Bộ 5 đề thi tự luận Xác suất và Thống kê

ĐỀ SỐ 1

Câu 1 (3,5 điểm). Một căn bệnh truyền nhiễm có tỉ lệ người mắc trong cộng đồng là $2\%$. Một xét nghiệm y tế chẩn đoán bệnh này có độ nhạy (xác suất người có bệnh cho kết quả dương tính) là $95\%$ và độ đặc hiệu (xác suất người không có bệnh cho kết quả âm tính) là $90\%$.
a) Chọn ngẫu nhiên một người trong cộng đồng đi xét nghiệm. Tính xác suất để người này nhận được kết quả xét nghiệm dương tính.
b) Giả sử một người sau khi xét nghiệm nhận được kết quả dương tính. Tính xác suất để người đó thực sự mắc căn bệnh này.

Câu 2 (3,5 điểm). Một nhân viên tư vấn bán hàng thực hiện 4 cuộc gọi độc lập cho 4 khách hàng. Xác suất chốt được hợp đồng trong các cuộc gọi lần lượt là $0,2$; $0,3$; $0,4$ và $0,5$. Mỗi khi chốt thành công 1 hợp đồng, nhân viên được thưởng $500.000$ đồng.
a) Tính xác suất để nhân viên chốt thành công đúng 2 hợp đồng.
b) Tính số tiền thưởng trung bình mà nhân viên đó nhận được sau 4 cuộc gọi.

Câu 3 (3,0 điểm). Cho biến ngẫu nhiên liên tục $X$ có hàm mật độ xác suất như sau:

$$f(x) = \begin{cases} k(4 - x^2) & \text{với } x \in [0; 2], \\ 0 & \text{với } x \notin [0; 2]. \end{cases}$$

Tìm hằng số $k$ và tính kỳ vọng của biến ngẫu nhiên $Y = X^2$ theo 2 cách.

--------- HẾT ĐỀ 1 ---------

ĐỀ SỐ 2

Câu 1 (3,5 điểm). Một công ty điện tử nhập khẩu linh kiện vi mạch từ 3 nhà máy sản xuất $M_1, M_2$ và $M_3$ với tỉ lệ sản phẩm nhập vào lần lượt là $40\%, 35\%$ và $25\%$. Theo thống kê kiểm định chất lượng, tỉ lệ linh kiện bị lỗi của 3 nhà máy lần lượt là $1\%, 2\%$ và $4\%$. Lấy ngẫu nhiên 1 linh kiện từ kho của công ty.
a) Tính xác suất để linh kiện lấy ra là linh kiện bị lỗi.
b) Giả sử linh kiện lấy ra bị lỗi. Tính xác suất để linh kiện đó do nhà máy $M_2$ sản xuất.

Câu 2 (3,5 điểm). Số cuộc gọi cấp cứu tới một tổng đài bệnh viện trong khoảng thời gian từ 12h đến 13h trưa là một biến ngẫu nhiên rời rạc $X$ có phân phối Poisson với tham số $\lambda = 2$. Biết rằng bệnh viện chỉ có thể điều phối tối đa 3 xe cấp cứu trong một giờ (mỗi xe phục vụ 1 cuộc gọi).
a) Tính xác suất để có cuộc gọi cấp cứu không được điều phối xe kịp thời trong khung giờ trên.
b) Tính số cuộc gọi cấp cứu trung bình được bệnh viện phục vụ kịp thời trong khung giờ đó.

Câu 3 (3,0 điểm). Cho biến ngẫu nhiên liên tục $X$ có hàm mật độ xác suất như sau:

$$f(x) = \begin{cases} k x(2 - x) & \text{với } x \in [0; 2], \\ 0 & \text{với } x \notin [0; 2]. \end{cases}$$

Tìm hằng số $k$ và tính kỳ vọng của biến ngẫu nhiên $Y = X^2$ theo 2 cách.

--------- HẾT ĐỀ 2 ---------

ĐỀ SỐ 3

Câu 1 (3,5 điểm). Một kênh truyền thông tin chỉ truyền hai loại ký hiệu $A$ và $B$ với xác suất phát lần lượt là $0,75$ và $0,25$. Do ảnh hưởng của nhiễu đường truyền, cứ 10 tín hiệu $A$ phát đi thì có 1 tín hiệu bị méo và thu được thành ký hiệu $B$; cứ 5 tín hiệu $B$ phát đi thì có 1 tín hiệu bị méo và thu được thành ký hiệu $A$.
a) Tính xác suất để máy thu nhận được ký hiệu $A$.
b) Biết rằng máy thu đã nhận được ký hiệu $A$. Tính xác suất để thực tế trạm phát đã phát đi ký hiệu $A$.

