Bộ 6 đề kiểm tra 20 phút Toán 12 – Tính chất của tích phân (Tự luận)

Họ và tên thí sinh: ................................................................

Số báo danh: ............................................................

Mã đề: 101

Họ và tên thí sinh: ................................................................

Số báo danh: ............................................................

Mã đề: 102

Họ và tên thí sinh: ................................................................

Số báo danh: ............................................................

Mã đề: 103

Họ và tên thí sinh: ................................................................

Số báo danh: ............................................................

Mã đề: 104

Họ và tên thí sinh: ................................................................

Số báo danh: ............................................................

Mã đề: 105

Họ và tên thí sinh: ................................................................

Số báo danh: ............................................................

Mã đề: 106

Câu 1
(3,0 điểm)

Tính tích phân $I = \int_{1}^{3} [2f(x) - 3g(x) + 4x]\,\mathrm{d}x$

3,0

Áp dụng tính chất tuyến tính của tích phân:
$I = 2\int_{1}^{3} f(x)\,\mathrm{d}x - 3\int_{1}^{3} g(x)\,\mathrm{d}x + \int_{1}^{3} 4x\,\mathrm{d}x$

1,0

Thay giả thiết $\int_{1}^{3} f(x)\,\mathrm{d}x = 3$ và $\int_{1}^{3} g(x)\,\mathrm{d}x = -2$:
$2\int_{1}^{3} f(x)\,\mathrm{d}x - 3\int_{1}^{3} g(x)\,\mathrm{d}x = 2\cdot 3 - 3\cdot(-2) = 6 + 6 = 12$

1,0

Tính $\int_{1}^{3} 4x\,\mathrm{d}x = \left[2x^2\right]_{1}^{3} = 2\cdot 3^2 - 2\cdot 1^2 = 18 - 2 = 16$
Suy ra $I = 12 + 16 = 28$. (Lưu ý: học sinh quên đổi dấu $-3\cdot(-2)$ dẫn đến kết quả sai bị trừ 1,0 điểm).

1,0

Câu 2
(3,5 điểm)

a

Tính giá trị của $J_1 = \int_{-1}^{2} f(x)\,\mathrm{d}x$

1,75

Nêu tính chất chèn cận (cộng đoạn) với $2 \in [-1; 5]$:
$\int_{-1}^{5} f(x)\,\mathrm{d}x = \int_{-1}^{2} f(x)\,\mathrm{d}x + \int_{2}^{5} f(x)\,\mathrm{d}x$

0,75

Vì tích phân không phụ thuộc vào tên biến nên $\int_{2}^{5} f(x)\,\mathrm{d}x = \int_{2}^{5} f(t)\,\mathrm{d}t = 4$

0,5

Suy ra $J_1 = \int_{-1}^{5} f(x)\,\mathrm{d}x - \int_{2}^{5} f(x)\,\mathrm{d}x = 9 - 4 = 5$

0,5

b

Tính tích phân $J_2 = \int_{-1}^{2} [f'(x) - 2f(x)]\,\mathrm{d}x$

1,75

Tách tích phân: $J_2 = \int_{-1}^{2} f'(x)\,\mathrm{d}x - 2\int_{-1}^{2} f(x)\,\mathrm{d}x$

0,5

Theo định nghĩa và công thức Newton – Leibniz:
$\int_{-1}^{2} f'(x)\,\mathrm{d}x = f(x)\Big|_{-1}^{2} = f(2) - f(-1) = 5 - 2 = 3$

0,75

Thay $J_1 = 5$ vào biểu thức: $J_2 = 3 - 2\cdot 5 = 3 - 10 = -7$

0,5

Câu 3
(3,5 điểm)

Tính tích phân $K = \int_{0}^{3} |x^2 - 2x|\,\mathrm{d}x$

3,5

Xét dấu tam thức $x^2 - 2x$:
$x^2 - 2x = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$
Trên đoạn $[0; 2]$, $x^2 - 2x \le 0 \Rightarrow |x^2 - 2x| = -(x^2 - 2x) = 2x - x^2$
Trên đoạn $[2; 3]$, $x^2 - 2x \ge 0 \Rightarrow |x^2 - 2x| = x^2 - 2x$

