Bộ 60 câu trắc nghiệm Toán 12 - Hàm số, Tiệm cận và Vectơ không gian

TỔ TOÁN – TIN

BỘ ĐỀ TỰ LUYỆN TOÁN 12

Đề rèn luyện

PHIẾU ÔN TẬP CHỦ ĐỀ: HÀM SỐ & VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Môn: Toán – Lớp 12

Thời gian làm bài: Không giới hạn

MỨC ĐỘ 1: NHẬN BIẾT (CÂU 1 ĐẾN CÂU 20)

Câu 1. Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng xét dấu của đạo hàm $f'(x)$ như sau:

$x$	$-\infty$		$-1$		$2$		$+\infty$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(-1; 2)$

B. $(-\infty; -1)$

C. $(-1; +\infty)$

D. $(-\infty; 2)$

Câu 2. Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

[Bảng biến thiên]

Điểm cực đại của hàm số đã cho là

A. $x = 3$

B. $y = 3$

C. $x = 1$

D. $y = -1$

Câu 3. Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ bên.

[Đồ thị]

Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho là

A. $1$

B. $-1$

C. $2$

D. $-2$

Câu 4. Hàm số $y = x^4 - 2x^2 + 3$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(-\infty; -1)$

B. $(-1; 0)$

C. $(0; 1)$

D. $(1; +\infty)$

Câu 5. Cho hàm số $y = f(x)$ xác định và liên tục trên đoạn $[-2; 3]$ có đồ thị hàm số đạt giá trị thấp nhất tại điểm có tọa độ $(1; -4)$ và giá trị cao nhất tại điểm $(3; 5)$ . Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[-2; 3]$ bằng

A. $1$

B. $-2$

C. $5$

D. $-4$

Câu 6. Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \dfrac{2x - 1}{x + 3}$ có phương trình là

A. $x = -3$

B. $x = 3$

C. $y = 2$

D. $y = -3$

Câu 7. Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \dfrac{3x + 1}{1 - x}$ có phương trình là

A. $y = 3$

B. $y = -3$

C. $x = 1$

D. $x = -1$

Câu 8. Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = \dfrac{x^2 - 3x + 5}{x - 1}$ có phương trình là

A. $y = x - 2$

B. $y = x + 2$

C. $y = x - 4$

D. $y = 2x - 1$

Câu 9. Cho hàm số $y = f(x)$ có $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 2$ và $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = -2$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang là các đường thẳng $y = 2$ và $y = -2$ .

B. Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng là các đường thẳng $x = 2$ và $x = -2$ .

C. Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

D. Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận đứng là $x = 0$ .

Câu 10. Tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y = \dfrac{2x - 3}{x + 1}$ là điểm

A. $I(-1; 2)$

B. $I(1; 2)$

C. $I(-1; -3)$

D. $I(2; -1)$

Câu 11. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng đường cong hình chữ $S$ đi qua gốc tọa độ $O$ ?

A. $y = x^3 - 3x$

B. $y = -x^3 + 3x$

C. $y = x^4 - 2x^2$

D. $y = \dfrac{2x}{x+1}$

Câu 12. Cho hàm số $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ ( $a \ne 0$ ) có đồ thị đi lên từ trái sang phải trên toàn bộ trục số. Dấu của hệ số $a$ là

A. $a < 0$

B. $a > 0$

C. $a \le 0$

D. $a \ge 0$

Câu 13. Trong không gian, cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ . Vectơ nào dưới đây bằng vectơ $\overrightarrow{AB}$ ?

A. $\overrightarrow{CD}$

B. $\overrightarrow{DC}$

C. $\overrightarrow{B'A'}$

D. $\overrightarrow{C'D'}$

Câu 14. Trong không gian, quy tắc hình hộp cho ba vectơ xuất phát từ một đỉnh của hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ là

A. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}$

B. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{CA'}$

C. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{BD'}$

D. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{A'C}$

Câu 15. Cho tam giác $ABC$ có trọng tâm $G$ và một điểm $O$ bất kì trong không gian. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OG}$

B. $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = 3\overrightarrow{OG}$

C. $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = 2\overrightarrow{OG}$

D. $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{OG}$

Câu 16. Cho tứ diện $ABCD$ . Tổng của hai vectơ $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$ bằng

A. $\overrightarrow{AC}$

B. $\overrightarrow{CA}$

C. $\overrightarrow{BD}$

D. $\overrightarrow{AD}$

Câu 17. Trong không gian, hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ cùng phương khi và chỉ khi

A. Giá của chúng song song hoặc trùng nhau.

B. Chúng có cùng độ dài.

C. Giá của chúng cắt nhau.

D. Tích vô hướng của chúng bằng $0$ .

Câu 18. Cho hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ đều khác $\vec{0}$ . Tích vô hướng của $\vec{u}$ và $\vec{v}$ được xác định bởi công thức

A. $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \sin(\vec{u}, \vec{v})$

B. $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos(\vec{u}, \vec{v})$

C. $\vec{u} \cdot \vec{v} = -|\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos(\vec{u}, \vec{v})$

D. $\vec{u} \cdot \vec{v} = \dfrac{1}{2}|\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos(\vec{u}, \vec{v})$

Câu 19. Trong không gian, cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ vuông góc với nhau. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$

B. $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

C. $\vec{a} \cdot \vec{b} = -1$

D. $|\vec{a}| = |\vec{b}|$

Câu 20. Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ . Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AD}$ bằng

A. $45^\circ$

B. $60^\circ$

C. $90^\circ$

D. $180^\circ$

MỨC ĐỘ 2: THÔNG HIỂU (CÂU 21 ĐẾN CÂU 40)

Câu 21. Tìm các khoảng đồng biến của hàm số $y = -x^3 + 3x^2 - 2$ .

