Chuyên đề 50 câu Nguyên hàm Vận dụng cao Toán 12

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn (30 câu)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 30. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1 (0,25 điểm). Cho hàm số $f(x)$ liên tục và không âm trên khoảng $(0; +\infty)$ thỏa mãn $f(1) = 2$ và $x f'(x) - 2f(x) = x^3 \sqrt{f(x)}$ với mọi $x > 0$. Một nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $g(x) = \dfrac{f(x)}{x^2}$ thỏa mãn $F(1) = \dfrac{5}{2}$ là

Câu 2 (0,25 điểm). Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $f(0) = 0$, $f'(x) + 2x f(x) = 2x e^{-x^2} \cos x$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $y = f(x) e^{x^2}$ là

Câu 3 (0,25 điểm). Cho hàm số $f(x)$ xác định và liên tục trên khoảng $(0; +\infty)$ thỏa mãn $f(x) = x + \dfrac{1}{x} \int f(x) \,\mathrm{d}x$ (với một nguyên hàm cụ thể) sao cho $f(1) = 3$. Giá trị của $f(e)$ bằng

Câu 4 (0,25 điểm). Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f(x) + f(-x) = \sqrt{2 + 2\cos 2x}$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Biết $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $F(0) = 0$. Giá trị của biểu thức $P = F\left(\dfrac{\pi}{2}\right) - F\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)$ bằng

Câu 5 (0,25 điểm). Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm liên tục trên khoảng $(0; +\infty)$, thỏa mãn $f(1) = 1$ và $x^2 f'(x) + f(x) = 2x(x+1) e^{\frac{1}{x}}$. Tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $h(x) = \dfrac{f(x)}{x^2 e^{1/x}}$.

Câu 6 (0,25 điểm). Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ thỏa mãn $x^2 f^2(x) + (2x-1)f(x) = x f'(x) - 1$ với mọi $x \ne 0$ và $f(1) = -2$. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $g(x) = f(x) + \dfrac{1}{x}$ trên khoảng $(0; +\infty)$ là

Câu 7 (0,25 điểm). Biết $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{(x^2 + 1)\sqrt{x^4 + 3x^2 + 1}}$ trên khoảng $(0; +\infty)$ thỏa mãn $F(1) = \ln(2 + \sqrt{5})$. Biểu thức $F(x)$ có dạng $\ln\left(u(x) + \sqrt{u^2(x) + 1}\right)$. Biểu thức $u(x)$ là

Câu 8 (0,25 điểm). Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f'(x) - 2f(x) = (x+1)e^{3x}$ và $f(0) = 2$. Biết $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ thỏa mãn $F(0) = 0$. Giá trị của $F(1)$ gần nhất với số nào dưới đây?

Câu 9 (0,25 điểm). Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ thỏa mãn $f'(x) = \dfrac{1}{x - 1}$, $f(0) = 2026$ và $f(2) = 2027$. Giá trị của biểu thức $f(-1) + f(3)$ bằng

Câu 10 (0,25 điểm). Cho hai nguyên hàm $F(x)$ và $G(x)$ của hàm số $f(x) = \dfrac{1}{x^2 - 4x + 3}$ trên khoảng $(3; +\infty)$ thỏa mãn $F(4) + G(4) = 0$ và $F(5) - G(5) = \ln 2$. Khi đó $F(7) + G(5)$ bằng

Câu 11 (0,25 điểm). Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f(x^3 + 3x + 1) = x + 2$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Một nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $g(x) = f(x)$ thỏa mãn $F(1) = 0$. Giá trị của $F(5)$ bằng

Câu 12 (0,25 điểm). Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $[0; 1]$ thỏa mãn $f(1) = 0$, $\int_0^1 [f'(x)]^2 \,\mathrm{d}x = 7$ và $\int_0^1 x^2 f(x) \,\mathrm{d}x = \dfrac{1}{3}$. Giá trị của $\int_0^1 f(x) \,\mathrm{d}x$ bằng

Câu 13 (0,25 điểm). Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $[0; +\infty)$ thỏa mãn $f(x) > 0$ với mọi $x \ge 0$, $f(0) = 1$ và $f(x) \cdot f'(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$. Tìm họ nguyên hàm của hàm số $y = x f(x)$.

