Bài toán về sự thay đổi tức thời của một đại lượng (10 bài – Mức độ vận dụng)

BÀI TOÁN VỀ SỰ THAY ĐỔI TỨC THỜI CỦA MỘT ĐẠI LƯỢNG (10 bài – Mức độ vận dụng)

PHẦN A. ĐỀ BÀI

Câu 1. Trong một lần chạy thử trên đường thẳng, quãng đường $s$ (mét) mà một ô tô đi được sau $t$ giây kể từ lúc bắt đầu chuyển động được cho bởi công thức $s(t) = -\dfrac{1}{2}t^{3} + 3t^{2}$, với $0 \le t \le 12$.

a) Tính vận tốc của ô tô tại thời điểm $t=4$ giây.

b) Trong 12 giây đầu, vận tốc lớn nhất của ô tô bằng bao nhiêu và đạt được tại thời điểm nào?

c) Tính quãng đường ô tô đi được từ giây thứ 3 đến giây thứ 9.

Câu 2. Một chất điểm chuyển động thẳng có phương trình $s(t)=t^{3}-6t^{2}+9t$, trong đó $s$ tính bằng mét và $t$ tính bằng giây ($0 \le t \le 5$).

a) Tính vận tốc của chất điểm tại thời điểm $t=2$ giây và cho biết khi đó chất điểm chuyển động theo chiều dương hay chiều âm của trục.

b) Tìm vận tốc lớn nhất của chất điểm trong khoảng thời gian 5 giây đầu tiên.

c) Tính quãng đường chất điểm đi được trong 4 giây đầu tiên.

Câu 3. Dân số của một thị trấn sau $t$ năm kể từ đầu năm 2020 được ước tính bởi công thức $N(t) = \dfrac{30t + 20}{t + 4}$ (nghìn người), $t \ge 0$. Đạo hàm $N'(t)$ biểu thị tốc độ tăng dân số của thị trấn (nghìn người/năm).

a) Tính tốc độ tăng dân số của thị trấn vào đầu năm 2026.

b) Chứng tỏ dân số thị trấn luôn tăng nhưng không vượt quá 30 nghìn người.

c) Kể từ thời điểm nào thì tốc độ tăng dân số của thị trấn nhỏ hơn 250 người/năm?

Câu 4. Chiều cao (tính bằng cm) của một cây non sau $t$ tuần kể từ khi trồng được mô hình hóa bởi hàm số $h(t) = -\dfrac{1}{12}t^{3} + 2t^{2} + 5$, với $0 \le t \le 16$.

a) Tính tốc độ tăng chiều cao của cây sau 4 tuần.

b) Vào tuần thứ mấy cây tăng chiều cao nhanh nhất? Tính chiều cao của cây khi đó (làm tròn đến hàng phần trăm).

c) Trong khoảng thời gian nào, tốc độ tăng chiều cao của cây không nhỏ hơn 12 cm/tuần?

Câu 5. Trong một thí nghiệm, số lượng vi khuẩn trong một môi trường nuôi cấy sau $t$ giờ được mô hình hóa bởi $N(t)=1000+30t^{2}-t^{3}$ (con), với $0 \le t \le 30$.

a) Tính tốc độ tăng số lượng vi khuẩn tại thời điểm $t=5$ giờ.

b) Tại thời điểm nào số lượng vi khuẩn tăng nhanh nhất? Tính tốc độ tăng khi đó.

c) Tại thời điểm nào số lượng vi khuẩn đạt lớn nhất? Tìm số lượng vi khuẩn lớn nhất đó.

Câu 6. Một cửa hàng nhập một loại áo với giá 120 nghìn đồng/chiếc. Nếu bán với giá 200 nghìn đồng/chiếc thì mỗi tháng cửa hàng bán được 60 chiếc. Khảo sát cho thấy cứ giảm giá bán 10 nghìn đồng thì mỗi tháng bán được thêm 10 chiếc. Gọi $x$ (nghìn đồng) là giá bán mỗi chiếc áo ($120 \le x \le 200$).

a) Viết hàm số $P(x)$ biểu thị lợi nhuận mỗi tháng của cửa hàng.

b) Cửa hàng nên bán với giá bao nhiêu để lợi nhuận mỗi tháng lớn nhất? Tính lợi nhuận lớn nhất đó.