Câu 2 (3,5 điểm). Một người đi từ nhà đến cơ quan phải đi qua 3 ngã tư có đèn tín hiệu giao thông hoạt động độc lập. Xác suất người đó gặp đèn đỏ ở các ngã tư lần lượt là $0,3$; $0,4$ và $0,5$. Mỗi khi gặp đèn đỏ, người đó phải dừng chờ trung bình $1,5$ phút.
a) Tính xác suất để người đó gặp đúng 1 lần đèn đỏ trên đường đi.
b) Tính thời gian trung bình mà người đó phải dừng chờ đèn đỏ trên cả lộ trình.

Câu 3 (3,0 điểm). Cho biến ngẫu nhiên liên tục $X$ có hàm mật độ xác suất như sau:

$$f(x) = \begin{cases} k e^{-3x} & \text{với } x > 0, \\ 0 & \text{với } x \leq 0. \end{cases}$$

Tìm hằng số $k$ và tính kỳ vọng của biến ngẫu nhiên $Y = e^{-X}$ theo 2 cách.

--------- HẾT ĐỀ 3 ---------

ĐỀ SỐ 4

Câu 1 (3,5 điểm). Một công ty bảo hiểm nhân thọ phân loại khách hàng thành hai nhóm: nhóm $A$ (nguy cơ thấp) chiếm $80\%$ và nhóm $B$ (nguy cơ cao) chiếm $20\%$. Thống kê cho thấy xác suất một khách hàng nhóm $A$ yêu cầu chi trả bảo hiểm trong năm là $0,05$; xác suất này đối với khách hàng nhóm $B$ là $0,30$.
a) Chọn ngẫu nhiên một khách hàng của công ty. Tính xác suất để khách hàng này yêu cầu chi trả bảo hiểm trong năm.
b) Nếu một khách hàng đã yêu cầu chi trả bảo hiểm trong năm, tính xác suất để khách hàng đó thuộc nhóm nguy cơ cao (nhóm $B$).

Câu 2 (3,5 điểm). Một bài kiểm tra gồm 5 câu hỏi trắc nghiệm khách quan độc lập, mỗi câu có 4 phương án lựa chọn và chỉ có duy nhất 1 phương án đúng. Một học sinh không học bài nên trả lời bằng cách chọn ngẫu nhiên một phương án cho mỗi câu. Mỗi câu trả lời đúng được cộng 2 điểm, trả lời sai không được điểm.
a) Tính xác suất để học sinh đó đạt đúng 6 điểm.
b) Tính số điểm trung bình mà học sinh đó nhận được trong bài kiểm tra.

Câu 3 (3,0 điểm). Cho biến ngẫu nhiên liên tục $X$ có hàm mật độ xác suất như sau:

$$f(x) = \begin{cases} k(1 - |x|) & \text{với } x \in [-1; 1], \\ 0 & \text{với } x \notin [-1; 1]. \end{cases}$$

Tìm hằng số $k$ và tính kỳ vọng của biến ngẫu nhiên $Y = X^2$ theo 2 cách.

--------- HẾT ĐỀ 4 ---------

ĐỀ SỐ 5

Câu 1 (3,5 điểm). Tại một trang trại chăn nuôi gia cầm, người ta nuôi hai giống gà: giống $G_1$ chiếm $60\%$ tổng đàn và giống $G_2$ chiếm $40\%$ tổng đàn. Do sức đề kháng khác nhau, tỉ lệ gà mắc một loại dịch bệnh cúm mùa đối với giống $G_1$ là $5\%$, còn đối với giống $G_2$ là $15\%$.
a) Chọn ngẫu nhiên một con gà từ trang trại. Tính xác suất để con gà được chọn bị mắc bệnh cúm.
b) Giả sử con gà được chọn phát hiện mắc bệnh cúm. Tính xác suất để con gà đó thuộc giống $G_2$.

Câu 2 (3,5 điểm). Số hành khách muốn lên một chuyến ca nô du lịch qua sông là một biến ngẫu nhiên rời rạc $X$ có phân phối Poisson với tham số $\lambda = 3$. Biết rằng ca nô chỉ chở được tối đa 4 hành khách trong một chuyến (không kể người lái ca nô).
a) Tính xác suất để có hành khách phải đợi chuyến sau (lỡ chuyến).
b) Tính số hành khách trung bình được ca nô vận chuyển trong một chuyến.

Câu 3 (3,0 điểm). Cho biến ngẫu nhiên liên tục $X$ có hàm mật độ xác suất như sau:

$$f(x) = \begin{cases} k x^2(1 - x) & \text{với } x \in [0; 1], \\ 0 & \text{với } x \notin [0; 1]. \end{cases}$$

Tìm hằng số $k$ và tính kỳ vọng của biến ngẫu nhiên $Y = X^2$ theo 2 cách.

--------- HẾT ĐỀ 5 ---------