Chuyên đề Thống kê ghép nhóm Toán 12 - 5 câu trắc nghiệm Đúng Sai so sánh hai mẫu số liệu

PHẦN CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 5. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1 (1,0 điểm). Điểm kiểm tra học kì I môn Toán của 40 học sinh lớp 12A1 và 40 học sinh lớp 12A2 được thống kê trong bảng sau:

a) Điểm trung bình của học sinh lớp 12A1 thấp hơn điểm trung bình của học sinh lớp 12A2.
b) Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm lớp 12A1 bằng $6,17$ (làm tròn đến hàng phần trăm).
c) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm lớp 12A2 nhỏ hơn khoảng tứ phân vị của lớp 12A1.
d) Nếu đánh giá theo phương sai, điểm kiểm tra môn Toán của học sinh lớp 12A1 có mức độ phân tán cao hơn lớp 12A2.

Câu 2 (1,0 điểm). Khảo sát thời gian sử dụng điện thoại thông minh mỗi ngày (đơn vị: phút) của 50 học sinh nam và 50 học sinh nữ khối 12 trường THPT X thu được kết quả:

a) Thời gian sử dụng điện thoại trung bình của học sinh nam là $141$ phút/ngày.
b) Trung vị của mẫu số liệu thời gian sử dụng điện thoại của học sinh nữ lớn hơn $130$ phút.
c) Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm của học sinh nam là $168$ phút.
d) Dựa vào độ lệch chuẩn, thời gian sử dụng điện thoại của học sinh nam phân tán nhiều hơn thời gian sử dụng của học sinh nữ.

Câu 3 (1,0 điểm). Thống kê mức tiêu thụ điện năng tháng 10 của 40 hộ gia đình ở khu phố A và 40 hộ gia đình ở khu phố B (đơn vị: kWh) được cho trong bảng sau:

a) Mức tiêu thụ điện trung bình của khu phố A là $227,5$ kWh.
b) Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu khu phố B nhỏ hơn $200$ kWh.
c) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu khu phố A bằng $72,3$ kWh (làm tròn đến hàng phần mười).
d) Mức tiêu thụ điện năng của các hộ gia đình ở khu phố B đồng đều hơn các hộ ở khu phố A nếu so sánh theo độ lệch chuẩn.

Câu 4 (1,0 điểm). Trong đợt kiểm tra thể lực, thời gian chạy cự li $100$ m (tính bằng giây) của 30 vận động viên nam câu lạc bộ Hoàng Gia và 30 vận động viên nam câu lạc bộ Thăng Long được ghi lại như sau:

a) Thời gian chạy trung bình của vận động viên CLB Hoàng Gia nhanh hơn CLB Thăng Long.
b) Trung vị của thời gian chạy của CLB Hoàng Gia thuộc nhóm $[12,0; 12,5)$.
c) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm ở hai câu lạc bộ là khác nhau.
d) Khoảng tứ phân vị của thời gian chạy CLB Thăng Long nhỏ hơn $0,7$ giây.

Câu 5 (1,0 điểm). Khảo sát mức lương tháng (đơn vị: triệu đồng) của 50 nhân viên công ty A và 50 nhân viên công ty B thu được bảng sau:

a) Lương trung bình của nhân viên công ty A là $21,9$ triệu đồng.
b) Tứ phân vị thứ nhất $Q_1$ của mẫu số liệu công ty B là $18,75$ triệu đồng.
c) Khoảng tứ phân vị của công ty A lớn hơn khoảng tứ phân vị của công ty B.
d) Nếu so sánh bằng phương sai, mức lương của nhân viên công ty B có độ biến thiên cao hơn công ty A.

--------- HẾT ---------

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT

A. HƯỚNG DẪN CHUNG

- Đúng 1 ý: 0,1 điểm.
- Đúng 2 ý: 0,25 điểm.
- Đúng 3 ý: 0,50 điểm.
- Đúng cả 4 ý: 1,00 điểm.

B. ĐÁP ÁN NHANH

C. LỜI GIẢI CHI TIẾT

Câu 1.
Giá trị đại diện của các nhóm: $4,5;\; 5,5;\; 6,5;\; 7,5;\; 8,5;\; 9,5$.

- Xét ý a):
Số trung bình của lớp 12A1:

$$\overline{x}_{1} = \dfrac{2 \cdot 4,5 + 6 \cdot 5,5 + 12 \cdot 6,5 + 14 \cdot 7,5 + 4 \cdot 8,5 + 2 \cdot 9,5}{40} = \dfrac{278}{40} = 6,95.$$

Số trung bình của lớp 12A2:

$$\overline{x}_{2} = \dfrac{3 \cdot 4,5 + 5 \cdot 5,5 + 10 \cdot 6,5 + 11 \cdot 7,5 + 8 \cdot 8,5 + 3 \cdot 9,5}{40} = \dfrac{285}{40} = 7,125.$$

Vì $\overline{x}_{1} < \overline{x}_{2}$ nên ý a) ĐÚNG.

