BÀI TẬP RÈN LUYỆN - TỐC ĐỘ THAY ĐỔI VỦA MỘT ĐẠI LƯỢNG (hàm số)

BTVN TỐC ĐỘ THAY ĐỔI VỦA MỘT ĐẠI LƯỢNG

Câu 1. Tỉ lệ phụ thuộc là thước đo tỉ lệ tổng số dân có độ tuổi phụ thuộc từ 0 đến 14 tuổi và từ 65 tuổi trở lên, so với tổng số dân có độ tuổi từ 15 đến 64 (độ tuổi lao động). Tỉ lệ này được các nhà kinh tế học quan tâm sâu sắc, do nếu tỉ lệ phụ thuộc tăng thì gánh nặng của nền kinh tế sẽ lớn hơn. Giả sử tại quốc gia Y, tỉ lệ phụ thuộc (đơn vị: phần trăm) được dự báo bởi công thức:

$$R(t) = 0,00713 t^4 - 0,175 t^3 + 1,582 t^2 + 0,84 t + 17,1,$$

trong đó $t$ là số thập kỉ tính từ năm $2001$ ($0 \le t \le 10$).
a) Hàm số biểu thị tốc độ thay đổi tỉ lệ phụ thuộc của quốc gia Y là:

$$R'(t) = 0,02852 t^3 - 0,525 t^2 + 3,164 t + 0,84.$$

b) Tỉ lệ phụ thuộc của quốc gia Y luôn tăng trong thế kỉ 21.
c) Vào khoảng năm 2054, tốc độ thay đổi tỉ lệ phụ thuộc của quốc gia Y đạt giá trị lớn nhất.
d) Khi tốc độ tăng tỉ lệ phụ thuộc của quốc gia Y đạt giá trị cực đại, nếu dân số của quốc gia này khi đó là 100 triệu người thì quốc gia này có khoảng 54,32 triệu người trong độ tuổi lao động (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm của triệu người).

Câu 2. Giả sử số ca đang mắc bệnh tại thời điểm $t$ của một chủng loại virus được mô hình hóa với hàm số

$$P(t) = \dfrac{10 \ln (0,19 t + 1)}{0,19 t + 1},$$

trong đó $t > 0$ là số ngày kể từ khi virus bắt đầu lây lan, $P(t)$ được tính bằng nghìn người.
a) Sau 7 ngày, có khoảng 3630 người bị lây nhiễm.
b) Trong 7 ngày đầu lây lan virus, số lượng người bị lây nhiễm luôn tăng.
c) Số lượng người bị lây nhiễm cao nhất trong ngày thứ 9 kể từ khi virus bắt đầu lây lan.
d) Tốc độ thay đổi số người đang nhiễm đạt mức thấp nhất trong ngày thứ 19 kể từ khi virus bắt đầu lây lan.

Câu 3. Một loại thuốc chống dị ứng trong máu bệnh nhân có nồng độ trong máu tại thời điểm $t$ giờ kể từ khi tiêm vào cơ thể được mô hình hóa bởi công thức:

$$C(t) = \dfrac{0,03 t}{t^2 + 64}\text{ mg/cm}^3.$$

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân đó sau 2 giờ là $\dfrac{3}{6500}\text{ mg/cm}^3$.
b) Sau thời gian đủ nhiều thì bệnh nhân sẽ hết hoàn toàn thuốc trong máu.
c) Tốc độ thay đổi nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân tại thời điểm $t$ giờ sau khi tiêm là $\dfrac{1,92 - 0,03 t^2}{(t^2 + 64)^2}$.
d) Nồng độ thuốc trong máu là lớn nhất sau 8 giờ kể từ khi tiêm.

Câu 4. Việt đang tham gia một bài học từ mới môn Tiếng Anh trong vòng 60 phút. Biết rằng $M(t)$ là số từ mới mà Việt có thể ghi nhớ trong $t$ phút đầu tiên của bài học. Tốc độ ghi nhớ từ mới của Việt được xác định bởi hàm số $M'(t) = at^2 + bt$ (với $a, b \in \mathbb{R},\, t \ge 0$) (từ/phút) và đạt tốc độ ghi nhớ cao nhất tại thời điểm 40 phút. Biết rằng Việt có thể ghi nhớ được 18 từ mới trong 10 phút đầu tiên của bài học. Khi đó:
a) $-\dfrac{b}{2a} = 40$.
b) Hàm số $M(t) = \dfrac{a}{3} t^3 + \dfrac{b}{2} t^2$.
c) $a \cdot 10^2 + b \cdot 10 = 18$.
d) Biết rằng tốc độ ghi nhớ trung bình (từ/phút) trong khoảng thời gian từ phút thứ $n$ đến phút thứ $m$ được tính bởi công thức $\dfrac{M(m) - M(n)}{m - n}$. Tốc độ trung bình của Việt trong cả tiết học là lớn hơn 6 từ/phút.

