1. ĐỀ 1 K12 GK1

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1 (0,25 điểm). Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

[Bảng biến thiên]

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Câu 2 (0,25 điểm). Hàm số $y = -x^3 + 3x^2$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Câu 3 (0,25 điểm). Giá trị cực đại của hàm số $y = -x^4 + 2x^2 + 3$ bằng

Câu 4 (0,25 điểm). Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = x(x - 1)^2(x + 2)$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

Câu 5 (0,25 điểm). Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $[-2; 2]$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

[Đồ thị]

Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[-2; 2]$ bằng

Câu 6 (0,25 điểm). Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x^3 - 3x + 1$ trên đoạn $[0; 2]$ bằng

Câu 7 (0,25 điểm). Đồ thị hàm số $y = \dfrac{2x + 1}{x - 1}$ có tiệm cận ngang là đường thẳng

Câu 8 (0,25 điểm). Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên $\mathbb{R} \setminus \{1\}$ và có bảng biến thiên như sau:

[Bảng biến thiên]

Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là

Câu 9 (0,25 điểm). Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?

[Đồ thị]

Câu 10 (0,25 điểm). Cho hàm số $y = \dfrac{x^2 + mx + 1}{x - 1}$ có đồ thị nhận đường thẳng $y = x + 2$ làm tiệm cận xiên. Giá trị của tham số $m$ bằng

Câu 11 (0,25 điểm). Số lượng cá thể của một quần thể sau $t$ tháng được cho bởi $P(t) = -t^3 + 9t^2 + 120t + 500$ (con), với $t \ge 0$. Tốc độ tăng trưởng của quần thể tại thời điểm lớn nhất bằng

Câu 12 (0,25 điểm). Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = (x - 1)^2(x + 2)^3(x - 3)$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI (4,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1 (1,0 điểm). Cho hàm số $y = f(x) = \dfrac{2x - 1}{x + 1}$.
a) Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$.
b) Đạo hàm của hàm số là $y' = \dfrac{3}{(x + 1)^2}$.
c) Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định $(-\infty; -1)$ và $(-1; +\infty)$.
d) Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là $x = -1$ và đường tiệm cận ngang là $y = 2$.

Câu 2 (1,0 điểm). Cho hàm số bậc ba $y = f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ ($a \ne 0$) có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

[Đồ thị]

a) Hàm số đồng biến trên khoảng $(0; 2)$.
b) Giá trị cực tiểu của hàm số bằng $-2$.
c) Phương trình $f'(x) = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x = 0$ và $x = 2$.
d) Hệ số $a > 0$ và $d = 2$.

Câu 3 (1,0 điểm). Cho hàm số $y = f(x) = \dfrac{x^2 - 3x + 3}{x - 1}$.
a) Hàm số có đạo hàm $f'(x) = \dfrac{x^2 - 2x}{(x - 1)^2}$.
b) Hàm số đạt cực đại tại $x = 2$ và đạt cực tiểu tại $x = 0$.
c) Đồ thị hàm số có đường tiệm cận xiên là $y = x - 2$.
d) Tích các giá trị cực trị của hàm số bằng $3$.

Câu 4 (1,0 điểm). Một chất điểm chuyển động theo phương trình $s(t) = -t^3 + 6t^2 + 15t$, trong đó $t \ge 0$ tính bằng giây (s) và $s(t)$ tính bằng mét (m).
a) Vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm $t$ là $v(t) = -3t^2 + 12t + 15$ (m/s).
b) Tại thời điểm $t = 1$ s, vận tốc tức thời của vật bằng $24$ m/s.
c) Gia tốc tức thời của chất điểm là $a(t) = -6t + 12$ (m/s$^2$).
d) Vận tốc của chất điểm đạt giá trị lớn nhất tại thời điểm $t = 2$ s và vận tốc lớn nhất đó bằng $27$ m/s.

PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 6.

Câu 1 (0,5 điểm). Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = -x^4 + 8x^2 + 1$ trên đoạn $[-1; 3]$.