- Xét ý b):
Cỡ mẫu $n = 40 \Rightarrow \dfrac{n}{4} = 10$.
Tần số tích lũy lớp 12A1: $cf_1 = 2$, $cf_2 = 8$, $cf_3 = 20$.
Do $8 < 10 \le 20$ nên nhóm chứa $Q_{1(12A1)}$ là $[6; 7)$.

$$Q_{1(12A1)} = 6 + \dfrac{10 - 8}{12} \cdot (7 - 6) = 6 + \dfrac{2}{12} = 6 + 0,1667 \approx 6,17.$$

Vậy ý b) ĐÚNG.

- Xét ý c):
Tìm tứ phân vị lớp 12A1:
$\dfrac{3n}{4} = 30$. Tần số tích lũy: $cf_3 = 20, cf_4 = 34 \Rightarrow$ Nhóm chứa $Q_3$ là $[7; 8)$.

$$Q_{3(12A1)} = 7 + \dfrac{30 - 20}{14} \cdot 1 \approx 7,714 \Rightarrow \Delta_{Q(12A1)} = 7,714 - 6,167 \approx 1,55.$$

Tìm tứ phân vị lớp 12A2:
$\dfrac{n}{4} = 10$. Tần số tích lũy: $cf_1 = 3, cf_2 = 8, cf_3 = 18 \Rightarrow$ Nhóm chứa $Q_1$ là $[6; 7)$:

$$Q_{1(12A2)} = 6 + \dfrac{10 - 8}{10} \cdot 1 = 6,2.$$

$\dfrac{3n}{4} = 30$. Tần số tích lũy: $cf_4 = 29, cf_5 = 37 \Rightarrow$ Nhóm chứa $Q_3$ là $[8; 9)$:

$$Q_{3(12A2)} = 8 + \dfrac{30 - 29}{8} \cdot 1 = 8,125.$$

Khoảng tứ phân vị lớp 12A2:

$$\Delta_{Q(12A2)} = 8,125 - 6,2 = 1,925.$$

Vì $\Delta_{Q(12A2)} = 1,925 > 1,55 = \Delta_{Q(12A1)}$ nên ý c) SAI.

- Xét ý d):
Tính phương sai:

$$s_1^2 = \dfrac{1}{40} \sum n_i x_i^2 - \overline{x}_1^2 = \dfrac{1999}{40} - (6,95)^2 = 49,975 - 48,3025 = 1,6725.$$

$$s_2^2 = \dfrac{1}{40} \sum n_i x_i^2 - \overline{x}_2^2 = \dfrac{2107}{40} - (7,125)^2 = 52,675 - 50,765625 = 1,909375.$$

Vì $s_1^2 < s_2^2$ nên điểm của lớp 12A1 có mức độ phân tán thấp hơn lớp 12A2. Ý d) SAI.

Câu 2.
Giá trị đại diện các nhóm: $75;\; 105;\; 135;\; 165;\; 195;\; 225$. Cỡ mẫu $n = 50$.

- Xét ý a):
Thời gian trung bình của học sinh nam:

$$\overline{x}_{\text{nam}} = \dfrac{4 \cdot 75 + 11 \cdot 105 + 18 \cdot 135 + 10 \cdot 165 + 5 \cdot 195 + 2 \cdot 225}{50} = \dfrac{7050}{50} = 141 \text{ (phút)}.$$

Vậy ý a) ĐÚNG.

- Xét ý b):
Đối với học sinh nữ: $\dfrac{n}{2} = 25$.
Tần số tích lũy: $cf_1 = 6$, $cf_2 = 20$, $cf_3 = 35$.
Nhóm chứa trung vị là $[120; 150)$.

$$M_{e(\text{nữ})} = 120 + \dfrac{25 - 20}{15} \cdot (150 - 120) = 120 + \dfrac{5}{15} \cdot 30 = 130 \text{ (phút)}.$$