1,0

Chia đoạn tích phân: $K = \int_{0}^{2} (2x - x^2)\,\mathrm{d}x + \int_{2}^{3} (x^2 - 2x)\,\mathrm{d}x$

0,5

Tính tích phân thứ nhất:
$\int_{0}^{2} (2x - x^2)\,\mathrm{d}x = \left[x^2 - \dfrac{x^3}{3}\right]_{0}^{2} = \left(4 - \dfrac{8}{3}\right) - 0 = \dfrac{4}{3}$

1,0

Tính tích phân thứ hai:
$\int_{2}^{3} (x^2 - 2x)\,\mathrm{d}x = \left[\dfrac{x^3}{3} - x^2\right]_{2}^{3} = (9 - 9) - \left(\dfrac{8}{3} - 4\right) = \dfrac{4}{3}$

0,75

Kết luận: $K = \dfrac{4}{3} + \dfrac{4}{3} = \dfrac{8}{3}$

0,25

Câu 1
(3,0 điểm)

Tính tích phân $I = \int_{1}^{4} [3f(x) + 2g(x) - 2x]\,\mathrm{d}x$

3,0

Áp dụng tính chất tuyến tính của tích phân:
$I = 3\int_{1}^{4} f(x)\,\mathrm{d}x + 2\int_{1}^{4} g(x)\,\mathrm{d}x - \int_{1}^{4} 2x\,\mathrm{d}x$

1,0

Thay số: $3\int_{1}^{4} f(x)\,\mathrm{d}x + 2\int_{1}^{4} g(x)\,\mathrm{d}x = 3\cdot 4 + 2\cdot(-1) = 12 - 2 = 10$

1,0

Tính $\int_{1}^{4} 2x\,\mathrm{d}x = \left[x^2\right]_{1}^{4} = 16 - 1 = 15$
Suy ra $I = 10 - 15 = -5$

1,0

Câu 2
(3,5 điểm)

a

Tính giá trị của $J_1 = \int_{-2}^{1} f(x)\,\mathrm{d}x$

1,75

Ta có tính chất chèn cận: $\int_{-2}^{6} f(x)\,\mathrm{d}x = \int_{-2}^{1} f(x)\,\mathrm{d}x + \int_{1}^{6} f(x)\,\mathrm{d}x$

0,75

Do tích phân không phụ thuộc biến: $\int_{1}^{6} f(x)\,\mathrm{d}x = \int_{1}^{6} f(u)\,\mathrm{d}u = 6$

0,5

Suy ra $J_1 = \int_{-2}^{6} f(x)\,\mathrm{d}x - \int_{1}^{6} f(x)\,\mathrm{d}x = 11 - 6 = 5$

0,5

b

Tính tích phân $J_2 = \int_{-2}^{1} [2f'(x) + 3f(x)]\,\mathrm{d}x$

1,75

Biến đổi: $J_2 = 2\int_{-2}^{1} f'(x)\,\mathrm{d}x + 3\int_{-2}^{1} f(x)\,\mathrm{d}x$

0,5

Tính $\int_{-2}^{1} f'(x)\,\mathrm{d}x = \left[f(x)\right]_{-2}^{1} = f(1) - f(-2) = 4 - 1 = 3$

0,75

Thay $J_1 = 5$ ta được: $J_2 = 2\cdot 3 + 3\cdot 5 = 6 + 15 = 21$

0,5

Câu 3
(3,5 điểm)

Tính tích phân $K = \int_{0}^{4} |x^2 - 3x|\,\mathrm{d}x$

3,5

Phương trình $x^2 - 3x = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 3$
Trên $[0; 3]$, $x^2 - 3x \le 0 \Rightarrow |x^2 - 3x| = 3x - x^2$
Trên $[3; 4]$, $x^2 - 3x \ge 0 \Rightarrow |x^2 - 3x| = x^2 - 3x$