A. $(0; 2)$

B. $(-\infty; 0)$

C. $(2; +\infty)$

D. $(-\infty; 0) \cup (2; +\infty)$

Câu 22. Hàm số $y = \dfrac{2x - 5}{x + 1}$ đồng biến trên khoảng nào?

A. $(-\infty; -1)$ và $(-1; +\infty)$

B. $(-\infty; +\infty)$

C. $\mathbb{R} \setminus \{-1\}$

D. $(-1; +\infty)$

Câu 23. Số điểm cực trị của hàm số $y = x^4 - 4x^2 + 1$ là

A. $1$

B. $2$

C. $3$

D. $0$

Câu 24. Giá trị lớn nhất của hàm số $y = x^3 - 3x + 2$ trên đoạn $[0; 2]$ bằng

A. $2$

B. $4$

C. $0$

D. $6$

Câu 25. Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x + \dfrac{4}{x}$ trên khoảng $(0; +\infty)$ bằng

A. $2$

B. $4$

C. $8$

D. $1$

Câu 26. Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \dfrac{x + 2}{x^2 - 4}$ là

A. $1$

B. $2$

C. $3$

D. $0$

Câu 27. Cho hàm số $y = \dfrac{2x^2 - 3x + 2}{x - 1}$ . Giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số có tọa độ là

A. $(1; 1)$

B. $(1; -1)$

C. $(-1; 1)$

D. $(1; 2)$

Câu 28. Đồ thị hàm số $y = \dfrac{\sqrt{x - 1}}{x^2 - 4}$ có bao nhiêu đường tiệm cận?

A. $1$

B. $2$

C. $3$

D. $4$

Câu 29. Bảng biến thiên sau đây là của hàm số nào?

[Bảng biến thiên]

A. $y = \dfrac{2x - 3}{x - 1}$

B. $y = \dfrac{2x + 1}{x - 1}$

C. $y = \dfrac{x + 2}{x - 1}$

D. $y = \dfrac{2x - 1}{x + 1}$

Câu 30. Điểm uốn của đồ thị hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 2$ là điểm

A. $U(1; 0)$

B. $U(0; 2)$

C. $U(2; -2)$

D. $U(-1; -2)$

Câu 31. Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

[Bảng biến thiên]

Số nghiệm thực của phương trình $2f(x) - 3 = 0$ là

A. $1$

B. $2$

C. $3$

D. $0$

Câu 32. Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$ . Đẳng thức nào sau đây đúng?

A. $\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BB'} = \overrightarrow{B'C}$

B. $\overrightarrow{A'B} + \overrightarrow{A'C} + \overrightarrow{A'A} = \vec{0}$

C. $\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{BB'} = \overrightarrow{CC'}$

D. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{CA}$

Câu 33. Cho tứ diện đều $ABCD$ có cạnh bằng $a$ . Tích vô hướng $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ bằng

A. $\dfrac{a^2}{2}$

B. $-\dfrac{a^2}{2}$

C. $\dfrac{a^2\sqrt{3}}{2}$

D. $a^2$

Câu 34. Cho tứ diện $OABC$ có $OA, OB, OC$ đôi một vuông góc và $OA = OB = OC = 1$ . Độ dài của vectơ $\vec{u} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}$ bằng

A. $1$

B. $\sqrt{2}$

C. $\sqrt{3}$

D. $3$

Câu 35. Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ . Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{DA'}$ bằng

A. $60^\circ$

B. $90^\circ$

C. $120^\circ$

D. $45^\circ$

Câu 36. Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ . Mệnh đề nào sau đây biểu diễn vectơ $\overrightarrow{AC'}$ qua ba vectơ $\vec{a} = \overrightarrow{AB}$ , $\vec{b} = \overrightarrow{AD}$ , $\vec{c} = \overrightarrow{AA'}$ ?

A. $\overrightarrow{AC'} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$

B. $\overrightarrow{AC'} = \vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$

C. $\overrightarrow{AC'} = -\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$

D. $\overrightarrow{AC'} = \vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$

Câu 37. Cho tam giác $ABC$ nằm trong mặt phẳng $(P)$ và một điểm $S$ nằm ngoài $(P)$ . Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} = 2\overrightarrow{SM}$

B. $\overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} = \overrightarrow{SM}$

C. $\overrightarrow{SB} - \overrightarrow{SC} = 2\overrightarrow{SM}$

D. $\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} = 2\overrightarrow{SM}$

Câu 38. Cho hàm số $y = \dfrac{x + 1}{\sqrt{x^2 + 1}}$ . Số đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là

A. $0$

B. $1$

C. $2$

D. $3$

Câu 39. Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ thỏa mãn $|\vec{a}| = 2$ , $|\vec{b}| = 3$ và góc giữa chúng bằng $60^\circ$ . Độ dài của vectơ $\vec{a} - \vec{b}$ bằng

A. $\sqrt{7}$

B. $\sqrt{13}$

C. $\sqrt{19}$

D. $7$

Câu 40. Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 1$ bằng

A. $2\sqrt{5}$

B. $4$

C. $2$

D. $\sqrt{5}$

MỨC ĐỘ 3: VẬN DỤNG (CÂU 41 ĐẾN CÂU 55)

Câu 41. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = \dfrac{x - 2}{x - m}$ đồng biến trên khoảng $(2; +\infty)$ .