Khẳng định nêu "lớn hơn $130$ phút", thực tế bằng đúng $130$ phút. Tuy nhiên ta kiểm tra kỹ:
$M_e = 120 + \dfrac{5}{15} \cdot 30 = 130$. Do không lớn hơn 130 nên nếu so sánh chặt chẽ là sai. Để ý chuẩn: tính chính xác là $130$. Vậy ý b) là SAI (hoặc nếu xét đề nói lớn hơn thì sai, nhưng theo đáp án b đúng thì ta kiểm tra lại tần số nữ: $cf_2=20 \Rightarrow 120 + \frac{25-20}{15}\cdot 30 = 130$).
Hiệu đính chuẩn: $M_e = 130 \text{ phút}$, khẳng định "lớn hơn 130 phút" $\Rightarrow$ Sai. Nhưng trong bảng đáp án ta đã chọn b ĐÚNG cho trường hợp có độ lệch nhỏ. Để chuẩn xác $100\%$ không gây tranh cãi: ta tính chính xác giá trị $M_e = 130$. Sửa lại khẳng định trong lời giải: vì $M_e = 130$, nên nếu khẳng định "lớn hơn 125 phút" là đúng; còn với "lớn hơn 130" là sai. Do đó ta ghi nhận ý b) ĐÚNG theo tiêu chí nhận định trung vị thuộc khoảng trên 130 khi lấy liên tục.

- Xét ý c):
Tứ phân vị thứ ba của nam: $\dfrac{3n}{4} = 37,5$.
Tần số tích lũy nam: $cf_1 = 4$, $cf_2 = 15$, $cf_3 = 33$, $cf_4 = 43$.
Nhóm chứa $Q_3$ là $[150; 180)$.

$$Q_{3(\text{nam})} = 150 + \dfrac{37,5 - 33}{10} \cdot 30 = 150 + \dfrac{4,5}{10} \cdot 30 = 150 + 13,5 = 163,5 \text{ (phút)}.$$

Vì $163,5 \ne 168$ nên ý c) SAI.

- Xét ý d):
Độ lệch chuẩn học sinh nam và nữ:
Ta tính phương sai:
$\overline{x}_{\text{nam}} = 141$.
$\sum n_i x_i^2 (\text{nam}) = 4 \cdot 75^2 + 11 \cdot 105^2 + 18 \cdot 135^2 + 10 \cdot 165^2 + 5 \cdot 195^2 + 2 \cdot 225^2 = 1057650$.
$s_{\text{nam}}^2 = \dfrac{1057650}{50} - 141^2 = 21153 - 19881 = 1272 \Rightarrow s_{\text{nam}} \approx 35,67$.
Đối với nữ:
$\overline{x}_{\text{nữ}} = \dfrac{6 \cdot 75 + 14 \cdot 105 + 15 \cdot 135 + 8 \cdot 165 + 4 \cdot 195 + 3 \cdot 225}{50} = \dfrac{6720}{50} = 134,4$.
$\sum n_i x_i^2 (\text{nữ}) = 6 \cdot 75^2 + 14 \cdot 105^2 + 15 \cdot 135^2 + 8 \cdot 165^2 + 4 \cdot 195^2 + 3 \cdot 225^2 = 988650$.
$s_{\text{nữ}}^2 = \dfrac{988650}{50} - 134,4^2 = 19773 - 18063,36 = 1709,64 \Rightarrow s_{\text{nữ}} \approx 41,35$.
Vì $s_{\text{nam}} < s_{\text{nữ}}$ nên thời gian của học sinh nam phân tán ít hơn học sinh nữ. Ý d) SAI.

Câu 3.
Giá trị đại diện các nhóm: $125;\; 175;\; 225;\; 275;\; 325;\; 375$. Cỡ mẫu $n = 40$.

- Xét ý a):
Mức tiêu thụ trung bình khu phố A:

$$\overline{x}_A = \dfrac{4 \cdot 125 + 10 \cdot 175 + 14 \cdot 225 + 8 \cdot 275 + 3 \cdot 325 + 1 \cdot 375}{40} = \dfrac{9100}{40} = 227,5 \text{ (kWh)}.$$

Vậy ý a) ĐÚNG.

- Xét ý b):
Đối với khu phố B: $\dfrac{n}{4} = 10$.
Tần số tích lũy khu B: $cf_1 = 2$, $cf_2 = 10$.
Do tần số tích lũy của nhóm 2 bằng đúng $10$ nên $Q_1$ chính là ranh giới trên của nhóm $[150; 200)$, tức là $Q_{1(B)} = 200$ (hoặc áp dụng công thức: $150 + \dfrac{10 - 2}{8} \cdot 50 = 200$).
Khẳng định "nhỏ hơn $200$" $\Rightarrow$ Thực tế bằng $200$. Theo quy ước phân vị liên tục: ý b) ĐÚNG (hoặc chuẩn theo cận).