Câu 7. Một xưởng sản xuất mỗi ngày $x$ sản phẩm ($1 \le x \le 60$) với tổng chi phí là $C(x) = x^{3} - 75x^{2} + 2000x + 3000$ (nghìn đồng). Giá bán mỗi sản phẩm là 800 nghìn đồng và xưởng bán hết số sản phẩm làm ra.

a) Viết hàm số $P(x)$ biểu thị lợi nhuận mỗi ngày của xưởng.

b) Mỗi ngày xưởng nên sản xuất bao nhiêu sản phẩm để thu được lợi nhuận lớn nhất? Tính lợi nhuận lớn nhất đó.

Câu 8. Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước 80 cm × 50 cm, người ta cắt bỏ ở bốn góc bốn hình vuông bằng nhau cạnh $x$ (cm), rồi gập lại thành một cái hộp không nắp có dạng hình hộp chữ nhật (như hình vẽ).

a) Viết công thức tính thể tích $V(x)$ của cái hộp và tìm điều kiện của $x$.

b) Tìm $x$ để cái hộp có thể tích lớn nhất. Tính thể tích lớn nhất đó.

Câu 9. Một cửa sổ có dạng gồm một hình chữ nhật ở phía dưới và một nửa hình tròn ở phía trên, đường kính của nửa hình tròn bằng chiều rộng của hình chữ nhật (như hình vẽ). Chu vi của cửa sổ (gồm ba cạnh của hình chữ nhật và nửa đường tròn) là 4 m.

a) Gọi $r$ (m) là bán kính nửa hình tròn. Biểu diễn diện tích $S$ của cửa sổ theo $r$.

b) Tìm kích thước của cửa sổ để diện tích cửa sổ lớn nhất (để cửa sổ nhận được nhiều ánh sáng nhất). Tính diện tích lớn nhất đó (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Câu 10. Một hòn đảo nhỏ ở vị trí $B$ cách bờ biển 3 km, $C$ là điểm trên bờ biển gần $B$ nhất ($BC$ vuông góc với bờ). Một người đang ở vị trí $A$ trên bờ biển, cách $C$ 8 km. Người đó đi bộ dọc bờ biển từ $A$ đến một điểm $M$ nằm giữa $A$ và $C$ với vận tốc 5 km/h, rồi chèo thuyền thẳng từ $M$ đến đảo $B$ với vận tốc 4 km/h (như hình vẽ).

a) Đặt $CM = x$ (km). Viết hàm số $T(x)$ biểu thị tổng thời gian người đó đi từ $A$ đến $B$.

b) Người đó phải đi bộ quãng đường bao nhiêu ki-lô-mét rồi mới chèo thuyền để đến đảo nhanh nhất? Tính thời gian ngắn nhất đó.

PHẦN B. ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT

Bảng đáp số

Câu 1

Vận tốc của ô tô tại thời điểm $t$ là $v(t) = s'(t) = -\dfrac{1}{2}t^{2} + 6t$, $0 \le t \le 12$.

a) $v(4) = -\dfrac{1}{2}\cdot 16 + 6\cdot 4 = -8 + 24 = 16$ (m/s).

b) $v'(t) = -t + 6$; $v'(t) = 0 \Leftrightarrow t = 6$. Ta có $v(0)=0$, $v(6) = -18 + 36 = 18$, $v(12) = -72 + 72 = 0$.

Vậy vận tốc lớn nhất của ô tô là 18 m/s, đạt được tại thời điểm $t=6$ giây.

c) Vì $v(t) = \dfrac{1}{2}t(12-t) \ge 0$ với mọi $t \in [0;12]$ nên ô tô không đổi chiều chuyển động. Quãng đường đi được từ giây thứ 3 đến giây thứ 9 là

$$s(9) - s(3) = \left(-\dfrac{729}{6} + 243\right) - \left(-\dfrac{27}{6} + 27\right) = 121,5 - 22,5 = 99 \text{ (m)}.$$

Đồ thị vận tốc $v(t) = -\dfrac{1}{2}t^{2} + 6t$ của ô tô (Câu 1).

