Chuyên đề Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số - Toán 12

PHẦN ĐỀ BÀI

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

Dạng 1. Hàm số bậc ba $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$

Câu 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $y = x^3 - 3x + 2$.

Câu 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $y = -x^3 + 3x^2$.

Dạng 2. Hàm số bậc bốn trùng phương $y = ax^4 + bx^2 + c$

Câu 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $y = x^4 - 2x^2 + 1$.

Câu 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $y = -x^4 + 2x^2 + 3$.

Dạng 3. Hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất $y = \dfrac{ax+b}{cx+d}$

Câu 5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $y = \dfrac{2x - 1}{x + 1}$.

Câu 6. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $y = \dfrac{x + 2}{x - 1}$.

Dạng 4. Hàm số phân thức bậc hai trên bậc nhất $y = \dfrac{ax^2+bx+c}{px+q}$

Câu 7. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $y = \dfrac{x^2 - x + 1}{x - 1}$.

Câu 8. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $y = \dfrac{-x^2 + 2x - 2}{x - 1}$.

--------- HẾT PHẦN ĐỀ BÀI ---------

LỜI GIẢI CHI TIẾT

DẠNG 1. HÀM SỐ BẬC BA

Câu 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $y = x^3 - 3x + 2$.

1. Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.
2. Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên:
Ta có: $y' = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1)$.
$y' = 0 \iff x = -1$ hoặc $x = 1$.
Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty; -1)$ và $(1; +\infty)$.
Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1; 1)$.
- Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại $x = -1$, giá trị cực đại $y_{\text{CĐ}} = y(-1) = 4$.
Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 1$, giá trị cực tiểu $y_{\text{CT}} = y(1) = 0$.
- Giới hạn tại vô cực:
$\lim\limits_{x \to -\infty} y = -\infty$; $\lim\limits_{x \to +\infty} y = +\infty$.
- Bảng biến thiên:

[Bảng biến thiên]

3. Đồ thị:
- Giao điểm với trục tung $Oy$: Cho $x = 0 \Rightarrow y = 2 \Rightarrow (0; 2)$.
- Giao điểm với trục hoành $Ox$: Cho $y = 0 \iff (x - 1)^2(x + 2) = 0 \iff x = 1$ hoặc $x = -2$. Đồ thị tiếp xúc với $Ox$ tại $(1; 0)$ và cắt $Ox$ tại $(-2; 0)$.
- Điểm uốn (tâm đối xứng của đồ thị): $y'' = 6x = 0 \iff x = 0 \Rightarrow y = 2 \Rightarrow I(0; 2)$.

Câu 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $y = -x^3 + 3x^2$.

1. Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.
2. Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên:
Ta có: $y' = -3x^2 + 6x = -3x(x - 2)$.
$y' = 0 \iff x = 0$ hoặc $x = 2$.
Hàm số đồng biến trên khoảng $(0; 2)$.
Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty; 0)$ và $(2; +\infty)$.
- Cực trị:
Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 0$, giá trị cực tiểu $y_{\text{CT}} = y(0) = 0$.
Hàm số đạt cực đại tại $x = 2$, giá trị cực đại $y_{\text{CĐ}} = y(2) = 4$.
- Giới hạn tại vô cực:
$\lim\limits_{x \to -\infty} y = +\infty$; $\lim\limits_{x \to +\infty} y = -\infty$.
- Bảng biến thiên:

[Bảng biến thiên]

3. Đồ thị:
- Giao điểm với trục tung và trục hoành: Cho $y = 0 \iff -x^2(x - 3) = 0 \iff x = 0$ hoặc $x = 3$. Đồ thị tiếp xúc với $Ox$ tại gốc toạ độ $O(0; 0)$ và cắt $Ox$ tại $(3; 0)$.
- Điểm uốn (tâm đối xứng): $y'' = -6x + 6 = 0 \iff x = 1 \Rightarrow y = 2 \Rightarrow I(1; 2)$.

DẠNG 2. HÀM SỐ BẬC BỐN TRÙNG PHƯƠNG

Câu 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $y = x^4 - 2x^2 + 1$.

1. Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.
2. Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên:
Ta có: $y' = 4x^3 - 4x = 4x(x^2 - 1)$.
$y' = 0 \iff x = 0$ hoặc $x = \pm 1$.
Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-1; 0)$ và $(1; +\infty)$.
Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty; -1)$ và $(0; 1)$.
- Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại $x = 0$, giá trị cực đại $y_{\text{CĐ}} = y(0) = 1$.
Hàm số đạt cực tiểu tại $x = -1$ và $x = 1$, giá trị cực tiểu $y_{\text{CT}} = y(-1) = y(1) = 0$.
- Giới hạn tại vô cực:
$\lim\limits_{x \to \pm\infty} y = +\infty$.
- Bảng biến thiên:

[Bảng biến thiên]

3. Đồ thị:
- Giao điểm với trục tung $Oy$: $(0; 1)$.
- Giao điểm với trục hoành $Ox$: Cho $y = 0 \iff (x^2 - 1)^2 = 0 \iff x = \pm 1$. Đồ thị tiếp xúc với trục hoành tại hai điểm $(-1; 0)$ và $(1; 0)$.
- Đồ thị nhận trục tung $Oy$ làm trục đối xứng vì $y = f(x)$ là hàm số chẵn.

Câu 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $y = -x^4 + 2x^2 + 3$.

1. Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.
2. Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên:
Ta có: $y' = -4x^3 + 4x = -4x(x^2 - 1)$.
$y' = 0 \iff x = 0$ hoặc $x = \pm 1$.
Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty; -1)$ và $(0; 1)$.
Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-1; 0)$ và $(1; +\infty)$.
- Cực trị:
Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 0$, giá trị cực tiểu $y_{\text{CT}} = y(0) = 3$.
Hàm số đạt cực đại tại $x = \pm 1$, giá trị cực đại $y_{\text{CĐ}} = y(\pm 1) = 4$.
- Giới hạn tại vô cực:
$\lim\limits_{x \to \pm\infty} y = -\infty$.
- Bảng biến thiên:

[Bảng biến thiên]

3. Đồ thị:
- Giao điểm với trục tung $Oy$: $(0; 3)$.
- Giao điểm với trục hoành $Ox$: Cho $y = 0 \iff (x^2 + 1)(3 - x^2) = 0 \iff x = \pm \sqrt{3}$.
- Đồ thị nhận trục tung $Oy$ làm trục đối xứng.

DẠNG 3. HÀM SỐ PHÂN THỨC BẬC NHẤT TRÊN BẬC NHẤT

Câu 5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $y = \dfrac{2x - 1}{x + 1}$.

1. Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$.
2. Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên:
Ta có: $y' = \dfrac{2 \cdot 1 - (-1) \cdot 1}{(x + 1)^2} = \dfrac{3}{(x + 1)^2} > 0, \; \forall x \ne -1$.
Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định $(-\infty; -1)$ và $(-1; +\infty)$.
- Cực trị: Hàm số không có cực trị.
- Tiệm cận:
$\lim\limits_{x \to (-1)^-} y = +\infty$; $\lim\limits_{x \to (-1)^+} y = -\infty \Rightarrow$ Đường thẳng $x = -1$ là tiệm cận đứng.
$\lim\limits_{x \to \pm\infty} y = 2 \Rightarrow$ Đường thẳng $y = 2$ là tiệm cận ngang.
- Bảng biến thiên:

[Bảng biến thiên]

3. Đồ thị:
- Giao điểm với trục tung $Oy$: Cho $x = 0 \Rightarrow y = -1 \Rightarrow (0; -1)$.
- Giao điểm với trục hoành $Ox$: Cho $y = 0 \Rightarrow x = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \left(\dfrac{1}{2}; 0\right)$.
- Tâm đối xứng của đồ thị là giao điểm của hai đường tiệm cận: $I(-1; 2)$.

Câu 6. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $y = \dfrac{x + 2}{x - 1}$.

1. Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$.
2. Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên:
Ta có: $y' = \dfrac{1 \cdot (-1) - 2 \cdot 1}{(x - 1)^2} = \dfrac{-3}{(x - 1)^2} < 0, \; \forall x \ne 1$.
Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định $(-\infty; 1)$ và $(1; +\infty)$.
- Cực trị: Hàm số không có cực trị.
- Tiệm cận:
$\lim\limits_{x \to 1^-} y = -\infty$; $\lim\limits_{x \to 1^+} y = +\infty \Rightarrow$ Đường thẳng $x = 1$ là tiệm cận đứng.
$\lim\limits_{x \to \pm\infty} y = 1 \Rightarrow$ Đường thẳng $y = 1$ là tiệm cận ngang.
- Bảng biến thiên:

[Bảng biến thiên]

3. Đồ thị:
- Giao điểm với trục tung $Oy$: Cho $x = 0 \Rightarrow y = -2 \Rightarrow (0; -2)$.
- Giao điểm với trục hoành $Ox$: Cho $y = 0 \Rightarrow x = -2 \Rightarrow (-2; 0)$.
- Tâm đối xứng của đồ thị là giao điểm hai tiệm cận: $I(1; 1)$.