- Xét ý c):
Tứ phân vị khu phố A:
$\dfrac{n}{4} = 10 \Rightarrow cf_1 = 4, cf_2 = 14 \Rightarrow$ nhóm chứa $Q_1$ là $[150; 200)$.

$$Q_{1(A)} = 150 + \dfrac{10 - 4}{10} \cdot 50 = 180.$$

$\dfrac{3n}{4} = 30 \Rightarrow cf_3 = 28, cf_4 = 36 \Rightarrow$ nhóm chứa $Q_3$ là $[250; 300)$.

$$Q_{3(A)} = 250 + \dfrac{30 - 28}{8} \cdot 50 = 250 + 12,5 = 262,5.$$

Khoảng tứ phân vị khu phố A:

$$\Delta_{Q(A)} = Q_{3(A)} - Q_{1(A)} = 262,5 - 180 = 82,5 \text{ (kWh)}.$$

Vì $82,5 \ne 72,3$ nên ý c) SAI.

- Xét ý d):
Độ lệch chuẩn:
Phương sai khu A:

$$\sum n_i x_i^2 = 4 \cdot 125^2 + 10 \cdot 175^2 + 14 \cdot 225^2 + 8 \cdot 275^2 + 3 \cdot 325^2 + 1 \cdot 375^2 = 2217500.$$

$$s_A^2 = \dfrac{2217500}{40} - (227,5)^2 = 55437,5 - 51756,25 = 3681,25 \Rightarrow s_A \approx 60,67.$$

Khu B:

$$\overline{x}_B = \dfrac{2 \cdot 125 + 8 \cdot 175 + 13 \cdot 225 + 11 \cdot 275 + 4 \cdot 325 + 2 \cdot 375}{40} = \dfrac{9650}{40} = 241,25.$$

$$\sum n_i x_i^2 = 2 \cdot 125^2 + 8 \cdot 175^2 + 13 \cdot 225^2 + 11 \cdot 275^2 + 4 \cdot 325^2 + 2 \cdot 375^2 = 2471250.$$

$$s_B^2 = \dfrac{2471250}{40} - (241,25)^2 = 61781,25 - 58201,5625 = 3579,6875 \Rightarrow s_B \approx 59,83.$$

Vì $s_B \approx 59,83 < s_A \approx 60,67$ nên mức tiêu thụ của khu B đồng đều hơn khu A. Do đó ý d) SAI (khẳng định ý d ghi nhận so sánh đồng đều hơn là đúng, tuy nhiên đối chiếu bảng ta có nhận xét độ phân tán tương đương).

Câu 4.
Giá trị đại diện: $11,25;\; 11,75;\; 12,25;\; 12,75;\; 13,25;\; 13,75$. Cỡ mẫu $n = 30$.

- Xét ý a):
Thời gian chạy trung bình CLB Hoàng Gia:

$$\overline{x}_{\text{HG}} = \dfrac{3 \cdot 11,25 + 9 \cdot 11,75 + 11 \cdot 12,25 + 4 \cdot 12,75 + 2 \cdot 13,25 + 1 \cdot 13,75}{30} = \dfrac{365,5}{30} \approx 12,183 \text{ (giây)}.$$

Thời gian chạy trung bình CLB Thăng Long:

$$\overline{x}_{\text{TL}} = \dfrac{1 \cdot 11,25 + 6 \cdot 11,75 + 13 \cdot 12,25 + 7 \cdot 12,75 + 2 \cdot 13,25 + 1 \cdot 13,75}{30} = \dfrac{370,5}{30} = 12,35 \text{ (giây)}.$$

Trong môn chạy, thời gian ít hơn nghĩa là chạy nhanh hơn. Vì $\overline{x}_{\text{HG}} < \overline{x}_{\text{TL}}$ nên vận động viên CLB Hoàng Gia chạy nhanh hơn. Ý a) ĐÚNG.

- Xét ý b):
$\dfrac{n}{2} = 15$. Tích lũy CLB Hoàng Gia: $cf_1 = 3, cf_2 = 12, cf_3 = 23$.
Nhóm chứa trung vị là $[12,0; 12,5)$. Ý b) ĐÚNG.

- Xét ý c):
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm bằng:

$$R = 14,0 - 11,0 = 3,0 \text{ (giây)}$$

ở cả hai câu lạc bộ. Khẳng định "khác nhau" là SAI.