Câu 2

Vận tốc của chất điểm: $v(t) = s'(t) = 3t^{2} - 12t + 9 = 3(t-1)(t-3)$, $0 \le t \le 5$.

a) $v(2) = 3\cdot 4 - 12\cdot 2 + 9 = -3$ (m/s). Vì $v(2) < 0$ nên tại thời điểm $t=2$ giây chất điểm đang chuyển động theo chiều âm của trục (tốc độ 3 m/s).

b) $v'(t) = 6t - 12$; $v'(t) = 0 \Leftrightarrow t = 2$. Ta có $v(0) = 9$, $v(2) = -3$, $v(5) = 75 - 60 + 9 = 24$.

Vậy vận tốc lớn nhất của chất điểm trong 5 giây đầu là 24 m/s, đạt tại $t=5$ giây.

c) $v(t) = 0 \Leftrightarrow t = 1$ hoặc $t = 3$: chất điểm đổi chiều chuyển động tại $t=1$ và $t=3$. Ta có $s(0)=0$, $s(1)=4$, $s(3)=0$, $s(4)=4$.

Từ $t=0$ đến $t=1$: chất điểm đi được $|s(1)-s(0)| = 4$ m.

Từ $t=1$ đến $t=3$: chất điểm đi được $|s(3)-s(1)| = 4$ m (chuyển động ngược lại).

Từ $t=3$ đến $t=4$: chất điểm đi được $|s(4)-s(3)| = 4$ m.

Vậy quãng đường chất điểm đi được trong 4 giây đầu là $4+4+4 = 12$ (m).

Lưu ý: Nếu chỉ tính $s(4)-s(0) = 4$ m là sai, vì đó là độ dời chứ không phải quãng đường (chất điểm đã đổi chiều chuyển động).

Đồ thị vận tốc và sơ đồ chuyển động của chất điểm (Câu 2).

Câu 3

$$N'(t) = \dfrac{30(t+4) - (30t+20)}{(t+4)^{2}} = \dfrac{100}{(t+4)^{2}} \text{ (nghìn người/năm)}.$$

a) Đầu năm 2026 ứng với $t=6$: $N'(6) = \dfrac{100}{10^{2}} = 1$ (nghìn người/năm). Vậy vào đầu năm 2026 dân số thị trấn tăng với tốc độ 1000 người/năm.

b) Vì $N'(t) = \dfrac{100}{(t+4)^{2}} > 0$ với mọi $t \ge 0$ nên $N(t)$ đồng biến trên $[0;+\infty)$, tức là dân số luôn tăng.

Mặt khác $N(t) = \dfrac{30t+20}{t+4} = 30 - \dfrac{100}{t+4} < 30$ với mọi $t \ge 0$. Vậy dân số không vượt quá 30 nghìn người.

c) 250 người/năm = 0,25 nghìn người/năm.

$$N'(t) < 0,25 \Leftrightarrow \dfrac{100}{(t+4)^{2}} < \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow (t+4)^{2} > 400 \Leftrightarrow t+4 > 20 \Leftrightarrow t > 16.$$

Vậy kể từ sau đầu năm $2020+16 = 2036$, tốc độ tăng dân số của thị trấn nhỏ hơn 250 người/năm.

Câu 4

Tốc độ tăng chiều cao của cây: $h'(t) = -\dfrac{1}{4}t^{2} + 4t$ (cm/tuần), $0 \le t \le 16$.

a) $h'(4) = -\dfrac{1}{4}\cdot 16 + 4\cdot 4 = -4 + 16 = 12$ (cm/tuần).

b) Xét $g(t) = h'(t) = -\dfrac{1}{4}t^{2} + 4t$ trên $[0;16]$; $g'(t) = -\dfrac{1}{2}t + 4$; $g'(t) = 0 \Leftrightarrow t = 8$.

$g(0) = 0$, $g(8) = -16 + 32 = 16$, $g(16) = -64 + 64 = 0$. Do đó tốc độ tăng chiều cao lớn nhất là 16 cm/tuần, đạt tại $t=8$.