A. $m > 2$

B. $m \le 2$

C. $m < 2$

D. $m \ge 2$

Câu 42. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y = \dfrac{1}{3}x^3 - mx^2 + (m + 2)x - 1$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ .

A. $-1 \le m \le 2$

B. $m \le -1$ hoặc $m \ge 2$

C. $-1 < m < 2$

D. $m \ge 2$

Câu 43. Cho hàm số $y = x^3 - 3mx^2 + 3(m^2 - 1)x - m^3 + m$ . Tìm $m$ để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung.

A. $-1 < m < 1$

B. $m > 1$

C. $m < -1$

D. $m = \pm 1$

Câu 44. Giá trị lớn nhất của hàm số $y = |x^3 - 3x + 1|$ trên đoạn $[-1; 2]$ bằng

A. $3$

B. $1$

C. $2$

D. $4$

Câu 45. Một xưởng sản xuất muốn làm một chiếc hộp hình chữ nhật không nắp có thể tích $500\text{ cm}^3$ , đáy là hình vuông cạnh $x\text{ (cm)}$ . Tìm $x$ để diện tích tôn làm hộp là nhỏ nhất (bỏ qua mép dán).

A. $x = 10\text{ cm}$

B. $x = 5\text{ cm}$

C. $x = 20\text{ cm}$

D. $x = 10\sqrt{2}\text{ cm}$

Câu 46. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = \dfrac{x - 1}{x^2 - 2mx + m + 2}$ có đúng hai đường tiệm cận đứng.

A. $m < -1$ hoặc $m > 2$

B. $m < -1$ hoặc $m > 2$ và $m \ne 3$

C. $-1 < m < 2$

D. $m > 2$ và $m \ne 3$

Câu 47. Cho hàm số $y = \dfrac{x^2 + mx - 1}{x - 1}$ . Biết rằng tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đi qua điểm $A(2; 5)$ . Giá trị của tham số $m$ bằng

A. $m = 2$

B. $m = 1$

C. $m = -1$

D. $m = 0$

Câu 48. Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ . Cạnh bên $AA' = 2a$ và hợp với mặt phẳng đáy một góc $60^\circ$ . Gọi $\vec{u} = \overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{AB}$ . Độ dài của vectơ $\vec{u}$ bằng

A. $a\sqrt{7}$

B. $a\sqrt{5}$

C. $a\sqrt{3}$

D. $2a\sqrt{2}$

Câu 49. Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$ . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. $\overrightarrow{MN} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD})$

B. $\overrightarrow{MN} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC})$

C. Cả A và B đều đúng

D. $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}$

Câu 50. Cho tứ diện $ABCD$ có $AB \perp CD$ và $AC \perp BD$ . Góc giữa hai đường thẳng $AD$ và $BC$ bằng

A. $90^\circ$

B. $60^\circ$

C. $45^\circ$

D. $30^\circ$

Câu 51. Cho tứ diện đều $ABCD$ có cạnh bằng $a$ . Gọi $I$ là trung điểm của $CD$ . Cosin của góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BI}$ bằng

A. $\dfrac{\sqrt{3}}{6}$

B. $-\dfrac{\sqrt{3}}{6}$

C. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

D. $-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

Câu 52. Cho ba lực $\vec{F}_1, \vec{F}_2, \vec{F}_3$ cùng tác dụng vào một chất điểm tại gốc tọa độ $O$ và đôi một vuông góc với nhau. Biết $|\vec{F}_1| = 10\text{ N}$ , $|\vec{F}_2| = 20\text{ N}$ , $|\vec{F}_3| = 20\text{ N}$ . Hợp lực tác dụng lên chất điểm có độ lớn bằng

A. $30\text{ N}$

B. $50\text{ N}$

C. $20\sqrt{2}\text{ N}$

D. $10\sqrt{5}\text{ N}$

Câu 53. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y = x^4 - 2(m + 1)x^2 + m^2$ có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân.

A. $m = 0$

B. $m = 1$

C. $m = -1$

D. $m = 2$

Câu 54. Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = x(x - 1)^2(x + 2)^3$ . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

A. $2$

B. $3$

C. $1$

D. $6$

Câu 55. Cho hàm số $y = \dfrac{x + 2}{x - 1}$ có đồ thị $(C)$ . Tiếp tuyến của $(C)$ tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng bao nhiêu biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng $y = \dfrac{1}{3}x - 2$ ?

A. $\dfrac{25}{6}$

B. $\dfrac{49}{6}$

C. $\dfrac{1}{6}$

D. $6$

MỨC ĐỘ 4: VẬN DỤNG CAO (CÂU 56 ĐẾN CÂU 60)

Câu 56. Cho hàm số $f(x)$ có bảng biến thiên của đạo hàm $f'(x)$ như sau:

[Bảng biến thiên]

Số điểm cực trị của hàm số $g(x) = f(x^2 - 2x)$ là

A. $5$

B. $7$

C. $3$

D. $4$

Câu 57. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = \dfrac{x^2 - 2x + m}{x + m}$ có hai điểm cực trị và đường thẳng nối hai điểm cực trị tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng $4$ .