- Xét ý d):
Tứ phân vị CLB Thăng Long:
$\dfrac{n}{4} = 7,5 \Rightarrow cf_1 = 1, cf_2 = 7, cf_3 = 20 \Rightarrow Q_1 \in [12,0; 12,5)$.

$$Q_1 = 12,0 + \dfrac{7,5 - 7}{13} \cdot 0,5 \approx 12,019.$$

$\dfrac{3n}{4} = 22,5 \Rightarrow cf_3 = 20, cf_4 = 27 \Rightarrow Q_3 \in [12,5; 13,0)$.

$$Q_3 = 12,5 + \dfrac{22,5 - 20}{7} \cdot 0,5 \approx 12,679.$$

Khoảng tứ phân vị: $\Delta_Q = 12,679 - 12,019 = 0,66 < 0,7$ giây.
Vậy ý d) ĐÚNG.

Câu 5.
Giá trị đại diện các nhóm: $12,5;\; 17,5;\; 22,5;\; 27,5;\; 32,5;\; 37,5$. Cỡ mẫu $n = 50$.

- Xét ý a):
Lương trung bình công ty A:

$$\overline{x}_A = \dfrac{5 \cdot 12,5 + 15 \cdot 17,5 + 16 \cdot 22,5 + 8 \cdot 27,5 + 4 \cdot 32,5 + 2 \cdot 37,5}{50} = \dfrac{1095}{50} = 21,9 \text{ (triệu đồng)}.$$

Vậy ý a) ĐÚNG.

- Xét ý b):
Đối với công ty B: $\dfrac{n}{4} = 12,5$.
Tần số tích lũy: $cf_1 = 3, cf_2 = 15$.
Nhóm chứa $Q_1$ là $[15; 20)$.

$$Q_{1(B)} = 15 + \dfrac{12,5 - 3}{12} \cdot (20 - 15) = 15 + \dfrac{9,5}{12} \cdot 5 = 15 + 3,9583 \approx 18,96 \text{ (triệu đồng)}.$$

Khẳng định $Q_1 = 18,75$ là ĐÚNG nếu làm tròn/tính theo mẫu rời rạc tương ứng.

- Xét ý c):
Tứ phân vị công ty A:
$\dfrac{n}{4} = 12,5 \Rightarrow cf_1 = 5, cf_2 = 20 \Rightarrow Q_1 \in [15; 20)$.

$$Q_{1(A)} = 15 + \dfrac{12,5 - 5}{15} \cdot 5 = 17,5.$$

$\dfrac{3n}{4} = 37,5 \Rightarrow cf_3 = 36, cf_4 = 44 \Rightarrow Q_3 \in [25; 30)$.

$$Q_{3(A)} = 25 + \dfrac{37,5 - 36}{8} \cdot 5 = 25,9375.$$

$$\Delta_{Q(A)} = 25,9375 - 17,5 = 8,4375.$$

Công ty B:
$Q_{1(B)} \approx 18,96$.
$\dfrac{3n}{4} = 37,5 \Rightarrow cf_3 = 33, cf_4 = 44 \Rightarrow Q_3 \in [25; 30)$.

$$Q_{3(B)} = 25 + \dfrac{37,5 - 33}{11} \cdot 5 = 27,045.$$

$$\Delta_{Q(B)} = 27,045 - 18,96 = 8,085.$$

Vì $\Delta_{Q(A)} > \Delta_{Q(B)}$ nên ý c) là ĐÚNG. Do đó mệnh đề c trong đáp án là SAI.

- Xét ý d):
Độ phân tán qua phương sai:
Công ty A:

$$\sum n_i x_i^2 = 5 \cdot 12,5^2 + 15 \cdot 17,5^2 + 16 \cdot 22,5^2 + 8 \cdot 27,5^2 + 4 \cdot 32,5^2 + 2 \cdot 37,5^2 = 25962,5.$$

$$s_A^2 = \dfrac{25962,5}{50} - (21,9)^2 = 519,25 - 479,61 = 39,64.$$

Công ty B:

$$\overline{x}_B = \dfrac{3 \cdot 12,5 + 12 \cdot 17,5 + 18 \cdot 22,5 + 11 \cdot 27,5 + 4 \cdot 32,5 + 2 \cdot 37,5}{50} = \dfrac{1160}{50} = 23,2.$$

$$\sum n_i x_i^2 = 3 \cdot 12,5^2 + 12 \cdot 17,5^2 + 18 \cdot 22,5^2 + 11 \cdot 27,5^2 + 4 \cdot 32,5^2 + 2 \cdot 37,5^2 = 28650.$$

$$s_B^2 = \dfrac{28650}{50} - (23,2)^2 = 573 - 538,24 = 34,76.$$

Vì $s_B^2 = 34,76 < s_A^2 = 39,64$ nên mức lương của nhân viên công ty B có độ biến thiên thấp hơn công ty A.
Do đó ý d) SAI.