DẠNG 4. HÀM SỐ PHÂN THỨC BẬC HAI TRÊN BẬC NHẤT

Câu 7. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $y = \dfrac{x^2 - x + 1}{x - 1}$.

1. Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$.
2. Sự biến thiên:
- Biến đổi hàm số: $y = x + \dfrac{1}{x - 1}$.
- Chiều biến thiên:
Ta có: $y' = 1 - \dfrac{1}{(x - 1)^2} = \dfrac{(x - 1)^2 - 1}{(x - 1)^2} = \dfrac{x(x - 2)}{(x - 1)^2}$.
$y' = 0 \iff x = 0$ hoặc $x = 2$.
Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty; 0)$ và $(2; +\infty)$.
Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(0; 1)$ và $(1; 2)$.
- Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại $x = 0$, giá trị cực đại $y_{\text{CĐ}} = y(0) = -1$.
Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 2$, giá trị cực tiểu $y_{\text{CT}} = y(2) = 3$.
- Tiệm cận:
$\lim\limits_{x \to 1^-} y = -\infty$; $\lim\limits_{x \to 1^+} y = +\infty \Rightarrow$ Đường thẳng $x = 1$ là tiệm cận đứng.
Vì $\lim\limits_{x \to \pm\infty} [y - x] = \lim\limits_{x \to \pm\infty} \dfrac{1}{x - 1} = 0 \Rightarrow$ Đường thẳng $y = x$ là tiệm cận xiên.
- Bảng biến thiên:

[Bảng biến thiên]

3. Đồ thị:
- Giao điểm với trục tung $Oy$: $(0; -1)$.
- Giao điểm với trục hoành $Ox$: Phương trình $x^2 - x + 1 = 0$ vô nghiệm nên đồ thị không cắt trục hoành.
- Điểm đi qua thêm: $(2; 3)$, $(-1; -1{,}5)$, $(3; 3{,}5)$.
- Tâm đối xứng của đồ thị là giao điểm hai đường tiệm cận: giải hệ $\begin{cases} x = 1 \\ y = x \end{cases} \Rightarrow I(1; 1)$.

Câu 8. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $y = \dfrac{-x^2 + 2x - 2}{x - 1}$.

1. Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$.
2. Sự biến thiên:
- Biến đổi hàm số: $y = -x + 1 - \dfrac{1}{x - 1}$.
- Chiều biến thiên:
Ta có: $y' = -1 + \dfrac{1}{(x - 1)^2} = \dfrac{1 - (x - 1)^2}{(x - 1)^2} = \dfrac{-x^2 + 2x}{(x - 1)^2}$.
$y' = 0 \iff x = 0$ hoặc $x = 2$.
Hàm số đồng biến trên các khoảng $(0; 1)$ và $(1; 2)$.
Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty; 0)$ và $(2; +\infty)$.
- Cực trị:
Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 0$, giá trị cực tiểu $y_{\text{CT}} = y(0) = 2$.
Hàm số đạt cực đại tại $x = 2$, giá trị cực đại $y_{\text{CĐ}} = y(2) = -2$.
- Tiệm cận:
$\lim\limits_{x \to 1^-} y = +\infty$; $\lim\limits_{x \to 1^+} y = -\infty \Rightarrow$ Đường thẳng $x = 1$ là tiệm cận đứng.
Vì $\lim\limits_{x \to \pm\infty} [y - (-x + 1)] = \lim\limits_{x \to \pm\infty} \dfrac{-1}{x - 1} = 0 \Rightarrow$ Đường thẳng $y = -x + 1$ là tiệm cận xiên.
- Bảng biến thiên:

[Bảng biến thiên]

3. Đồ thị:
- Giao điểm với trục tung $Oy$: Cho $x = 0 \Rightarrow y = 2 \Rightarrow (0; 2)$.
- Giao điểm với trục hoành $Ox$: Phương trình $-x^2 + 2x - 2 = 0$ có $\Delta' = 1 - 2 = -1 < 0$ nên đồ thị không cắt trục $Ox$.
- Tâm đối xứng của đồ thị là giao điểm hai đường tiệm cận: giải hệ $\begin{cases} x = 1 \\ y = -x + 1 \end{cases} \Rightarrow I(1; 0)$.