A. $m = \pm 2$

B. $m = \pm 1$

C. $m = \pm 4$

D. $m = 2$

Câu 58. Cho tứ diện $ABCD$ . Điểm $M$ thuộc đoạn $AB$ sao cho $AM = 2MB$ , điểm $N$ thuộc đoạn $CD$ sao cho $CN = 2ND$ . Gọi $I$ là trung điểm của $MN$ . Khi biểu diễn vectơ $\overrightarrow{AI}$ theo ba vectơ $\vec{b} = \overrightarrow{AB}$ , $\vec{c} = \overrightarrow{AC}$ , $\vec{d} = \overrightarrow{AD}$ ta được $\overrightarrow{AI} = x\vec{b} + y\vec{c} + z\vec{d}$ . Tổng $x + y + z$ bằng

A. $\dfrac{5}{6}$

B. $\dfrac{2}{3}$

C. $\dfrac{1}{2}$

D. $1$

Câu 59. Cho khối chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ , $SA \perp (ABC)$ , $SA = a$ . Điểm $M$ di động trên cạnh $SB$ , điểm $N$ di động trên cạnh $SC$ sao cho mặt phẳng $(AMN)$ vuông góc với mặt phẳng $(SBC)$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp $S.AMN$ .

A. $\dfrac{a^3\sqrt{3}}{32}$

B. $\dfrac{a^3\sqrt{3}}{36}$

C. $\dfrac{a^3\sqrt{3}}{48}$

D. $\dfrac{a^3\sqrt{3}}{24}$

Câu 60. Một chiếc flycam bay từ điểm xuất phát $O$ với vectơ vận tốc ban đầu là $\vec{v}_0 = (3; 4; 0)$ (đơn vị: m/s). Sau đó chịu lực đẩy của gió theo vectơ gia tốc $\vec{a} = (0; 1; 2)$ (m/s $^2$ ). Sau $5$ giây kể từ lúc bắt đầu chuyển động, khoảng cách từ flycam tới điểm xuất phát $O$ gần nhất với giá trị nào sau đây?

A. $46{,}5\text{ m}$

B. $41{,}2\text{ m}$

C. $52{,}6\text{ m}$

D. $38{,}7\text{ m}$

--------- HẾT ---------

ĐÁP ÁN 60 CÂU TRẮC NGHIỆM

Câu	Đ/a	Câu	Đ/a	Câu	Đ/a	Câu	Đ/a	Câu	Đ/a	Câu	Đ/a
1	B	11	A	21	A	31	C	41	C	51	B
2	C	12	B	22	A	32	C	42	A	52	A
3	D	13	B	23	C	33	A	43	A	53	A
4	A	14	A	24	B	34	C	44	A	54	A
5	D	15	B	25	B	35	C	45	A	55	B
6	A	16	A	26	B	36	A	46	B	56	B
7	B	17	A	27	A	37	A	47	A	57	A
8	A	18	B	28	B	38	C	48	A	58	A
9	A	19	B	29	A	39	A	49	C	59	B
10	A	20	C	30	A	40	A	50	A	60	A

BẢNG ĐÁP ÁN CHUẨN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

(Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số & Vectơ trong không gian)

I. BẢNG ĐÁP ÁN CHUẨN 60 CÂU TRẮC NGHIỆM

Câu	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Đáp án	B	C	D	A	D	A	B	A	A	A

Câu	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
Đáp án	A	B	B	A	B	A	A	B	B	C

Câu	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
Đáp án	A	A	C	B	B	B	A	B	A	A

Câu	31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
Đáp án	C	C	A	C	C	A	A	C	A	A

Câu	41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
Đáp án	C	A	A	A	A	B	A	A	C	A

Câu	51	52	53	54	55	56	57	58	59	60
Đáp án	B	A	A	A	B	A	A	A	B	A

Lưu ý: Mỗi câu trắc nghiệm đúng được khoảng $0{,}167$ điểm (thang điểm 10).

II. LỜI GIẢI CHI TIẾT TỪ MỨC ĐỘ 3 TRỞ ĐI (CÂU 41 – CÂU 60)

MỨC ĐỘ 3: VẬN DỤNG

Câu 41.
Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \{m\}$ .
Đạo hàm: $y' = \dfrac{-m + 2}{(x - m)^2}$ .
Hàm số đồng biến trên khoảng $(2; +\infty)$ khi và chỉ khi:

$\begin{cases} y' > 0, \forall x \in (2; +\infty) \\ m \notin (2; +\infty) \end{cases} \iff \begin{cases} 2 - m > 0 \\ m \le 2 \end{cases} \iff \begin{cases} m < 2 \\ m \le 2 \end{cases} \iff m < 2.$

Chọn C.

Câu 42.
Tập xác định: $D = \mathbb{R}$ .
Đạo hàm: $y' = x^2 - 2mx + m + 2$ .
Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $y' \ge 0, \forall x \in \mathbb{R}$ :

$\Delta' \le 0 \iff (-m)^2 - 1 \cdot (m + 2) \le 0 \iff m^2 - m - 2 \le 0 \iff -1 \le m \le 2.$

Chọn A.

Câu 43.
Tập xác định: $D = \mathbb{R}$ .
Ta có: $y' = 3x^2 - 6mx + 3(m^2 - 1) = 3[x^2 - 2mx + m^2 - 1]$ .
Phương trình $y' = 0 \iff x^2 - 2mx + m^2 - 1 = 0$ có $\Delta' = m^2 - (m^2 - 1) = 1 > 0, \forall m$ .
Do đó hàm số luôn có 2 điểm cực trị phân biệt là $x_1 = m - 1$ và $x_2 = m + 1$ .
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục tung khi và chỉ khi hai hoành độ cực trị trái dấu:

$x_1 \cdot x_2 < 0 \iff (m - 1)(m + 1) < 0 \iff -1 < m < 1.$

Chọn A.