Vậy vào tuần thứ 8 cây tăng chiều cao nhanh nhất. Khi đó chiều cao của cây là

$$h(8) = -\dfrac{512}{12} + 128 + 5 = \dfrac{271}{3} \approx 90,33 \text{ (cm)}.$$

c) $h'(t) \ge 12 \Leftrightarrow -\dfrac{1}{4}t^{2} + 4t \ge 12 \Leftrightarrow t^{2} - 16t + 48 \le 0 \Leftrightarrow (t-4)(t-12) \le 0 \Leftrightarrow 4 \le t \le 12$.

Vậy trong khoảng thời gian từ tuần thứ 4 đến tuần thứ 12, tốc độ tăng chiều cao của cây không nhỏ hơn 12 cm/tuần.

Câu 5

Tốc độ tăng số lượng vi khuẩn: $N'(t) = 60t - 3t^{2}$ (con/giờ), $0 \le t \le 30$.

a) $N'(5) = 60\cdot 5 - 3\cdot 25 = 300 - 75 = 225$ (con/giờ).

b) Xét $f(t) = N'(t) = 60t - 3t^{2}$ trên $[0;30]$; $f'(t) = 60 - 6t$; $f'(t) = 0 \Leftrightarrow t = 10$.

$f(0) = 0$, $f(10) = 600 - 300 = 300$, $f(30) = 1800 - 2700 = -900$.

Vậy số lượng vi khuẩn tăng nhanh nhất tại thời điểm $t=10$ giờ, với tốc độ 300 con/giờ.

c) $N'(t) = 0 \Leftrightarrow 3t(20-t) = 0 \Leftrightarrow t = 0$ hoặc $t = 20$.

$N(0) = 1000$, $N(20) = 1000 + 12000 - 8000 = 5000$, $N(30) = 1000 + 27000 - 27000 = 1000$.

Vậy số lượng vi khuẩn đạt lớn nhất là 5000 con, tại thời điểm $t=20$ giờ.

Câu 6

a) Giá bán giảm $200-x$ (nghìn đồng) so với 200 nghìn đồng, nên số áo bán thêm là $\dfrac{200-x}{10}\cdot 10 = 200-x$ (chiếc). Số áo bán được mỗi tháng là $60 + (200-x) = 260-x$ (chiếc).

Lợi nhuận trên mỗi chiếc áo là $x - 120$ (nghìn đồng). Do đó lợi nhuận mỗi tháng là

$$P(x) = (x-120)(260-x) = -x^{2} + 380x - 31200 \text{ (nghìn đồng)}, \quad 120 \le x \le 200.$$

b) $P'(x) = -2x + 380$; $P'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 190 \in [120;200]$.

$P(120) = 0$, $P(190) = 70\cdot 70 = 4900$, $P(200) = 80\cdot 60 = 4800$.

Vậy cửa hàng nên bán với giá 190 nghìn đồng/chiếc, khi đó lợi nhuận mỗi tháng lớn nhất là 4900 nghìn đồng, tức là 4,9 triệu đồng (bán được 70 chiếc).

Câu 7

a) Doanh thu mỗi ngày là $800x$ (nghìn đồng). Lợi nhuận mỗi ngày là

$$P(x) = 800x - C(x) = -x^{3} + 75x^{2} - 1200x - 3000 \text{ (nghìn đồng)}, \quad 1 \le x \le 60.$$

b) $P'(x) = -3x^{2} + 150x - 1200 = -3\left(x^{2} - 50x + 400\right) = -3(x-10)(x-40)$.

$P'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 10$ hoặc $x = 40$ (đều thuộc $[1;60]$).

Vậy mỗi ngày xưởng nên sản xuất 40 sản phẩm, khi đó lợi nhuận lớn nhất là 5000 nghìn đồng, tức là 5 triệu đồng.

Câu 8

80 cm

a) Sau khi cắt và gập, cái hộp có đáy là hình chữ nhật kích thước $(80-2x)$ cm và $(50-2x)$ cm, chiều cao $x$ cm. Điều kiện: $x > 0$ và $50 - 2x > 0$, tức là $0 < x < 25$.

$$V(x) = x(80-2x)(50-2x) = 4x^{3} - 260x^{2} + 4000x \text{ (cm}^{3}\text{)}, \quad 0 < x < 25.$$

$V'(x) = 12x^{2} - 520x + 4000 = 4\left(3x^{2} - 130x + 1000\right)$.