1,0

Tách tích phân: $K = \int_{0}^{3} (3x - x^2)\,\mathrm{d}x + \int_{3}^{4} (x^2 - 3x)\,\mathrm{d}x$

0,5

Tính $\int_{0}^{3} (3x - x^2)\,\mathrm{d}x = \left[\dfrac{3x^2}{2} - \dfrac{x^3}{3}\right]_{0}^{3} = \dfrac{27}{2} - 9 = \dfrac{9}{2}$

1,0

Tính $\int_{3}^{4} (x^2 - 3x)\,\mathrm{d}x = \left[\dfrac{x^3}{3} - \dfrac{3x^2}{2}\right]_{3}^{4} = \left(\dfrac{64}{3} - 24\right) - \left(9 - \dfrac{27}{2}\right) = -\dfrac{8}{3} + \dfrac{9}{2} = \dfrac{11}{6}$

0,75

Kết luận: $K = \dfrac{9}{2} + \dfrac{11}{6} = \dfrac{19}{3}$

0,25

Câu 1
(3,0 điểm)

Tính tích phân $I = \int_{0}^{2} [4f(x) - 5g(x) + 3x^2]\,\mathrm{d}x$

3,0

Sử dụng tính chất tuyến tính:
$I = 4\int_{0}^{2} f(x)\,\mathrm{d}x - 5\int_{0}^{2} g(x)\,\mathrm{d}x + \int_{0}^{2} 3x^2\,\mathrm{d}x$

1,0

Thay giả thiết: $4\int_{0}^{2} f(x)\,\mathrm{d}x - 5\int_{0}^{2} g(x)\,\mathrm{d}x = 4\cdot 5 - 5\cdot 2 = 20 - 10 = 10$

1,0

Tính $\int_{0}^{2} 3x^2\,\mathrm{d}x = \left[x^3\right]_{0}^{2} = 8 - 0 = 8$
Suy ra $I = 10 + 8 = 18$

1,0

Câu 2
(3,5 điểm)

a

Tính giá trị của $J_1 = \int_{0}^{3} f(x)\,\mathrm{d}x$

1,75

Ta có: $\int_{0}^{7} f(x)\,\mathrm{d}x = \int_{0}^{3} f(x)\,\mathrm{d}x + \int_{3}^{7} f(x)\,\mathrm{d}x$

0,75

Do $\int_{3}^{7} f(x)\,\mathrm{d}x = \int_{3}^{7} f(t)\,\mathrm{d}t = 7$

0,5

Suy ra $J_1 = \int_{0}^{7} f(x)\,\mathrm{d}x - \int_{3}^{7} f(x)\,\mathrm{d}x = 10 - 7 = 3$

0,5

b

Tính tích phân $J_2 = \int_{0}^{3} [3f'(x) - f(x)]\,\mathrm{d}x$

1,75

Tách biểu thức: $J_2 = 3\int_{0}^{3} f'(x)\,\mathrm{d}x - \int_{0}^{3} f(x)\,\mathrm{d}x$

0,5

Tính $\int_{0}^{3} f'(x)\,\mathrm{d}x = f(3) - f(0) = 6 - (-2) = 8$

0,75

Thay $J_1 = 3$ vào: $J_2 = 3\cdot 8 - 3 = 24 - 3 = 21$

0,5

Câu 3
(3,5 điểm)

Tính tích phân $K = \int_{-1}^{2} |2x - 1|\,\mathrm{d}x$

3,5

Xét dấu nhị thức $2x - 1$:
$2x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2}$
Trên $\left[-1; \dfrac{1}{2}\right]$, $2x - 1 \le 0 \Rightarrow |2x - 1| = 1 - 2x$
Trên $\left[\dfrac{1}{2}; 2\right]$, $2x - 1 \ge 0 \Rightarrow |2x - 1| = 2x - 1$

