BÀI TẬP ÔN TẬP CHỦ ĐỀ: NGUYÊN HÀM

PHẦN I. ÔN TẬP CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM (DẠNG ĐIỀN KHUYẾT)

Học sinh hãy hoàn thành bảng công thức nguyên hàm cơ bản và mở rộng ($$a \ne 0$$) sau bằng cách điền biểu thức thích hợp vào chỗ trống (...):

PHẦN II. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12. Mỗi câu hỏi chỉ chọn một phương án đúng.

Câu 1 (0,25 điểm). Cho hàm số $$f(x)$$ liên tục trên khoảng $$K$$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Câu 2 (0,25 điểm). Tìm họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $$f(x) = 4x^3 - 6x + 5$$ trên $$\mathbb{R}$$.

Câu 3 (0,25 điểm). Tìm họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $$f(x) = 5^x - 2e^x$$.

Câu 4 (0,25 điểm). Họ nguyên hàm của hàm số $$f(x) = 3\cos x - 4\sin x$$ là

Câu 5 (0,25 điểm). Tìm họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $$f(x) = \dfrac{4}{x} + \dfrac{1}{x^2}$$ trên khoảng $$(0; +\infty)$$.

Câu 6 (0,25 điểm). Cho hàm số $$f(x) = (2x - 3)^4$$. Họ tất cả các nguyên hàm của $$f(x)$$ trên $$\mathbb{R}$$ là

Câu 7 (0,25 điểm). Tìm họ nguyên hàm của hàm số $$f(x) = e^{3x-1}$$ trên $$\mathbb{R}$$.

Câu 8 (0,25 điểm). Tìm họ nguyên hàm của hàm số $$f(x) = \cos(4x + 1)$$ trên $$\mathbb{R}$$.

Câu 9 (0,25 điểm). Cho hàm số $$f(x)$$ thỏa mãn $$f'(x) = 3x^2 - 2x$$ và $$f(1) = 4$$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Câu 10 (0,25 điểm). Biết rằng $$\int f(x) \, dx = \dfrac{1}{x} + 2\sqrt{x} + C$$ trên khoảng $$(0; +\infty)$$. Khi đó, hàm số $$f(x)$$ là

Câu 11 (0,25 điểm). Cho hàm số $$F(x) = (ax^2 + bx + c)e^x$$ là một nguyên hàm của hàm số $$f(x) = (2x^2 + 6x + 1)e^x$$ trên $$\mathbb{R}$$. Giá trị của biểu thức $$T = a + b + c$$ bằng

Câu 12 (0,25 điểm). Cho hàm số $$f(x)$$ xác định trên $$\mathbb{R} \setminus \{1\}$$ thỏa mãn $$f'(x) = \dfrac{1}{x-1}$$ với mọi $$x \ne 1$$, đồng thời $$f(2) = 3$$ và $$f(0) = 1$$. Giá trị của biểu thức $$P = f(e+1) + f(1-e^2)$$ bằng

PHẦN III. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1 (1,0 điểm). Cho hàm số $$f(x) = 6x^2 - 4\sin 2x + e^x$$ xác định trên $$\mathbb{R}$$. Gọi $$F(x)$$ là một nguyên hàm của hàm số $$f(x)$$ thỏa mãn $$F(0) = 5$$.
a) Một nguyên hàm của hàm số $$g(x) = \sin 2x$$ là $$G(x) = -\dfrac{1}{2}\cos 2x$$.
b) Họ tất cả các nguyên hàm của $$f(x)$$ trên $$\mathbb{R}$$ là $$2x^3 - 2\cos 2x + e^x + C$$ với $$C \in \mathbb{R}$$.
c) Hằng số $$C$$ của nguyên hàm $$F(x)$$ tương ứng là $$C = 2$$.
d) Giá trị của $$F(\pi)$$ bằng $$2\pi^3 + e^\pi + 4$$.

Câu 2 (1,0 điểm). Một ô tô đang chuyển động thẳng đều với vận tốc $$v_0 = 20$$ m/s thì người lái xe phát hiện một chướng ngại vật ở phía trước cách đầu xe một khoảng $$45$$ m. Người lái xe lập tức đạp phanh; kể từ thời điểm đạp phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều với gia tốc $$a(t) = -5$$ m/s$$^2$$ (với $$t$$ là thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu đạp phanh).
a) Vận tốc của ô tô tại thời điểm $$t$$ giây ($$t \ge 0$$) được xác định bởi công thức $$v(t) = 20 - 5t$$ (m/s) cho đến khi xe dừng hẳn.
b) Thời gian từ lúc ô tô bắt đầu đạp phanh cho đến khi dừng hẳn là $$5$$ giây.
c) Quãng đường ô tô di chuyển được từ lúc bắt đầu đạp phanh đến khi dừng hẳn là $$40$$ m.
d) Xe ô tô không va chạm vào chướng ngại vật và dừng lại cách chướng ngại vật đúng $$5$$ m.

PHẦN IV. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 4.

Câu 1 (0,5 điểm). Cho hàm số $$f(x)$$ xác định trên khoảng $$(0; +\infty)$$ thỏa mãn $$f'(x) = 3\sqrt{x} + \dfrac{2}{x}$$ với mọi $$x > 0$$ và $$f(1) = 5$$. Tính giá trị của biểu thức $$f(4) - 2\ln 4$$.

Câu 2 (0,5 điểm). Cho hàm số $$F(x)$$ là một nguyên hàm của hàm số $$f(x) = 6x^2 + 4x - 3$$ trên $$\mathbb{R}$$, biết rằng giá trị nhỏ nhất của $$F(x)$$ trên đoạn $$[0; 2]$$ bằng $$5$$. Tính giá trị của $$F(2)$$.

Câu 3 (0,5 điểm). Một vật thể chuyển động thẳng với vận tốc thay đổi theo thời gian $$v(t) = 3t^2 - 2t + 4$$ (m/s), trong đó $$t$$ là thời gian tính bằng giây ($$t \ge 0$$). Biết rằng tại thời điểm ban đầu $$t = 0$$, vật ở vị trí có toạ độ $$s(0) = 10$$ m. Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ $$t = 1$$ giây đến $$t = 4$$ giây (tính theo đơn vị mét).

Câu 4 (0,5 điểm). Trong một phòng thí nghiệm sinh học, tốc độ sinh trưởng của một quần thể vi khuẩn sau $$t$$ giờ được mô hình hoá bởi hàm số $$N'(t) = 150 e^{0,05t}$$ (cá thể/giờ). Biết rằng ban đầu ($$t = 0$$) quần thể có $$2\,000$$ cá thể vi khuẩn. Hỏi sau bao nhiêu giờ thì số lượng vi khuẩn trong quần thể đạt $$5\,000$$ cá thể? (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ...................................................................... Số báo danh: ...........................................................