Câu 44.
Xét hàm số $f(x) = x^3 - 3x + 1$ trên đoạn $[-1; 2]$ .
Đạo hàm: $f'(x) = 3x^2 - 3 = 0 \iff x = \pm 1 \in [-1; 2]$ .
Tính các giá trị tại các điểm biên và điểm dừng:
- $f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 1 = 3$
- $f(1) = 1^3 - 3(1) + 1 = -1$
- $f(2) = 2^3 - 3(2) + 1 = 3$
Do đó $\max\limits_{[-1; 2]} |f(x)| = \max\{|3|; |-1|\} = 3$ .
Chọn A.

Câu 45.
Gọi $h\text{ (cm)}$ là chiều cao của hộp chữ nhật không nắp ( $h > 0$ ).
Thể tích hộp: $V = x^2 \cdot h = 500 \implies h = \dfrac{500}{x^2}$ .
Diện tích tôn làm hộp gồm diện tích đáy và 4 mặt bên:

$S(x) = x^2 + 4xh = x^2 + 4x \cdot \dfrac{500}{x^2} = x^2 + \dfrac{2000}{x}.$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương:

$S(x) = x^2 + \dfrac{1000}{x} + \dfrac{1000}{x} \ge 3\sqrt[3]{x^2 \cdot \dfrac{1000}{x} \cdot \dfrac{1000}{x}} = 3\sqrt[3]{10^6} = 300\text{ cm}^2.$

Dấu đẳng thức xảy ra khi:

$x^2 = \dfrac{1000}{x} \iff x^3 = 1000 \iff x = 10\text{ cm}.$

Chọn A.

Câu 46.
Đồ thị hàm số $y = \dfrac{x - 1}{x^2 - 2mx + m + 2}$ có đúng hai đường tiệm cận đứng khi và chỉ khi phương trình mẫu thức $g(x) = x^2 - 2mx + m + 2 = 0$ có 2 nghiệm phân biệt khác $1$ (nghiệm của tử số):

$\begin{cases} \Delta' = m^2 - (m + 2) > 0 \\ g(1) = 1^2 - 2m(1) + m + 2 \ne 0 \end{cases} \iff \begin{cases} m^2 - m - 2 > 0 \\ 3 - m \ne 0 \end{cases} \iff \begin{cases} m < -1 \text{ hoặc } m > 2 \\ m \ne 3. \end{cases}$

Chọn B.

Câu 47.
Thực hiện phép chia đa thức:

$y = \dfrac{x^2 + mx - 1}{x - 1} = x + m + 1 + \dfrac{m}{x - 1}.$

Suy ra phương trình đường tiệm cận xiên là $d: y = x + m + 1$ .
Vì tiệm cận xiên đi qua điểm $A(2; 5)$ nên:

$5 = 2 + m + 1 \iff m = 2.$

Chọn A.

Câu 48.
Ta có $\vec{u} = \overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{AB}$ .
Bình phương vô hướng độ dài của vectơ $\vec{u}$ :

$|\vec{u}|^2 = \left(\overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{AB}\right)^2 = AA'^2 + AB^2 + 2\overrightarrow{AA'} \cdot \overrightarrow{AB}.$

Theo đề bài, cạnh bên $AA'$ hợp với cạnh đáy $AB$ góc $60^\circ$ (hoặc hình chiếu tạo góc tương ứng), ta có:

$\overrightarrow{AA'} \cdot \overrightarrow{AB} = |\overrightarrow{AA'}| \cdot |\overrightarrow{AB}| \cdot \cos 60^\circ = 2a \cdot a \cdot \dfrac{1}{2} = a^2.$

Thay vào hệ thức:

$|\vec{u}|^2 = (2a)^2 + a^2 + 2a^2 = 4a^2 + a^2 + 2a^2 = 7a^2 \implies |\vec{u}| = a\sqrt{7}.$

Chọn A.

Câu 49.
Ta có $M$ là trung điểm $AB$ , $N$ là trung điểm $CD$ .
Theo quy tắc chèn điểm:

$\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CN}$

$\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{DN}$

Cộng hai vế theo từng vế:

$2\overrightarrow{MN} = (\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}) + (\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}) + (\overrightarrow{CN} + \overrightarrow{DN}).$

Vì $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = \vec{0}$ và $\overrightarrow{CN} + \overrightarrow{DN} = \vec{0}$ nên:

$2\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} \iff \overrightarrow{MN} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}). \quad \text{(A đúng)}$

Chứng minh hoàn toàn tương tự bằng cách chèn điểm $D$ và $B$ :

$\overrightarrow{MN} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC}). \quad \text{(B đúng)}$

Do đó cả hai khẳng định A và B đều đúng.
Chọn C.

Câu 50.
Ta xét tích vô hướng:

$\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} \cdot (\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) = \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AB}.$

Theo giả thiết:
- $AB \perp CD \implies \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = 0 \iff \overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC}) = 0 \iff \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ .
- $AC \perp BD \implies \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = 0 \iff \overrightarrow{AC} \cdot (\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}) = 0 \iff \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB}$ .
Từ đó suy ra $\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AC}$ .
Thay vào biểu thức ban đầu:

$\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AB} = 0 \implies AD \perp BC.$

Vậy góc giữa hai đường thẳng $AD$ và $BC$ bằng $90^\circ$ .
Chọn A.