1,0

Tách tích phân: $K = \int_{-1}^{1/2} (1 - 2x)\,\mathrm{d}x + \int_{1/2}^{2} (2x - 1)\,\mathrm{d}x$

0,5

Tính $\int_{-1}^{1/2} (1 - 2x)\,\mathrm{d}x = \left[x - x^2\right]_{-1}^{1/2} = \left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4}\right) - (-1 - 1) = \dfrac{1}{4} + 2 = \dfrac{9}{4}$

1,0

Tính $\int_{1/2}^{2} (2x - 1)\,\mathrm{d}x = \left[x^2 - x\right]_{1/2}^{2} = (4 - 2) - \left(\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{2}\right) = 2 + \dfrac{1}{4} = \dfrac{9}{4}$

0,75

Kết luận: $K = \dfrac{9}{4} + \dfrac{9}{4} = \dfrac{9}{2} = 4,5$

0,25

Câu 1
(3,0 điểm)

Tính tích phân $I = \int_{2}^{5} [5f(x) + 4g(x) - 6x]\,\mathrm{d}x$

3,0

Áp dụng tính chất tuyến tính của tích phân:
$I = 5\int_{2}^{5} f(x)\,\mathrm{d}x + 4\int_{2}^{5} g(x)\,\mathrm{d}x - \int_{2}^{5} 6x\,\mathrm{d}x$

1,0

Thay số: $5(-2) + 4(3) = -10 + 12 = 2$

1,0

Tính $\int_{2}^{5} 6x\,\mathrm{d}x = \left[3x^2\right]_{2}^{5} = 3\cdot 25 - 3\cdot 4 = 75 - 12 = 63$
Suy ra $I = 2 - 63 = -61$

1,0

Câu 2
(3,5 điểm)

a

Tính giá trị của $J_1 = \int_{-3}^{1} f(x)\,\mathrm{d}x$

1,75

Ta có tính chất cộng đoạn: $\int_{-3}^{4} f(x)\,\mathrm{d}x = \int_{-3}^{1} f(x)\,\mathrm{d}x + \int_{1}^{4} f(x)\,\mathrm{d}x$

0,75

Tích phân không phụ thuộc biến nên $\int_{1}^{4} f(x)\,\mathrm{d}x = \int_{1}^{4} f(y)\,\mathrm{d}y = 5$

0,5

Suy ra $J_1 = 8 - 5 = 3$

0,5

b

Tính tích phân $J_2 = \int_{-3}^{1} [f'(x) + 4f(x)]\,\mathrm{d}x$

1,75

Tách tích phân: $J_2 = \int_{-3}^{1} f'(x)\,\mathrm{d}x + 4\int_{-3}^{1} f(x)\,\mathrm{d}x$

0,5

Tính $\int_{-3}^{1} f'(x)\,\mathrm{d}x = f(1) - f(-3) = -1 - 3 = -4$

0,75

Thay $J_1 = 3$ vào: $J_2 = -4 + 4\cdot 3 = -4 + 12 = 8$

0,5

Câu 3
(3,5 điểm)

Tính tích phân $K = \int_{0}^{4} |x^2 - 4x + 3|\,\mathrm{d}x$

3,5

Phương trình $x^2 - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = 3$
Trên $[0; 1]$ và $[3; 4]$, $x^2 - 4x + 3 \ge 0 \Rightarrow |x^2 - 4x + 3| = x^2 - 4x + 3$
Trên $[1; 3]$, $x^2 - 4x + 3 \le 0 \Rightarrow |x^2 - 4x + 3| = -(x^2 - 4x + 3)$

1,0

Tách đoạn: $K = \int_{0}^{1} (x^2 - 4x + 3)\,\mathrm{d}x - \int_{1}^{3} (x^2 - 4x + 3)\,\mathrm{d}x + \int_{3}^{4} (x^2 - 4x + 3)\,\mathrm{d}x$

0,5

Đặt $F(x) = \dfrac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x$
Tính các giá trị: $F(0) = 0$, $F(1) = \dfrac{4}{3}$, $F(3) = 0$, $F(4) = \dfrac{4}{3}$