Câu 2 (0,5 điểm). Cho hàm số $y = \dfrac{2x + 1}{x - 2}$. Gọi $I$ là giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số. Tính khoảng cách từ gốc toạ độ $O(0; 0)$ đến điểm $I$ (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Câu 3 (0,5 điểm). Cho hàm số $y = x^3 - 3mx^2 + 3(m^2 - 1)x + 2$. Tìm số giá trị nguyên của tham số $m \in [-10; 10]$ để hàm số có hai điểm cực trị $x_1, x_2$ thoả mãn $x_1^2 + x_2^2 = 8$.

Câu 4 (0,5 điểm). Một công ty dự kiến sản xuất các hộp sữa đặc hình trụ có thể tích $V = 500\pi$ cm$^3$. Để chi phí làm vỏ hộp là ít nhất, bán kính đáy $r$ (cm) của hình trụ phải bằng bao nhiêu centimét?

Câu 5 (0,5 điểm). Cho hàm số $y = \dfrac{x^2 + 2x - 3}{x - 2}$ có đồ thị $(C)$. Biết đường tiệm cận xiên của $(C)$ tạo với hai trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng $S$. Tính diện tích $S$.

Câu 6 (0,5 điểm). Một trang trại muốn rào một khu đất hình chữ nhật có một cạnh giáp bờ sông thẳng (không cần rào cạnh này). Biết trang trại có sẵn $240$ m lưới thép gai để rào ba cạnh còn lại. Diện tích lớn nhất của khu đất rào được bằng bao nhiêu mét vuông?

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................................ Số báo danh: ........................

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN CHI TIẾT

A. ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM VÀ THANG ĐIỂM

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN (12 câu – 3,0 điểm, mỗi câu đúng 0,25 điểm)

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI (4 câu – 4,0 điểm)
Quy tắc tính điểm từng câu: đúng 1 ý được 0,1 điểm; đúng 2 ý được 0,25 điểm; đúng 3 ý được 0,5 điểm; đúng 4 ý được 1,0 điểm.

PHẦN III. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (6 câu – 3,0 điểm, mỗi câu đúng 0,5 điểm)

B. HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

PHẦN I

- Câu 1. Từ bảng biến thiên, dấu của $f'(x)$ mang dấu âm trên khoảng $(-1; 2)$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1; 2)$. Chọn A.
- Câu 2. $y' = -3x^2 + 6x = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$. Bảng xét dấu cho thấy $y' > 0$ trên khoảng $(0; 2)$. Vậy hàm số đồng biến trên $(0; 2)$. Chọn A.
- Câu 3. $y' = -4x^3 + 4x = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = \pm 1$. Vì $a = -1 < 0$ nên các điểm cực đại là $x = \pm 1$ và $y_{CĐ} = y(\pm 1) = 4$. Chọn A.
- Câu 4. $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0$, $x = 1$ (bội 2), $x = -2$. Trong đó $x = 0$ và $x = -2$ là nghiệm đơn nên $f'(x)$ đổi dấu; $x = 1$ là nghiệm bội chẵn nên không đổi dấu. Vậy hàm số có 2 điểm cực trị. Chọn A.
- Câu 5. Trên đồ thị trong đoạn $[-2; 2]$, điểm cao nhất có tung độ bằng $3$ (đạt tại $x = -1$ và $x = 1$). Vậy $\max_{[-2; 2]} f(x) = 3$. Chọn A.
- Câu 6. $y' = 3x^2 - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 1$ (do $x \in [0; 2]$). Ta có $y(0) = 1$, $y(1) = -1$, $y(2) = 3$. Vậy $\min_{[0; 2]} y = -1$. Chọn A.
- Câu 7. Ta có $\lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{2x + 1}{x - 1} = 2$ nên tiệm cận ngang của đồ thị là $y = 2$. Chọn A.
- Câu 8. Nhìn vào bảng biến thiên, $\lim_{x \to \pm\infty} y = 1$ nên tiệm cận ngang là $y = 1$; $\lim_{x \to 1^+} y = +\infty$ (và $\lim_{x \to 1^-} y = -\infty$) nên tiệm cận đứng là $x = 1$. Tổng số đường tiệm cận là $2$. Chọn A.
- Câu 9. Đồ thị là hàm bậc ba có nhánh cuối đi lên nên $a > 0$; cắt trục tung tại $(0; 2)$ nên $d = 2$. Điểm cực đại $(-1; 4)$ và cực tiểu $(1; 0)$. Hàm số thoả mãn là $y = x^3 - 3x + 2$. Chọn A.
- Câu 10. Chia đa thức: $y = \dfrac{x^2 + mx + 1}{x - 1} = x + (m + 1) + \dfrac{m + 2}{x - 1}$. Tiệm cận xiên là $y = x + m + 1$. Theo giả thiết tiệm cận xiên là $y = x + 2$, suy ra $m + 1 = 2 \Leftrightarrow m = 1$. Chọn A.
- Câu 11. Tốc độ tăng trưởng là $v(t) = P'(t) = -3t^2 + 18t + 120$. Đây là parabol bề lõm quay xuống, đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh $t = -\dfrac{18}{2(-3)} = 3$. Khi đó $v(3) = -3(3)^2 + 18(3) + 120 = 147$ (con/tháng). Chọn A.
- Câu 12. Ta có nghiệm của đạo hàm: $x = 1$ (bội 2), $x = -2$ (bội 3 - nghiệm bội lẻ), $x = 3$ (bội 1 - nghiệm đơn). Qua $x = -2$ và $x = 3$ đạo hàm đổi dấu; qua $x = 1$ đạo hàm không đổi dấu. Vậy hàm số có 2 điểm cực trị. Chọn A.