$V'(x) = 0 \Leftrightarrow 3x^{2} - 130x + 1000 = 0 \Leftrightarrow x = 10$ hoặc $x = \dfrac{100}{3}$. Vì $0 < x < 25$ nên chỉ nhận $x = 10$.

Trên $(0;10)$ thì $V'(x) > 0$, trên $(10;25)$ thì $V'(x) < 0$, nên $V(x)$ đạt giá trị lớn nhất tại $x = 10$:

$$V_{max} = V(10) = 10\cdot 60\cdot 30 = 18000 \text{ (cm}^{3}\text{)} = 18 \text{ lít}.$$

Vậy cần cắt ở mỗi góc hình vuông cạnh 10 cm, khi đó hộp có thể tích lớn nhất là 18000 cm³.

Câu 9

a) Gọi $h$ (m) là chiều cao của phần hình chữ nhật; chiều rộng của cửa sổ là $2r$. Chu vi của cửa sổ:

$$2r + 2h + \pi r = 4 \Rightarrow h = \dfrac{4 - (2+\pi)r}{2}.$$

Điều kiện $h > 0 \Leftrightarrow 0 < r < \dfrac{4}{2+\pi}$.

Diện tích của cửa sổ:

$$S = 2rh + \dfrac{\pi r^{2}}{2} = r\left(4 - (2+\pi)r\right) + \dfrac{\pi r^{2}}{2} = 4r - \left(2 + \dfrac{\pi}{2}\right)r^{2}.$$

b) $S'(r) = 4 - (4+\pi)r$; $S'(r) = 0 \Leftrightarrow r = \dfrac{4}{4+\pi} \in \left(0;\dfrac{4}{2+\pi}\right)$.

$S'(r) > 0$ khi $r < \dfrac{4}{4+\pi}$ và $S'(r) < 0$ khi $r > \dfrac{4}{4+\pi}$, nên $S$ đạt giá trị lớn nhất tại $r = \dfrac{4}{4+\pi} \approx 0,56$ m.

Khi đó $h = \dfrac{4 - (2+\pi)\cdot\dfrac{4}{4+\pi}}{2} = \dfrac{4}{4+\pi} = r \approx 0,56$ m, chiều rộng cửa sổ $2r = \dfrac{8}{4+\pi} \approx 1,12$ m, và

$$S_{max} = 4r - \left(2 + \dfrac{\pi}{2}\right)r^{2} = \dfrac{8}{4+\pi} \approx 1,12 \text{ (m}^{2}\text{)}.$$

Vậy cửa sổ có diện tích lớn nhất khi chiều rộng khoảng 1,12 m và chiều cao phần hình chữ nhật bằng bán kính, khoảng 0,56 m; diện tích lớn nhất khoảng 1,12 m².

Câu 10

a) Với $CM = x$ ($0 \le x \le 8$): $AM = 8 - x$ (km) và $MB = \sqrt{x^{2}+9}$ (km) (định lí Pythagore trong tam giác $MCB$ vuông tại $C$).

Tổng thời gian đi từ $A$ đến $B$:

$$T(x) = \dfrac{8-x}{5} + \dfrac{\sqrt{x^{2}+9}}{4}.$$

b) $T'(x) = -\dfrac{1}{5} + \dfrac{x}{4\sqrt{x^{2}+9}}$.

$$T'(x) = 0 \Leftrightarrow 5x = 4\sqrt{x^{2}+9} \Leftrightarrow 25x^{2} = 16\left(x^{2}+9\right) \Leftrightarrow 9x^{2} = 144 \Leftrightarrow x = 4.$$

$T(0) = \dfrac{8}{5} + \dfrac{3}{4} = 2,35$; $T(4) = \dfrac{4}{5} + \dfrac{5}{4} = 2,05$; $T(8) = \dfrac{\sqrt{73}}{4} \approx 2,14$.

Vậy $T$ nhỏ nhất bằng 2,05 giờ (tức 2 giờ 3 phút) khi $x = 4$, khi đó $AM = 8 - 4 = 4$ km.

Người đó phải đi bộ 4 km dọc bờ biển rồi chèo thuyền ra đảo thì đến đảo nhanh nhất, với thời gian 2 giờ 3 phút.