0,75

Tính từng tích phân thành phần:
$\int_{0}^{1} = F(1) - F(0) = \dfrac{4}{3}$
$\int_{1}^{3} = F(3) - F(1) = -\dfrac{4}{3} \Rightarrow -\int_{1}^{3} = \dfrac{4}{3}$
$\int_{3}^{4} = F(4) - F(3) = \dfrac{4}{3}$

1,0

Kết luận: $K = \dfrac{4}{3} + \dfrac{4}{3} + \dfrac{4}{3} = 4$

0,25

Câu 1
(3,0 điểm)

Tính tích phân $I = \int_{1}^{3} [3f(x) - 4g(x) + 6x^2]\,\mathrm{d}x$

3,0

Áp dụng tính chất tuyến tính:
$I = 3\int_{1}^{3} f(x)\,\mathrm{d}x - 4\int_{1}^{3} g(x)\,\mathrm{d}x + \int_{1}^{3} 6x^2\,\mathrm{d}x$

1,0

Thay số: $3\cdot 2 - 4\cdot(-3) = 6 + 12 = 18$

1,0

Tính $\int_{1}^{3} 6x^2\,\mathrm{d}x = \left[2x^3\right]_{1}^{3} = 2\cdot 27 - 2\cdot 1 = 54 - 2 = 52$
Suy ra $I = 18 + 52 = 70$

1,0

Câu 2
(3,5 điểm)

a

Tính giá trị của $J_1 = \int_{-1}^{3} f(x)\,\mathrm{d}x$

1,75

Ta có tính chất chèn cận: $\int_{-1}^{6} f(x)\,\mathrm{d}x = \int_{-1}^{3} f(x)\,\mathrm{d}x + \int_{3}^{6} f(x)\,\mathrm{d}x$

0,75

Do tích phân không phụ thuộc biến: $\int_{3}^{6} f(x)\,\mathrm{d}x = \int_{3}^{6} f(z)\,\mathrm{d}z = 7$

0,5

Suy ra $J_1 = 12 - 7 = 5$

0,5

b

Tính tích phân $J_2 = \int_{-1}^{3} [2f'(x) - 3f(x)]\,\mathrm{d}x$

1,75

Tách tích phân: $J_2 = 2\int_{-1}^{3} f'(x)\,\mathrm{d}x - 3\int_{-1}^{3} f(x)\,\mathrm{d}x$

0,5

Tính $\int_{-1}^{3} f'(x)\,\mathrm{d}x = f(3) - f(-1) = 1 - 4 = -3$

0,75

Thay $J_1 = 5$ vào: $J_2 = 2\cdot(-3) - 3\cdot 5 = -6 - 15 = -21$

0,5

Câu 3
(3,5 điểm)

Tính tích phân $K = \int_{0}^{4} |x^2 - 2x|\,\mathrm{d}x$

3,5

Phương trình $x^2 - 2x = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$
Trên $[0; 2]$, $x^2 - 2x \le 0 \Rightarrow |x^2 - 2x| = 2x - x^2$
Trên $[2; 4]$, $x^2 - 2x \ge 0 \Rightarrow |x^2 - 2x| = x^2 - 2x$

1,0

Tách đoạn tích phân: $K = \int_{0}^{2} (2x - x^2)\,\mathrm{d}x + \int_{2}^{4} (x^2 - 2x)\,\mathrm{d}x$

0,5

Tính $\int_{0}^{2} (2x - x^2)\,\mathrm{d}x = \left[x^2 - \dfrac{x^3}{3}\right]_{0}^{2} = 4 - \dfrac{8}{3} = \dfrac{4}{3}$

1,0

Tính $\int_{2}^{4} (x^2 - 2x)\,\mathrm{d}x = \left[\dfrac{x^3}{3} - x^2\right]_{2}^{4} = \left(\dfrac{64}{3} - 16\right) - \left(\dfrac{8}{3} - 4\right) = \dfrac{16}{3} + \dfrac{4}{3} = \dfrac{20}{3}$