PHẦN II

- Câu 1.
- a) Đúng: Mẫu số $x + 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne -1$.
- b) Đúng: $y' = \dfrac{2(1) - (-1)(1)}{(x + 1)^2} = \dfrac{3}{(x + 1)^2} > 0, \forall x \ne -1$.
- c) Sai: $y' > 0$ nên hàm số đồng biến trên từng khoảng $(-\infty; -1)$ và $(-1; +\infty)$.
- d) Đúng: $\lim_{x \to -1^+} y = -\infty \Rightarrow x = -1$ là TCĐ; $\lim_{x \to \pm\infty} y = 2 \Rightarrow y = 2$ là TCN.
- Câu 2.
- a) Sai: Trên khoảng $(0; 2)$ đồ thị đi xuống từ trái sang phải nên hàm số nghịch biến.
- b) Đúng: Điểm cực tiểu là $(2; -2)$ nên giá trị cực tiểu bằng $-2$.
- c) Đúng: Hàm số đạt cực trị tại $x = 0$ và $x = 2$ nên $f'(0) = f'(2) = 0$.
- d) Đúng: Nhánh phải đi lên nên $a > 0$; đồ thị cắt $Oy$ tại $(0; 2)$ nên $d = 2$.
- Câu 3.
- a) Đúng: $f'(x) = \dfrac{(2x - 3)(x - 1) - (x^2 - 3x + 3)}{(x - 1)^2} = \dfrac{x^2 - 2x}{(x - 1)^2}$.
- b) Sai: $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$. Qua $x = 0$ đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm nên $x = 0$ là điểm cực đại; qua $x = 2$ đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương nên $x = 2$ là điểm cực tiểu.
- c) Đúng: Ta có $y = x - 2 + \dfrac{1}{x - 1}$ nên đường thẳng $y = x - 2$ là tiệm cận xiên.
- d) Sai: $y_{CĐ} = y(0) = -3$; $y_{CT} = y(2) = 1$. Tích hai cực trị bằng $(-3) \cdot 1 = -3 \ne 3$.
- Câu 4.
- a) Đúng: $v(t) = s'(t) = -3t^2 + 12t + 15$ (m/s).
- b) Đúng: $v(1) = -3(1)^2 + 12(1) + 15 = 24$ (m/s).
- c) Đúng: $a(t) = v'(t) = -6t + 12$ (m/s$^2$).
- d) Đúng: $v(t) = -3(t - 2)^2 + 27 \le 27$. Dấu bằng đạt tại $t = 2$ s.