khi $x = y = z = \dfrac{1}{2}$.

Câu 9.
Đặt $x = \dfrac{SM}{SA}, y = \dfrac{SN}{SB}, z = \dfrac{SP}{SC}$ với $x, y, z > 0$ và $x + y + z = 1$.
Ta có: $V_{S.MNP} = xyz \cdot V_{S.ABC} = 54 xyz$.
Áp dụng AM-GM: $xyz \le \left(\dfrac{x + y + z}{3}\right)^3 = \left(\dfrac{1}{3}\right)^3 = \dfrac{1}{27}$.
Do đó $V_{S.MNP} \le 54 \cdot \dfrac{1}{27} = 2$. Dấu bằng xảy ra khi $x = y = z = \dfrac{1}{3}$.

Câu 10.
Mặt trên của khối hộp là hình vuông có cạnh tỉ lệ với cạnh đáy: $y = \dfrac{6 - x}{6} \cdot 4 = \dfrac{2(6 - x)}{3}$.
Chiều cao khối hộp là $x$ ($0 < x < 6$).
Thể tích khối hộp: $V(x) = x \cdot y^2 = x \cdot \dfrac{4(6 - x)^2}{9} = \dfrac{4}{9} x(6 - x)^2$.
Áp dụng AM-GM: $x(6 - x)^2 = 4 \cdot x \cdot \dfrac{6 - x}{2} \cdot \dfrac{6 - x}{2} \le 4 \cdot \left(\dfrac{x + 3 - \frac{x}{2} + 3 - \frac{x}{2}}{3}\right)^3 = 32$.
Dấu bằng xảy ra khi $x = \dfrac{6 - x}{2} \iff 3x = 6 \iff x = 2$.

Câu 11.
Thể tích $V = xyz$. Do tính chất lồi của hàm số trên miền đa diện, $xyz$ đạt giá trị nhỏ nhất tại các điểm biên của miền $x, y, z \ge 2, x + y + z = 18$.
Giá trị nhỏ nhất đạt được khi có hai biến nhỏ nhất bằng 2: $x = y = 2 \implies z = 18 - 2 - 2 = 14$.
Khi đó $V_{\min} = 2 \cdot 2 \cdot 14 = 56\text{ cm}^3$.

Câu 12.
Gọi $x$ là độ dài cạnh đáy ($0 < x < 6$). Tâm đáy là $O \implies OA = \dfrac{x}{\sqrt{2}}$.
Chiều cao: $h = SO = \sqrt{SA^2 - OA^2} = \sqrt{27 - \dfrac{x^2}{2}}$.
Thể tích: $V = \dfrac{1}{3} x^2 \sqrt{27 - \dfrac{x^2}{2}} = \dfrac{1}{3}\sqrt{x^4\left(27 - \dfrac{x^2}{2}\right)}$.
Đặt $t = x^2$ ($0 < t < 54$). Xét $f(t) = t^2\left(27 - \dfrac{t}{2}\right) = \dfrac{1}{2} t^2 (54 - t) = 2 \cdot \dfrac{t}{2} \cdot \dfrac{t}{2} (54 - t)$.
Theo AM-GM, tích đạt giá trị lớn nhất khi $\dfrac{t}{2} = 54 - t \iff \dfrac{3t}{2} = 54 \iff t = 36 \implies x = 6$.

Câu 13.
Diện tích đáy tam giác $MB'C'$ đồng dạng với $\triangle ABC$:
$S_{MB'C'} = \left(\dfrac{x}{12}\right)^2 S_{ABC} = \dfrac{x^2}{144} \cdot \left(\dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6\right) = \dfrac{x^2}{8}$.
Chiều cao khối lăng trụ bằng $12 - x$.
Thể tích lăng trụ: $V(x) = (12 - x) \cdot \dfrac{x^2}{8} = \dfrac{1}{8} x^2(12 - x) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{x}{2} \cdot \dfrac{x}{2} (12 - x)$.
Áp dụng AM-GM: $\dfrac{x}{2} \cdot \dfrac{x}{2} \cdot (12 - x) \le \left(\dfrac{x/2 + x/2 + 12 - x}{3}\right)^3 = 4^3 = 64$.
Suy ra $V \le \dfrac{1}{2} \cdot 64 = 32$. Dấu bằng đạt được khi $\dfrac{x}{2} = 12 - x \iff x = 8$.

Câu 14.
Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Vì $AB = AC = 4 \implies AM \perp BC$ và $AM = \sqrt{4^2 - 2^2} = 2\sqrt{3}$.
Vì $SB = SC = 4 \implies SM \perp BC$ và $SM = 2\sqrt{3}$.
Suy ra $BC \perp (SAM) \implies V_{S.ABC} = \dfrac{1}{3} BC \cdot S_{\triangle SAM} = \dfrac{4}{3} S_{\triangle SAM}$.
Tam giác $SAM$ cân tại $M$ có $SM = AM = 2\sqrt{3}$ và đáy $SA = x$.
Diện tích: $S_{\triangle SAM} = \dfrac{1}{2} x \sqrt{(2\sqrt{3})^2 - \left(\dfrac{x}{2}\right)^2} = \dfrac{1}{4} x\sqrt{48 - x^2} \le \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{x^2 + 48 - x^2}{2} = 6$.
Do đó $V_{\max} = \dfrac{4}{3} \cdot 6 = 8$ (đạt được khi $x^2 = 48 - x^2 \iff x = 2\sqrt{6}$).