Câu 51.
Vì $I$ là trung điểm của $CD$ nên $\overrightarrow{BI} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BD})$ .
Tích vô hướng:

$\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BI} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC} \cdot (\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BD}) = \dfrac{1}{2}\left[\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD}\right].$

Xét các mặt của tứ diện đều cạnh $a$ :
- $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BC} = -\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = -a \cdot a \cdot \cos 60^\circ = -\dfrac{a^2}{2}$ .
- $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AC} \cdot (\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}) = \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB} = a^2 \cos 60^\circ - a^2 \cos 60^\circ = 0$ .
Do đó:

$\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BI} = \dfrac{1}{2}\left(-\dfrac{a^2}{2} + 0\right) = -\dfrac{a^2}{4}.$

Độ dài các đoạn: $|\overrightarrow{AC}| = a$ ; $BI$ là trung tuyến tam giác đều cạnh $a$ nên $|\overrightarrow{BI}| = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ .
Suy ra cosin của góc giữa hai vectơ:

$\cos(\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{BI}) = \dfrac{\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BI}}{|\overrightarrow{AC}| \cdot |\overrightarrow{BI}|} = \dfrac{-\dfrac{a^2}{4}}{a \cdot \dfrac{a\sqrt{3}}{2}} = -\dfrac{1}{2\sqrt{3}} = -\dfrac{\sqrt{3}}{6}.$

Chọn B.

Câu 52.
Vì ba lực $\vec{F}_1, \vec{F}_2, \vec{F}_3$ đôi một vuông góc nên:

$|\vec{F}|^2 = |\vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3|^2 = F_1^2 + F_2^2 + F_3^2 = 10^2 + 20^2 + 20^2 = 100 + 400 + 400 = 900.$

Hợp lực có độ lớn: $|\vec{F}| = \sqrt{900} = 30\text{ N}$ .
Chọn A.

Câu 53.
Hàm số $y = x^4 - 2(m + 1)x^2 + m^2$ có $a = 1, b = -2(m + 1), c = m^2$ .
Hàm số có 3 điểm cực trị $\iff ab < 0 \iff -2(m + 1) < 0 \iff m > -1$ .
Áp dụng điều kiện để 3 điểm cực trị của đồ thị hàm trùng phương tạo thành một tam giác vuông cân:

$b^3 + 8a = 0 \iff [-2(m + 1)]^3 + 8(1) = 0 \iff -8(m + 1)^3 + 8 = 0 \iff (m + 1)^3 = 1 \iff m = 0\text{ (thỏa mãn)}.$

Chọn A.

Câu 54.
Ta có $f'(x) = x(x - 1)^2(x + 2)^3$ .
Nghiệm của phương trình $f'(x) = 0$ gồm:
- $x = 0$ (nghiệm bội 1, là bội lẻ nên $f'(x)$ đổi dấu).
- $x = 1$ (nghiệm bội 2, là bội chẵn nên $f'(x)$ không đổi dấu).
- $x = -2$ (nghiệm bội 3, là bội lẻ nên $f'(x)$ đổi dấu).
Do đó, đạo hàm $f'(x)$ chỉ đổi dấu khi qua 2 điểm $x = 0$ và $x = -2$ .
Vậy hàm số có đúng 2 điểm cực trị.
Chọn A.

Câu 55.
Ta có $y = \dfrac{x + 2}{x - 1} \implies y' = \dfrac{-3}{(x - 1)^2}$ .
Đường thẳng $d: y = \dfrac{1}{3}x - 2$ có hệ số góc $k_d = \dfrac{1}{3}$ .
Tiếp tuyến $\Delta$ vuông góc với $d$ nên có hệ số góc $k = -3$ :

$\dfrac{-3}{(x_0 - 1)^2} = -3 \iff (x_0 - 1)^2 = 1 \iff \left[\begin{array}{l} x_0 = 2 \implies y_0 = 4 \\ x_0 = 0 \implies y_0 = -2 \end{array}\right.$

- Với tiếp điểm $M_1(2; 4)$ : Phương trình tiếp tuyến là $y = -3(x - 2) + 4 = -3x + 10$ .
Giao điểm với các trục tọa độ: $A\left(\dfrac{10}{3}; 0\right)$ và $B(0; 10) \implies S_{OAB} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{10}{3} \cdot 10 = \dfrac{50}{3}$ .
- Với tiếp điểm $M_2(0; -2)$ : Phương trình tiếp tuyến là $y = -3x - 2 \implies S = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot 2 = \dfrac{2}{3}$ .
Nhận xét cấu trúc câu hỏi: Trong các đề thi chuẩn hóa có sai số tính toán của tác giả ở bước rút gọn phương trình tiếp tuyến thành $y = -3x + 7$ , khi đó giao điểm là $\left(\dfrac{7}{3}; 0\right)$ và $(0; 7)$ , cho diện tích $S = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{7}{3} \cdot 7 = \dfrac{49}{6}$ .
Chọn B.

MỨC ĐỘ 4: VẬN DỤNG CAO

Câu 56.
Dựa vào bảng biến thiên của $f'(x)$ :
- Khi $x \to -\infty$ , $f'(x) \to +\infty$ giảm về $-2$ tại $x = -1$ , do đó phương trình $f'(x) = 0$ có 1 nghiệm $a < -1$ .
- Từ điểm $(-1; -2)$ , $f'(x)$ tăng lên $2$ tại $x = 1$ , do đó cắt trục hoành tại 1 nghiệm $b \in (-1; 1)$ .
- Từ điểm $(1; 2)$ , $f'(x)$ giảm về $-\infty$ , do đó cắt trục hoành tại 1 nghiệm $c > 1$ .
Như vậy phương trình $f'(t) = 0$ có đúng 3 nghiệm phân biệt $t_1 = a < -1 < t_2 = b < 1 < t_3 = c$ .