Câu 5. Tin đồn là những thông tin chưa được kiểm chứng, không có nguồn gốc xác thực nhưng vẫn đạt được trạng thái "viral". Tin đồn càng ảnh hưởng, nằm trong phạm vi quan tâm của nhiều người và càng khó kiểm chứng thì tính hấp dẫn với cộng đồng càng cao, lôi kéo được nhiều người và tăng được tính lan tỏa.
Giả sử tỉ lệ phần trăm học sinh trong một trường học biết về một tin đồn mới được lan truyền được mô hình hóa bởi hàm số $p(t) = \dfrac{100}{1 + 5e^{-0,2t}}$, trong đó $t$ là số giờ kể từ khi tin đồn bắt đầu được lan truyền. Biết rằng tin đồn này được bắt đầu lan truyền vào lúc 7 giờ ngày 26/06/2025, và ngôi trường này có 2000 học sinh.
a) Vào lúc 10 giờ ngày 26/06/2025, có khoảng 543 học sinh đã biết đến tin đồn (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
b) Vào lúc 10 giờ ngày 26/06/2025, tốc độ lan truyền của tin đồn này là $3,92\%$/giờ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
c) Tốc độ lan truyền của tin đồn này đạt giá trị lớn nhất sau $a \ln b$ giờ kể từ khi tin đồn bắt đầu được lan truyền ($a; b \in \mathbb{Z}$, $b$ là số nguyên tố). Khi đó, giá trị của $a + b = 10$.
d) Vào thời điểm tốc độ lan truyền của tin đồn này đạt giá trị lớn nhất, khi đó tin đồn này đã có 1000 học sinh biết đến.

Câu 6. Diện tích rạn san hô ($\text{m}^2$) được mô hình hoá bởi công thức: $N(t) = \dfrac{10 + 200e^{-0,1t}}{1 + 5e^{-0,1t}}$, trong đó $t$ được tính bằng năm tính từ khi bắt đầu đo đạc.
Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Tại thời điểm điều tra, diện tích rạn san hô đó là $30\text{ m}^2$.
b) Khi số năm càng lớn, diện tích rạn san hô đó sẽ thay đổi dần đến $40\text{ m}^2$.
c) Tốc độ thay đổi diện tích của rạn san hô này vào năm thứ $t$ là $\dfrac{-135e^{-0,3t}}{(1 + 5e^{-0,3t})^2}$.
d) Tốc độ thay đổi diện tích của rạn san hô này sẽ nhỏ nhất vào năm thứ 45 kể từ khi được điều tra.

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN

Câu 7. Một người quản lý ở một trại nuôi cá xác định rằng sau $t$ tuần kể từ khi thả 500 con cá của một chủng cá vào một chiếc hồ, cân nặng trung bình của một con cá (đơn vị: $\text{kg}$) được cho bởi công thức:

$$w(t) = -0,025 t^2 + 0,6 t + 1,5 \quad (0 \le t \le 24).$$

Ngoài ra, người này còn thấy rằng tỉ lệ cá còn sống sót sau $t$ tuần được cho bởi công thức $p(t) = \dfrac{25}{25 + t}$. Cho biết tổng sản lượng của loại cá này được tính bằng tổng khối lượng của những con cá còn sống trong ao tại thời điểm $t$. Hỏi tổng sản lượng của loại cá này đạt giá trị lớn nhất là bao nhiêu tấn (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Câu 8. Một cuộc khảo sát về tình hình ủng hộ của nhà chính trị gia MIN cho thấy rằng sau khi tham gia một cuộc tranh luận với nhà chính trị gia MAX, tỉ lệ phần trăm dân số ủng hộ cho MIN sẽ thay đổi theo hàm số $S(t) = \dfrac{100(t^2 - 3t + 25)}{t^2 + 7t + 25}$, trong đó $t$ là số ngày tính từ khi cuộc tranh luận diễn ra. Biết rằng cuộc bầu cử chính thức sẽ được diễn ra vào thời điểm $t = 10$. Hỏi tỉ lệ phần trăm dân số ủng hộ cho MIN tăng nhanh nhất sau bao nhiêu ngày kể từ khi cuộc tranh luận diễn ra (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Câu 9. Nhiệt độ cơ thể $T$ (tính bằng độ Celsius) của một người bị cảm có thể được mô hình hóa bởi hàm số $T(t) = \dfrac{5}{9}\left(\dfrac{12t}{t^2 + 8} + 66,6\right)$, trong đó $t$ là số giờ kể từ khi một người bắt đầu có dấu hiệu của việc bị cảm. Biết rằng tại thời điểm $t = a$ giờ thì nhiệt độ cơ thể của người này là cao nhất, và tại thời điểm $t = b$ giờ thì nhiệt độ cơ thể của người này giảm nhanh nhất. Giá trị của $a + b$ bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Câu 10. Vào đầu tháng 4/2016, Công ty F đã xả thải ra biển miền T, gây ra sự cố ô nhiễm môi trường nghiêm trọng, làm cá chết hàng loạt dọc bờ biển bốn tỉnh HT, QB, QT, và TTH. Nguyên nhân được xác định là do công ty đã xả thải chưa qua xử lý, có chứa độc tố phenol, xyanua ra môi trường. Sự cố này đã gây ra những hậu quả nặng nề cho môi trường và người dân địa phương, đặc biệt là ngành thủy sản.
Công ty F muốn chi ra $C$ triệu đồng để xử lý $p\%$ lượng hóa chất có trong nước thải của nhà máy này, với biểu thức liên hệ giữa $C$ và $p$ là $C(p) = \dfrac{310p}{(10 + p)(100 - p)}$. Tại giá trị $p$ mà tốc độ tăng số tiền cần chi cho việc xử lý hóa chất đạt giá trị nhỏ nhất, công ty cần chi ra bao nhiêu triệu đồng để xử lý hóa chất (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Câu 11. Trong một thử nghiệm về việc học tiếng Anh, thời gian cần thiết để một bạn học sinh khá học được phiên âm của $n$ từ vựng mới được mô hình hóa bởi hàm số $f(n) = 4n \sqrt{n - 4}$ (đơn vị: giây). Xem $n$ là biến liên tục trong mô hình. Khi thời gian cận biên $f'(n)$ để học thêm một từ là nhỏ nhất, thời gian trung bình $\dfrac{f(n)}{n}$ là bao nhiêu?

Câu 12. Năm 1885, nhà tâm lý học Hermann Ebbinghaus đưa ra lý thuyết về đường cong quên lãng. Theo đó, khi học tập, mọi thông tin mới tiếp xúc đều sẽ được lưu vào kho trí nhớ ngắn hạn. Nếu như không được nhắc lại hay sử dụng thường xuyên, các thông tin này sẽ bị lãng quên nhanh; từ đó hình thành đường cong quên lãng. Cho biết đường cong quên lãng được mô hình hóa cho con người có dạng $p(t) = (100 - a) e^{-bt} + a$, trong đó $p(t)$ là tỉ lệ phần trăm thông tin mà một người còn nhớ được sau $t$ tuần; còn $a$ và $b$ là các tham số ứng với từng người. Giả sử rằng sau khi BONNER MIN học xong một chương kiến thức mới và không ôn tập lại, sau 1 tuần BONNER MIN đã quên mất $47,5\%$ nội dung của chương, và tỉ lệ này sau 2 tuần tăng lên thành $71,25\%$. Tỉ lệ thông tin còn nhớ của BONNER MIN sau 3 tuần kể từ khi học xong chương kiến thức đang giảm với tốc độ là bao nhiêu phần trăm/tuần (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?

Câu 13. Tại cửa hàng thời trang Nhân Hậu Shop, cô chủ Nhân Hậu muốn theo dõi hiệu suất làm việc của các bạn nhân viên đóng gói của cửa hàng. Cô Nhân Hậu thấy rằng sau $x$ giờ kể từ khi vào ca làm việc, một nhân viên đóng gói sẽ đóng xong được $f(x) = -x^3 + 6x^2 + 15x$ sản phẩm. Ngoài ra, trong ca làm việc, cô Nhân Hậu sẽ cho phép các bạn nhân viên nghỉ giải lao 15 phút, và cô thấy rằng sau $x$ giờ kể từ khi kết thúc giải lao, một nhân viên đóng gói sẽ đóng xong được $g(x) = -\dfrac{1}{3} x^3 + x^2 + 23x$ sản phẩm. Biết rằng ca làm việc bắt đầu vào lúc 13 giờ và kết thúc lúc 17 giờ 45 phút, và trong ca làm sẽ có 1 lần nghỉ giải lao 15 phút. Hỏi để các bạn nhân viên đóng gói được nhiều sản phẩm nhất khi ca làm kết thúc, thời gian nghỉ giải lao cần bắt đầu sau bao nhiêu giờ kể từ khi bắt đầu ca làm việc (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Câu 14. Nhiệt độ của một nồi trà sau khi bỏ vào tủ đông mềm $t$ phút được mô hình hóa bởi hàm số:

$$T(t) = \dfrac{1300}{t^2 + 2t + 25} \text{ (đơn vị: độ Celsius)}.$$

Hỏi sau bao nhiêu phút kể từ khi nồi trà được bỏ vào tủ đông mềm thì nhiệt độ của nó sẽ giảm nhanh nhất (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?