Câu 14 (0,25 điểm). Cho hàm số $f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & \text{khi } x \ge 1 \\ 3x^2 & \text{khi } x < 1 \end{cases}$. Biết $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $F(0) = 2$. Giá trị của $F(2) + F(-1)$ bằng

Câu 15 (0,25 điểm). Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f(x) = \dfrac{x^2 + \sin^2 x}{1 + x^2} \cdot \cos x + \dfrac{x - x\sin x}{1 + x^2}$ có dạng là

Câu 16 (0,25 điểm). Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f(0) = 1$ và $f'(x) - 3x^2 f(x) = 3x^5 e^{x^3}$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Họ nguyên hàm của hàm số $g(x) = f(x) e^{-x^3}$ là

Câu 17 (0,25 điểm). Giả sử hàm số $f(x)$ liên tục và dương trên khoảng $(0; +\infty)$ thỏa mãn $f(1) = e$ và $x^2 f'(x) = [x f(x) + 1] f(x)$ với mọi $x > 0$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Câu 18 (0,25 điểm). Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = \dfrac{\ln(x + \sqrt{x^2 + 1})}{\sqrt{x^2 + 1}}$ trên $\mathbb{R}$ là

Câu 19 (0,25 điểm). Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn $f'(x) = (x-1)^2 [f(x)]^2$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ và $f(1) = 3$. Một nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $\dfrac{1}{[f(x)]^2}$ thỏa mãn $F(1) = 0$ là

Câu 20 (0,25 điểm). Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ thỏa mãn $f'(x) = \dfrac{2x+1}{x^4 + x^3}$ và $f(1) = 1 - \ln 2$, $f(-2) = \dfrac{1}{2} + \ln 2$. Giá trị của $f(2) - f(-1)$ (với quy ước giới hạn thích hợp hoặc giá trị tại điểm liên tục) được xác định trên từng khoảng. Xét trên khoảng $(0; +\infty)$, giá trị của $f(2)$ bằng

Câu 21 (0,25 điểm). Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn $f''(x) f(x) + [f'(x)]^2 = 12x^2 + 2$ với mọi $x \in \mathbb{R}$, biết $f(0) = 1$ và $f'(0) = 0$. Khi đó giá trị của $f^2(1)$ bằng

Câu 22 (0,25 điểm). Tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số $f(x) = \dfrac{x e^x}{(x + 1)^2}$ trên khoảng $(-1; +\infty)$.

Câu 23 (0,25 điểm). Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $f(x) + x f(-x) = x^3 + x^2 + 1$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Một nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x)$ thỏa mãn $F(0) = 1$ là

Câu 24 (0,25 điểm). Cho hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = \dfrac{\ln x}{(x+1)^2}$ trên khoảng $(0; +\infty)$ thỏa mãn $\lim\limits_{x \to +\infty} F(x) = 0$. Giá trị của $F(1)$ bằng

Câu 25 (0,25 điểm). Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $[0; \pi]$ thỏa mãn $\int_0^\pi f(x) \sin x \,\mathrm{d}x = 2$ và $\int_0^\pi x f'(x) \sin x \,\mathrm{d}x = -1$. Giá trị của $\int_0^\pi x f(x) \cos x \,\mathrm{d}x$ bằng

Câu 26 (0,25 điểm). Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm dương và liên tục trên $[1; 3]$ thỏa mãn $f(1) = 1$ và $f'(x) = x \sqrt{f(x)}$ với mọi $x \in [1; 3]$. Một nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $g(x) = \dfrac{1}{\sqrt{f(x)}}$ thỏa mãn $F(1) = 0$ là

Câu 27 (0,25 điểm). Biết rằng hàm số $F(x) = (a x^2 + b x + c)\sqrt{2x - 1}$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = \dfrac{10x^2 - 4x + 1}{\sqrt{2x - 1}}$ trên khoảng $\left(\dfrac{1}{2}; +\infty\right)$. Tổng $S = a + b + c$ bằng

Câu 28 (0,25 điểm). Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f(x) + 2f(2-x) = 3x^2 - 6x + 6$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Tìm họ tất cả các nguyên hàm của $f(x)$.