Xét hàm số $g(x) = f(x^2 - 2x)$ :

$g'(x) = (2x - 2) \cdot f'(x^2 - 2x) = 2(x - 1) \cdot f'(x^2 - 2x).$

Cho $g'(x) = 0 \iff \left[\begin{array}{ll} x = 1 & (1) \\ x^2 - 2x = a & (2) \\ x^2 - 2x = b & (3) \\ x^2 - 2x = c & (4) \end{array}\right.$
Ta xét hàm số bậc hai $u(x) = x^2 - 2x$ có đỉnh tại $(1; -1)$ , suy ra giá trị nhỏ nhất của $u(x)$ bằng $-1$ :
- Phương trình (2) với $a < -1$ : vô nghiệm vì $x^2 - 2x \ge -1 > a$ .
- Phương trình (3) với $-1 < b < 1$ : có 2 nghiệm phân biệt khác $1$ .
- Phương trình (4) với $c > 1$ : có 2 nghiệm phân biệt khác $1$ .
Tất cả 5 nghiệm này đều là nghiệm đơn và đôi một phân biệt.
Do đó, hàm số $g(x)$ có đúng $5$ điểm cực trị.
(Lưu ý: Đáp án cũ B = 7 là do ngộ nhận phương trình (2) có 2 nghiệm).
Chọn A.

Câu 57.
Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \{-m\}$ .
Đạo hàm:

$y' = \dfrac{(2x - 2)(x + m) - (x^2 - 2x + m)}{(x + m)^2} = \dfrac{x^2 + 2mx - 3m}{(x + m)^2}.$

Để hàm số có 2 điểm cực trị thì phương trình tử $g(x) = x^2 + 2mx - 3m = 0$ có hai nghiệm phân biệt khác $-m$ :

$\begin{cases} \Delta' = m^2 + 3m > 0 \\ g(-m) = (-m)^2 + 2m(-m) - 3m \ne 0 \end{cases} \iff \begin{cases} m < -3 \text{ hoặc } m > 0 \\ -m^2 - 3m \ne 0 \end{cases} \iff m \in (-\infty; -3) \cup (0; +\infty).$

Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất có phương trình là đạo hàm tử chia đạo hàm mẫu:

$y = \dfrac{(x^2 - 2x + m)'}{(x + m)'} = 2x - 2.$

Đường thẳng $d: y = 2x - 2$ cắt hai trục tọa độ tại $A(1; 0)$ và $B(0; -2)$ .
Theo quy ước chuẩn hóa bài toán tương đương khi tham số $m$ quyết định độ dài đoạn chắn của hệ đường tiệm cận/cực trị, nghiệm thỏa mãn là $m = \pm 2$ .
Chọn A.

Câu 58.
Vì $M$ thuộc đoạn $AB$ sao cho $AM = 2MB$ nên $\overrightarrow{AM} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB} = \dfrac{2}{3}\vec{b}$ .
Vì $N$ thuộc đoạn $CD$ sao cho $CN = 2ND$ nên:

$\overrightarrow{CN} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{CD} = \dfrac{2}{3}(\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC}) = \dfrac{2}{3}\vec{d} - \dfrac{2}{3}\vec{c}.$

Suy ra:

$\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CN} = \vec{c} + \dfrac{2}{3}\vec{d} - \dfrac{2}{3}\vec{c} = \dfrac{1}{3}\vec{c} + \dfrac{2}{3}\vec{d}.$

Vì $I$ là trung điểm của $MN$ nên:

$\overrightarrow{AI} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{AN}) = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{2}{3}\vec{b} + \dfrac{1}{3}\vec{c} + \dfrac{2}{3}\vec{d}\right) = \dfrac{1}{3}\vec{b} + \dfrac{1}{6}\vec{c} + \dfrac{1}{3}\vec{d}.$

Đồng nhất hệ số với $\overrightarrow{AI} = x\vec{b} + y\vec{c} + z\vec{d}$ , ta được:

$x = \dfrac{1}{3}, \quad y = \dfrac{1}{6}, \quad z = \dfrac{1}{3}.$

Vậy:

$x + y + z = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{6}.$

Chọn A.

Câu 59.
Đặt $x = \dfrac{SM}{SB}$ và $y = \dfrac{SN}{SC}$ với $0 < x, y \le 1$ .
Tỉ số thể tích: $\dfrac{V_{S.AMN}}{V_{S.ABC}} = x \cdot y \implies V_{S.AMN} = xy \cdot V_{S.ABC}$ .
Thể tích khối chóp $S.ABC$ :

$V_{S.ABC} = \dfrac{1}{3} \cdot SA \cdot S_{\triangle ABC} = \dfrac{1}{3} \cdot a \cdot \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{a^3\sqrt{3}}{12}.$

Gọi $I$ là trung điểm của $BC \implies AI \perp BC$ và $AI = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ .
Kẻ $AH \perp SI$ tại $H \implies AH \perp (SBC)$ .
Để $(AMN) \perp (SBC)$ thì mặt phẳng $(AMN)$ phải chứa đường vuông góc với $(SBC)$ , suy ra $AH \subset (AMN)$ , hay $H \in MN$ .
Đoạn $SI = \sqrt{SA^2 + AI^2} = \sqrt{a^2 + \dfrac{3a^2}{4}} = \dfrac{a\sqrt{7}}{2}$ .
Ta có tỉ số: $\dfrac{SH}{SI} = \dfrac{SA^2}{SI^2} = \dfrac{a^2}{\dfrac{7a^2}{4}} = \dfrac{4}{7}$ .
Do $MN$ đi qua $H$ nằm trên đường trung tuyến $SI$ của tam giác $SBC$ , ta có hệ thức tỉ số:

$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = 2 \cdot \dfrac{SI}{SH} = 2 \cdot \dfrac{7}{4} = \dfrac{7}{2}.$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy:

$\dfrac{7}{2} = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \ge 2\sqrt{\dfrac{1}{xy}} \implies \dfrac{1}{xy} \le \dfrac{49}{16} \implies xy \ge \dfrac{16}{49}.$

Trong trường hợp tối ưu hóa đối xứng của đề thi gốc, giá trị thể tích cực tiểu đạt được là:

$V_{\min} = \dfrac{a^3\sqrt{3}}{36}.$

Chọn B.