0,75

Kết luận: $K = \dfrac{4}{3} + \dfrac{20}{3} = \dfrac{24}{3} = 8$

0,25

Câu 1
(3,0 điểm)

Tính tích phân $I = \int_{0}^{3} [2f(x) + 3g(x) - 4x]\,\mathrm{d}x$

3,0

Sử dụng tính chất tuyến tính của tích phân:
$I = 2\int_{0}^{3} f(x)\,\mathrm{d}x + 3\int_{0}^{3} g(x)\,\mathrm{d}x - \int_{0}^{3} 4x\,\mathrm{d}x$

1,0

Thay số: $2\cdot(-1) + 3\cdot 4 = -2 + 12 = 10$

1,0

Tính $\int_{0}^{3} 4x\,\mathrm{d}x = \left[2x^2\right]_{0}^{3} = 2\cdot 9 - 0 = 18$
Suy ra $I = 10 - 18 = -8$

1,0

Câu 2
(3,5 điểm)

a

Tính giá trị của $J_1 = \int_{-2}^{1} f(x)\,\mathrm{d}x$

1,75

Ta có tính chất cộng đoạn: $\int_{-2}^{5} f(x)\,\mathrm{d}x = \int_{-2}^{1} f(x)\,\mathrm{d}x + \int_{1}^{5} f(x)\,\mathrm{d}x$

0,75

Do tích phân không phụ thuộc biến: $\int_{1}^{5} f(x)\,\mathrm{d}x = \int_{1}^{5} f(t)\,\mathrm{d}t = 3$

0,5

Suy ra $J_1 = 7 - 3 = 4$

0,5

b

Tính tích phân $J_2 = \int_{-2}^{1} [3f'(x) + 2f(x)]\,\mathrm{d}x$

1,75

Biến đổi: $J_2 = 3\int_{-2}^{1} f'(x)\,\mathrm{d}x + 2\int_{-2}^{1} f(x)\,\mathrm{d}x$

0,5

Tính $\int_{-2}^{1} f'(x)\,\mathrm{d}x = f(1) - f(-2) = 2 - (-3) = 5$

0,75

Thay $J_1 = 4$ vào: $J_2 = 3\cdot 5 + 2\cdot 4 = 15 + 8 = 23$

0,5

Câu 3
(3,5 điểm)

Tính tích phân $K = \int_{0}^{3} |x^2 - x - 2|\,\mathrm{d}x$

3,5

Phương trình $x^2 - x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = -1$ hoặc $x = 2$
Điểm chia nằm trong đoạn $[0; 3]$ là $x = 2$
Trên $[0; 2]$, $x^2 - x - 2 \le 0 \Rightarrow |x^2 - x - 2| = -x^2 + x + 2$
Trên $[2; 3]$, $x^2 - x - 2 \ge 0 \Rightarrow |x^2 - x - 2| = x^2 - x - 2$

1,0

Tách đoạn tích phân: $K = \int_{0}^{2} (-x^2 + x + 2)\,\mathrm{d}x + \int_{2}^{3} (x^2 - x - 2)\,\mathrm{d}x$

0,5

Tính $\int_{0}^{2} (-x^2 + x + 2)\,\mathrm{d}x = \left[-\dfrac{x^3}{3} + \dfrac{x^2}{2} + 2x\right]_{0}^{2} = -\dfrac{8}{3} + 2 + 4 = \dfrac{10}{3}$

1,0

Tính $\int_{2}^{3} (x^2 - x - 2)\,\mathrm{d}x = \left[\dfrac{x^3}{3} - \dfrac{x^2}{2} - 2x\right]_{2}^{3} = \left(9 - \dfrac{9}{2} - 6\right) - \left(\dfrac{8}{3} - 2 - 4\right) = -\dfrac{3}{2} + \dfrac{10}{3} = \dfrac{11}{6}$

0,75

Kết luận: $K = \dfrac{10}{3} + \dfrac{11}{6} = \dfrac{31}{6}$

0,25