Câu 15.
Thiết diện $A'B'MD'$ là hình vuông đồng dạng với đáy tỉ số $k$, nên có diện tích $S(k) = k^2 S_{ABCD} = 36k^2$.
Khoảng cách từ $C$ đến mặt phẳng $(A'B'MD')$ bằng khoảng cách từ $(A'B'MD')$ đến $(ABCD)$:
$d = (1 - k) SA = 9(1 - k)$.
Thể tích khối chóp: $V(k) = \dfrac{1}{3} d \cdot S(k) = \dfrac{1}{3} \cdot 9(1 - k) \cdot 36k^2 = 108 k^2 (1 - k)$.
Áp dụng AM-GM: $k^2 (1 - k) = 4 \cdot \dfrac{k}{2} \cdot \dfrac{k}{2} (1 - k) \le 4 \cdot \left(\dfrac{k/2 + k/2 + 1 - k}{3}\right)^3 = \dfrac{4}{27}$.
Do đó $V_{\max} = 108 \cdot \dfrac{4}{27} = 16$, xảy ra khi $k = \dfrac{2}{3}$.

Câu 16.
Gọi $x$ là cạnh đáy hình vuông, $h$ là chiều cao ($x, h > 0$).
Diện tích tôn: $S = x^2 + 4xh = 108 \implies h = \dfrac{108 - x^2}{4x}$.
Thể tích khối hộp: $V(x) = x^2 h = \dfrac{1}{4} x(108 - x^2) = \dfrac{1}{4}(108x - x^3)$.
Đạo hàm: $V'(x) = \dfrac{1}{4}(108 - 3x^2) = 0 \iff x^2 = 36 \implies x = 6\text{ dm}$.
Khi đó $V_{\max} = \dfrac{1}{4} \cdot 6 \cdot (108 - 36) = 108\text{ dm}^3$.

Câu 17.
Đặt $OA = a, OB = b, OC = c > 0$. Chọn hệ trục $Oxyz$ sao cho $A(a,0,0), B(0,b,0), C(0,0,c)$.
Phương trình mặt phẳng $(ABC): \dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1$.
Vì $M(1; 2; 3) \in (ABC) \implies \dfrac{1}{a} + \dfrac{2}{b} + \dfrac{3}{c} = 1$.
Thể tích khối tứ diện: $V = \dfrac{1}{6} abc$.
Áp dụng AM-GM: $1 = \dfrac{1}{a} + \dfrac{2}{b} + \dfrac{3}{c} \ge 3\sqrt[3]{\dfrac{6}{abc}} \implies 1 \ge 27 \cdot \dfrac{6}{abc} \iff abc \ge 162$.
Do đó $V \ge \dfrac{1}{6} \cdot 162 = 27$. Dấu bằng đạt được khi $a = 3, b = 6, c = 9$.

Câu 18.
Đặt $x = \dfrac{SM}{SA}, y = \dfrac{SN}{SB}$ với $x + y = 1$ ($0 < x, y < 1$).
Tỉ số thể tích: $\dfrac{V_{S.MNC}}{V_{S.ABC}} = \dfrac{SM}{SA} \cdot \dfrac{SN}{SB} \cdot \dfrac{SC}{SC} = xy \implies V_{S.MNC} = 16 xy$.
Áp dụng AM-GM: $xy \le \left(\dfrac{x + y}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4}$.
Vậy $V_{S.MNC} \le 16 \cdot \dfrac{1}{4} = 4$. Dấu bằng xảy ra khi $x = y = \dfrac{1}{2}$.

Câu 19.
Gọi hai đường chéo của đáy hình thoi là $x, y > 0$ thỏa mãn $x + y = 12\text{ dm}$.
Diện tích đáy hình thoi: $S = \dfrac{1}{2} xy \le \dfrac{1}{2} \left(\dfrac{x + y}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{2} \cdot 6^2 = 18\text{ dm}^2$.
Thể tích bồn chứa: $V = S \cdot h = S \cdot 10 \le 18 \cdot 10 = 180\text{ dm}^3$.
Dấu bằng xảy ra khi $x = y = 6\text{ dm}$.

Câu 20.
Gọi $x$ là độ dài cạnh đáy tam giác đều, $h$ là chiều cao lăng trụ.
Diện tích toàn phần: $S_{tp} = 2 \cdot \dfrac{x^2\sqrt{3}}{4} + 3xh = \dfrac{x^2\sqrt{3}}{2} + 3xh = 54\sqrt{3} \implies h = \dfrac{\sqrt{3}(108 - x^2)}{6x}$.
Thể tích lăng trụ: $V(x) = \dfrac{x^2\sqrt{3}}{4} \cdot \dfrac{\sqrt{3}(108 - x^2)}{6x} = \dfrac{1}{8} x(108 - x^2) = \dfrac{1}{8}(108x - x^3)$.
Đạo hàm: $V'(x) = \dfrac{1}{8}(108 - 3x^2) = 0 \iff x^2 = 36 \implies x = 6$.
Khi đó thể tích lớn nhất: $V_{\max} = \dfrac{1}{8} \cdot 6 \cdot (108 - 36) = 54$.