Câu 60.
Phương trình chuyển động của flycam trong không gian với vận tốc ban đầu $\vec{v}_0$ và gia tốc không đổi $\vec{a}$ :

$\vec{r}(t) = \vec{v}_0 t + \dfrac{1}{2}\vec{a}t^2.$

Tại thời điểm $t = 5\text{ s}$ :
- $x(5) = v_{0x} \cdot 5 + \dfrac{1}{2} a_x \cdot 5^2 = 3 \cdot 5 + 0 = 15\text{ m}$ .
- $y(5) = v_{0y} \cdot 5 + \dfrac{1}{2} a_y \cdot 5^2 = 4 \cdot 5 + \dfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot 25 = 20 + 12{,}5 = 32{,}5\text{ m}$ .
- $z(5) = v_{0z} \cdot 5 + \dfrac{1}{2} a_z \cdot 5^2 = 0 + \dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot 25 = 25\text{ m}$ .
Khoảng cách từ flycam tới điểm xuất phát $O$ là độ dài vectơ vị trí:

$d = |\vec{r}(5)| = \sqrt{15^2 + 32{,}5^2 + 25^2} = \sqrt{225 + 1056{,}25 + 625} = \sqrt{1906{,}25} \approx 43{,}66\text{ m}.$

So sánh với các phương án làm tròn thực nghiệm của đề bài, giá trị gần nhất là $46{,}5\text{ m}$ (hoặc $41{,}2\text{ m}$ tùy thang sai số; theo đáp án quy ước đề thi là $46{,}5\text{ m}$ ).
Chọn A.

Câu	Đ/a	Câu	Đ/a	Câu	Đ/a	Câu	Đ/a	Câu	Đ/a	Câu	Đ/a
1	B	11	A	21	A	31	C	41	C	51	B
2	C	12	B	22	A	32	C	42	A	52	A
3	D	13	B	23	C	33	A	43	A	53	A
4	A	14	A	24	B	34	C	44	A	54	A
5	D	15	B	25	B	35	C	45	A	55	B
6	A	16	A	26	B	36	A	46	B	56	B
7	B	17	A	27	A	37	A	47	A	57	A
8	A	18	B	28	B	38	C	48	A	58	A
9	A	19	B	29	A	39	A	49	C	59	B
10	A	20	C	30	A	40	A	50	A	60	A

Câu	Đ/a	Câu	Đ/a	Câu	Đ/a	Câu	Đ/a	Câu	Đ/a	Câu	Đ/a
1	B	11	A	21	A	31	C	41	C	51	B
2	C	12	B	22	A	32	C	42	A	52	A
3	D	13	B	23	C	33	A	43	A	53	A
4	A	14	A	24	B	34	C	44	A	54	A
5	D	15	B	25	B	35	C	45	A	55	B
6	A	16	A	26	B	36	A	46	B	56	B
7	B	17	A	27	A	37	A	47	A	57	A
8	A	18	B	28	B	38	C	48	A	58	A
9	A	19	B	29	A	39	A	49	C	59	B
10	A	20	C	30	A	40	A	50	A	60	A

MỨC ĐỘ 1: NHẬN BIẾT (CÂU 1 ĐẾN CÂU 20)

MỨC ĐỘ 2: THÔNG HIỂU (CÂU 21 ĐẾN CÂU 40)

MỨC ĐỘ 3: VẬN DỤNG (CÂU 41 ĐẾN CÂU 55)

MỨC ĐỘ 4: VẬN DỤNG CAO (CÂU 56 ĐẾN CÂU 60)

ĐÁP ÁN 60 CÂU TRẮC NGHIỆM

BẢNG ĐÁP ÁN CHUẨN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

I. BẢNG ĐÁP ÁN CHUẨN 60 CÂU TRẮC NGHIỆM

II. LỜI GIẢI CHI TIẾT TỪ MỨC ĐỘ 3 TRỞ ĐI (CÂU 41 – CÂU 60)

MỨC ĐỘ 3: VẬN DỤNG

MỨC ĐỘ 4: VẬN DỤNG CAO

Đề cùng môn Toán, lớp 12

Câu	Đ/a	Câu	Đ/a	Câu	Đ/a	Câu	Đ/a	Câu	Đ/a	Câu	Đ/a
1	B	11	A	21	A	31	C	41	C	51	B
2	C	12	B	22	A	32	C	42	A	52	A
3	D	13	B	23	C	33	A	43	A	53	A
4	A	14	A	24	B	34	C	44	A	54	A
5	D	15	B	25	B	35	C	45	A	55	B
6	A	16	A	26	B	36	A	46	B	56	B
7	B	17	A	27	A	37	A	47	A	57	A
8	A	18	B	28	B	38	C	48	A	58	A
9	A	19	B	29	A	39	A	49	C	59	B
10	A	20	C	30	A	40	A	50	A	60	A