Câu 29 (0,25 điểm). Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn $f'(x) = \dfrac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x} + 2}$ và $f(0) = 0$. Họ tất cả các nguyên hàm của $g(x) = e^{f(x)}$ là

Câu 30 (0,25 điểm). Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = \dfrac{1}{x(x^{10} + 1)}$ trên khoảng $(0; +\infty)$ là

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai (10 câu)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 10. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1 (1,0 điểm). Cho hàm số $f(x)$ xác định và liên tục trên $(0; +\infty)$ thỏa mãn $f(1) = 1$ và phương trình vi phân $x f'(x) - f(x) = 2x^3$ với mọi $x > 0$. Gọi $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$ thỏa mãn $F(1) = 0$.
a) Hàm số $y = \dfrac{f(x)}{x}$ có đạo hàm bằng $2x$.
b) Công thức của hàm số $f(x)$ là $f(x) = x^3$.
c) Nguyên hàm $F(x) = \dfrac{x^4}{4} - \dfrac{1}{4}$.
d) Giá trị của biểu thức $F(2) - f(2) = -\dfrac{17}{4}$.

Câu 2 (1,0 điểm). Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ thỏa mãn $f'(x) + \dfrac{2}{x}f(x) = \dfrac{\cos x}{x^2}$ và $f(\pi) = 0$.
a) Thừa số tích phân của phương trình vi phân trên là $\mu(x) = x^2$.
b) Đạo hàm của biểu thức $x^2 f(x)$ bằng $\cos x$.
c) Hàm số $f(x) = \dfrac{\sin x}{x^2}$.
d) Một nguyên hàm của hàm số $g(x) = x^3 f(x)$ trên $(0; +\infty)$ là $G(x) = \sin x - x\cos x + C$.

Câu 3 (1,0 điểm). Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$, thỏa mãn $f(0) = 1$ và $f'(x) = 2x[f(x)]^2$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.
a) Hàm số $f(x)$ luôn nhận giá trị dương trên khoảng $(-1; 1)$.
b) Đạo hàm của hàm số $g(x) = \dfrac{1}{f(x)}$ là $g'(x) = -2x$.
c) Biểu thức xác định hàm số là $f(x) = \dfrac{1}{1 - x^2}$ với $x \in (-1; 1)$.
d) Họ nguyên hàm của $f(x)$ trên khoảng $(-1; 1)$ là $F(x) = \ln\left|\dfrac{1+x}{1-x}\right| + C$.

Câu 4 (1,0 điểm). Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[0; 2]$ thỏa mãn $f(2-x) = f(x)$ với mọi $x \in [0; 2]$. Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $[0; 2]$ thỏa mãn $F(0) = 0$.
a) Tích phân $I = \int_0^2 x f(x) \,\mathrm{d}x$ bằng $\int_0^2 f(x) \,\mathrm{d}x$.
b) Đẳng thức $F(2) = 2\int_0^1 f(x) \,\mathrm{d}x$ luôn đúng.
c) Nếu $f(x) = \sqrt{2x - x^2}$ thì $F(2) = \dfrac{\pi}{2}$.
d) Với $f(x) = \sqrt{2x - x^2}$, giá trị tích phân $\int_0^2 x\sqrt{2x - x^2} \,\mathrm{d}x = \dfrac{\pi}{2}$.

Câu 5 (1,0 điểm). Cho hàm số $f(x)$ xác định trên khoảng $(0; +\infty)$ thỏa mãn $f'(x) = \dfrac{\ln x}{x^2}$ và $f(1) = 1$.
a) Nguyên hàm của hàm số $h(x) = \dfrac{\ln x}{x^2}$ được tìm bằng phương pháp từng phần với $u = \ln x, \mathrm{d}v = \dfrac{1}{x^2}\mathrm{d}x$.
b) Biểu thức của hàm số là $f(x) = -\dfrac{\ln x + 1}{x} + 2$.
c) Điểm cực trị duy nhất của hàm số $y = f(x)$ là $x = 1$.
d) Họ nguyên hàm của $f(x)$ trên $(0; +\infty)$ chứa số hạng $-\dfrac{1}{2}\ln^2 x$.

Câu 6 (1,0 điểm). Cho hàm số $f(x) = \begin{cases} e^{2x} & \text{khi } x \ge 0 \\ 2x + 1 & \text{khi } x < 0 \end{cases}$. Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $F(0) = \dfrac{1}{2}$.
a) Hàm số $f(x)$ liên tục tại $x = 0$.
b) Với $x \ge 0$, ta có $F(x) = \dfrac{1}{2}e^{2x}$.
c) Với $x < 0$, ta có $F(x) = x^2 + x + 1$.
d) Giá trị của biểu thức $F(1) + F(-2) = \dfrac{e^2 + 5}{2}$.

Câu 7 (1,0 điểm). Xét hàm số $f(x) = \dfrac{1}{\cos^4 x}$ trên khoảng $\left(-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\right)$.
a) Ta có thể biến đổi $\dfrac{1}{\cos^4 x} = (1 + \tan^2 x)\dfrac{1}{\cos^2 x}$.
b) Họ nguyên hàm của $f(x)$ là $F(x) = \tan x + \dfrac{\tan^3 x}{3} + C$.
c) Nguyên hàm $F(x)$ thỏa mãn $F(0) = 1$ có giá trị $F\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{7}{3}$.
d) Hàm số $y = F(x)$ đồng biến trên khoảng $\left(-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\right)$.

Câu 8 (1,0 điểm). Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn $f'(x) = [f(x) - 1](x - 1)$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ và $f(1) = 2$.
a) Phương trình vi phân đã cho là phương trình vi phân tách biến.
b) Biểu thức $\ln|f(x) - 1| = \dfrac{(x-1)^2}{2}$.
c) Hàm số $f(x) = e^{\frac{(x-1)^2}{2}} + 1$.
d) Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ bằng $2$.

Câu 9 (1,0 điểm). Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $(0; +\infty)$ thỏa mãn đẳng thức $f(x) = 2x + \int_1^e \dfrac{f(\ln t)}{t} \,\mathrm{d}t$.
a) Biểu thức $\int_1^e \dfrac{f(\ln t)}{t} \,\mathrm{d}t$ là một hằng số thực $K$.
b) Đổi biến số $u = \ln t$, ta có $K = \int_0^1 f(u) \,\mathrm{d}u$.
c) Giá trị của hằng số $K$ bằng $2$.
d) Biểu thức của hàm số là $f(x) = 2x + 2$.

Câu 10 (1,0 điểm). Một chất điểm chuyển động dọc theo trục $Ox$ với gia tốc phụ thuộc thời gian $a(t) = 6t - 12$ ($\text{m/s}^2$). Biết vận tốc ban đầu tại $t = 0$ là $v(0) = 9\text{ m/s}$ và vị trí ban đầu $s(0) = 0\text{ m}$.
a) Vận tốc của chất điểm tại thời điểm $t$ là $v(t) = 3t^2 - 12t + 9$ ($\text{m/s}$).
b) Chất điểm dừng lại đổi chiều chuyển động tại hai thời điểm $t = 1\text{ s}$ và $t = 3\text{ s}$.
c) Quãng đường chất điểm đi được trong khoảng thời gian từ $t = 0$ đến $t = 4\text{ s}$ bằng $12\text{ m}$.
d) Phương trình tọa độ của chất điểm là $s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t$ ($\text{m}$).

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn (10 câu)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 10. Điền kết quả vào ô tương ứng.

Câu 1 (0,5 điểm). Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f(0) = 0$ và $f'(x) = (2x+1)e^{-f(x)}$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Tính giá trị của biểu thức $e^{f(2)}$.

Câu 2 (0,5 điểm). Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $[0; 1]$ thỏa mãn $f(1) = 1$, $\int_0^1 x f(x) \,\mathrm{d}x = \dfrac{1}{3}$ và $\int_0^1 [f'(x)]^2 \,\mathrm{d}x = \dfrac{4}{3}$. Tính giá trị của $f(0)$.

Câu 3 (0,5 điểm). Biết rằng $\int \dfrac{x^2 - 2}{x^4 + 4} \,\mathrm{d}x = \dfrac{1}{a}\arctan\left(\dfrac{x^2 + b}{c x}\right) + C$ với $a, b, c$ là các số nguyên dương. Tính tổng $T = a + b + c$.

Câu 4 (0,5 điểm). Cho hàm số $f(x)$ liên tục và không âm trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f(x) \sqrt{1 + f'(x)} = 2x$ với mọi $x \ge 0$ và $f(0) = 0$. Tính giá trị của $f(2)$.

Câu 5 (0,5 điểm). Một bể chứa nước đang bị rò rỉ. Tốc độ rò rỉ nước tại thời điểm $t$ (giờ, $0 \le t \le 10$) được mô hình hóa bởi hàm số $V'(t) = 120 - 12t$ (lít/giờ). Biết ban đầu bể chứa đầy $1000$ lít nước. Hỏi sau bao nhiêu giờ kể từ lúc bắt đầu rò rỉ thì lượng nước thoát ra ngoài đạt giá trị lớn nhất?

Câu 6 (0,5 điểm). Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn $f(x) + f'\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \sin x$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ và $f(0) = 0$. Biết $\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) \,\mathrm{d}x = \dfrac{\pi}{a} - b$ với $a, b \in \mathbb{Q}$. Tính tích $a \cdot b$.

Câu 7 (0,5 điểm). Giả sử $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = \dfrac{1}{x(x+1)(x+2)\dots(x+2026)}$ trên khoảng $(0; +\infty)$. Đặt biểu thức giới hạn $L = \lim\limits_{x \to +\infty} [x^{2026} \cdot f(x)]$. Tính giá trị của $L$ (viết kết quả dưới dạng số nguyên).

Câu 8 (0,5 điểm). Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f(x) = 4x^3 + 3x^2 \int_0^1 f(t) \,\mathrm{d}t - 2x \int_0^1 t f(t) \,\mathrm{d}t$. Tính giá trị của $\int_0^1 f(x) \,\mathrm{d}x$.

Câu 9 (0,5 điểm). Một hồ nuôi cá có tốc độ tăng trưởng sinh khối của quần thể cá sau $t$ tháng được cho bởi $P'(t) = \dfrac{300}{(t+1)^2}$ (kg/tháng). Tại thời điểm ban đầu $t = 0$, khối lượng cá trong hồ là $500\text{ kg}$. Tính khối lượng cá trong hồ sau $5$ tháng nuôi (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị theo đơn vị kg).

Câu 10 (0,5 điểm). Cho hàm số $f(x)$ xác định và liên tục trên $[0; 1]$ thỏa mãn $f(x) > 0$ với mọi $x \in [0; 1]$ và $f(x) \cdot f(1-x) = 1$. Tính tích phân $I = \int_0^1 \dfrac{1}{1 + f(x)} \,\mathrm{d}x$.

--------- HẾT ---------

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: ................................................................ Số báo danh: ........................

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT

ĐÁP ÁN PHẦN I (Trắc nghiệm 4 lựa chọn)

ĐÁP ÁN PHẦN II (Trắc nghiệm Đúng/Sai)

ĐÁP ÁN PHẦN III (Trả lời ngắn)